II

par arcsin^ on aura pour 1 équation de la développée,

. (/ 2ai/' — y'* Ar—j Tt

a/ = a arc sin y lay — y*

qui est identiquement la même que celle de la cycloïdc primitive. La diivcloppi-c d’une cycloïde est donc une cycloïde identique.

C2. Equation de l'hypocycloïde. — Au lieu de faire rouler un cercle sur une droite, si on le fait rouler sur une courbe, par exemple, sur un cercle, 1a courbe dcicritc par un point du cercle mobile, prend le nom d’hypocycloïde ou d'épicycloïde suivant que le cercle mobile roule dans la partie concave ou sur la partie convexe de la courbe. Lxniiiinons en particulier le cas où le cercle O (fig. 10) roule dans l’iutiirieur d’un cercle A, le rayon NO étant le quart du rayon AN. Si H est le point de contact primitif et M le point décrivant dans une position quelconque, et qu’on désigne par z l’arc BN, l’arc MLN devra être égal à z. Soient (x, y] les coordonnées du point M de l’hypocycloïde et r le rayon AN; on a

AO = -r, AQ =

AO cos NAB =- r cos -» OQ 4 r

T r sin -, 4 r

jr = AQ — PQ

r r cos - 4 r

MO cos a, y==OQ — MO sin a.

CALCUL DIFFÉnE.NTIEL.

n représente l’inclinaison de MO sur l’axe des X, c’est-à-dire

OAB — MOA=r

on a donc

ÔZ

= - r cos - 4 r

r oz - co s — > 4 r

En éliminant z entre ces deux équations, après avoir remplacé cos 3 -

et sin 3 -par leur valeur en fonction de cos -donnée par les formules de la fin du N“ 50, il vient pour l'équation de cette hypocycloïde ,

Si le cercle mobile avait son rayon égal à la moitié de celui du cercle fixe, l’hypocycloïde deviendrait un diamètre de ce dernier cercle.

65. Analyse d'une courbe. Points singuliers. — Analyser une courbe donnée, c’est chercher par la discussion de son équation les ])articiilarilé.s les plus remarquables que présente cette courbe. Le iiinycn qui atteindrait ce but de la manière la plus complète, consisterait à construire la courbe par points, en donnant a l’abscisse x une suite de valeurs numériques très rapprochées et en calculant les valeurs correspondantes de y. On conçoit que si les valeurs de x étaient sulfisamment rapprochées, en reliant les points ainsi obtenus, par un trait continu , on aurait une image de la courbe assez exacte pour qu’on put se faire une juste idée de sa forme et de scs particularités; mais l’extrême longueur de ce procédé le rend le plus souvent illusoire, du moins quand il s’agit de construire une courbe dans toute son étendue; ce n’est que lorsqu’il ne faut construire par points qu’un petit arc de courbe que ce moyen est praticable, et cela suffit le plus souvent, parce que le calcul différentiel permet, comme on le verra, de fixer les seuls points de la courbe où certaines particularités remarquables peuvent exister.

D’abord, la valeur de la dérivée du premier ordre fait connaître les limites de la courbe dans le sens des deux axes ; il résulte , en effet , de la signification de la dérivée que, lorsque sa valeur est égale à zéro, la tangente à la courbe fait un angle nul avec l’axe des X ou