I -I- fx

et comme le numérateur est essentiellement positif, il résulte de celte valeur que la concavité ou la convexité sera tournée vers l’axe des X, suivant que f'x sera négatif ou positif. Si y était négatif ou si la courbe était placée au-dessous de l’axe des X du côté de l’axe des Y négatifs, on changerait y en p cl — y en — p cl l’équation deviendrait

et il est visible que les conditions seraient les mêmes, mais inverses. En rapprochant ces différentes conditions, il est facile de voir que la concavité ou la convexité sera tournée vers l’axe des X, suivant (juc y ou fx et f'x seront fie signe différent ou de même signe, ou selon que le produit fx f'x sera négatif ou positif.

On reconnaît l’cxistcnce de plusieurs branciics dans une courbe, en résolvant son équation par rapport à l’une des coordonnées , y par exemple. Si i/ a plusieurs valeurs réelles, chacune de ces vniciirs correspondra à une branche particulière. On pourra même isoler

CALCUL DIFFLHEMIEL. 127

l'cqunlion ilc celle brandie, en ne prenant pour y que la racine qui y correspond. Si In courbe est algébrique, il est visible que les équations des différentes branches ne différeront les unes des autres que par les signes des radicaux présents dans la valeur générale de y.

On appelle points singuliers, les points d’une courbe où celle-ci présente dans sa forine quelque particularité remarquable. L’existence de ces ]ioinls se manifeste le plus souvent dans l’équation par des discontinuités accidentelles. Ils correspondent quelquefois à certaine valeur particulière, attribuée à l’une des dérivées. Les points singuliers dont nous nous occuperons, sont : le point multiple, le point de rebroussement, le point saillant, le point d'arrêt, le point isolé ou conjugué, cl le point d'inflexion.

Ci. Point multiple. — Le point multiple est celui où viennent se croiser deux ou plusieurs branches d’une meme courbe. On reconnaît sans |ieine rcxislcnce d’un scmblahlc point dans la courbe qui a pour équation

en effet, on en tire

cl l’on voit que pour x positif et plus petit que l’unité, y a deux valeurs égales et réelles; d’où il résulte que la courbe du côté des X positifs a deux branches OA cl OU (lig. 11) placées symétriqucinent des deux côtés de l’axe des X. En faisant x négatif, y prend encore deux valeurs réelles et égales, ce qui prouve que du côté des X négatifs, il y a aussi deux branches symétriques OA' et OB'. Le point O est donc un point multiple.

Cî). Point de rebroussement. Point saillant. — Si deux branches d’une meme courbe viennent se réunir en un point A et ne se prolongent pas au-delà, le point se nomme point de rebroussement. Pour en rcconnaitrc rcxislcnce il faut s’assurer de la jiréscncc de deux branches de courbe, et vérifier si les valeurs des ordonnées étant réelles d’un côté de ce point, deviennent imaginaires de l’autre. Prenons pour exemple

En la mettant sous la forme

cUAPirnE III.

on reconnaît que depuis x = c jusqu’à x = -4- ao , et depuis x = — c jusqu’à x= — 00 , la courbe se compose de deux branches réelles qui SC réunissent aux points où x = c et x = — c et ne se prolongent pas au-delà. On en tire

— i ± Zbx l/x* — c*

<lx

qui pour X = c et x =

: — c donne ^ = 1, ce qui apprend que dans dx

ces points les tangentes aux deux branches sont inclinées de— sur

l’axe X et par conséquent se confondent.

11 est à remarquer que quand l’équation est réductible à la forme

ÿ = /x ± j/(?x)“ = /x ± (yx)" ,

n étant un nombre pair, ce qui embrasse tous les cas où la courbe se compose de deux branches, celles-ci se touchent en général au point de rebroussement; en effet, il est visible que le point singulier pour lequel la double valeur de y doit disparaître, répond à yx = 0 ou à

yx = ao suivant que — est positif ou négatif. D’un autre côté, on tire

de cette double équation

yx.

Pour — négatif ou pour yx infini, ces deux valeurs se réduisent en général a une valeur unique /'x. Pour — positif ou pour yx nul, les

deux valeurs deviennent encore f'x ou l'infini suivant que — est plus

grand ou plus petit que l’unité, c’est-à-dire que dans tous les cas la direction des deux tangentes est la meme.

La discussion des équations

(y-ax*Y = bx\ <f = x\

fait découvrir la présence d’un point de rebroussement à l’origine des coordonnées.

CALCl’l, DIFFÉKEMTIEL.

Le point de rebroussement prend le nom de point saillant quand les brandies ne se loncbent pas. Il ne dilTèrc du |)rcinicr qu’en ce que les branches n'y ont pas une tangente coininunc, comme cela a lieu ordinairement dans les courbes transcendantes. Dans les courbes transcendantes qui ont pour équation

,j , y = X arc tang - .

un point saillant se trouve à l’origine des coordonnées; puisque dans la première le ^ y converge vers zéro du côte des x positifs et

vei’s l’unité du cùté des x négatifs, et que dans la seconde, le con-

verge dans ces deux directions vers - et — -

6C. Point d'arrét. Point conjugué. — Le point d’arrêt est celui où une branche unique de courbe s’arrête brusqiicincnt. .Sa présence sc manifeste jiar celle circonstance que la valeur de y, ajirès être restée réelle et unique dans une certaine étendue des valeurs de x, devient brusquement imaginaire pour des valeurs croissantes de cette variable. La courbe

logx

présente un semblable point à l’origine des coordonnées, car pour toute valeur positive de x, y ne reçoit qu’une seule valeur réelle, et lorsque x devient négatif, la valeur de y devient imaginaire. La courbe

SC compose de deux branches l’une placée au-dessus de l’axe des .\ positifs et commençant à l’origine, l’autre s’étendant indéfiniment au-dessus de l’axe des X négatifs et commençant dans l’axe des Y au point ou y = 1. Les commencements de ces deux branches l'ormcnl deux points d’arrêt.

Quelquefois une équation entre deux variables rejirésente à la fois une courbe et un ou plusieurs points entièrement isolés que l’on a nommés points conjugués.

CUAI'ITHE III.

On reconnaît rcxislence de ces points, à ce caractère que pour une certaine valeur de x, y reste réel, tandis qu’une valeur un peu moindre ou plus grande rend y imaginaire. Dans la courbe

le point qui a pour coordonnées (x = — 1, »/ = 0) est isolé, car en mettant l’équation sous la forme

on reconnaît que pour x = — 1, y est réel et nul, tandis qu’en remplaçant X par — i -i- h, h étant une quantité très petite, y devient ± hy — 1 -h h qui est imaginaire pour des valeurs positives ou négatives de A. La courbe proprement dite s’étend depuis x = 0 jusqu'à

67. Théorème sur les points singuliers. — La rcclicrche des points singuliers dans les courbes algébriques est beaucoup facilitée par ce théorème : dans toute courbe algébrique dont l’équation

/■(x,y) = 0 ou /'=0

est rendue rationnelle, les dérivées partielles ^ et ^ sont toutes

dx dy

deux nulles ou toutes deux infinies pour un point de rebroussement , un point multiple ou un point isolé.

En clTct supposons que M'A et MA (lig. 13) forment en A un point multiple ou un point de rebroussement. En mettant l’équation de la courbe sous la forme

cl en désignant jiar a l’abscisse de cc point et par h une quantité très petite positive ou négative, il est visible que f{a + h) doit avoir plusieurs valeurs, tandis que n’en a qu’une seule, puisque l'ordonnée AB correspondant à a est unique; tandis que, à l’abscisse OP = o -i- /» correspondent plusieurs ordonnées MP, .M'P. 11 suit de là que l'une

dx*

... dy des dérivées -, - > dx

distinctes pour x = a, puisque (?{a meut

etc. doit être susceptible de plusieurs valeurs h) est donné par le développe-

\dxj„ ydx^J^i.'i

etc.

CALCCL DIFFi^RENTlEL.

Or, si 11) dérivée de l'ordre n est la prernière qui prend une valeur multiple, et qu’on cbcrclie les dérivées successives de l’équation de la courbe rendue rationnelle et mise sous la forme

il viendra après n dérivations ,

.i-if =0,

dy dx dx ’

drd*y d*f dy d-f d,j d^f/dy\^ d*f

dy dx* dxdy dx dydx dx dy*\dx J dx* '

dy dx* dydx dx* dy* dx dx* ' ’

dfd'y^ , cte.0

dy dx" dydx dx"~'

ou bien , en éliminant j 4-^ dx dx*

-T — Centre ces équations, dx" '

dy dx dx

d*f df df

d*f dfdf ^

d^ifdjy

\dyj dx*

dxdy dx dy

dydx dx dy

dy*\dxj

dx*\dyj

Cette dernière équation se compose de deux termes dont l’un , contenantprend par hypothèse plusieurs valeurs pour x = a et dont

l’autre que nous avons désigné par U ne prend qu’une seule valeur

dy dx dydx

qui seules entrent dans U, ne sauraient avoir des valeurs multiples, attendu que la fonction f(x, y) ayant été rendue rationnelle , scs

quand x = a, parce que les dérivées partielles-

iÔ2 CIIAI'ITBE III.

dérivées jiarticlics le sont également. Il suit de là qu’en désignant

par A et A' deux des valeurs de -7— j on doit avoir à la fois

ni"

d'où l’on tire en retranchant membre à membre,

et par conséquent

parce que .1 diffère de A' par bypotlièsc. L’équation dérivée première dy dx dx

SC réduit alors à

ce qui vérifie la première partie de la proposition.

Les deux équations (1) pourraient aussi subsister si ^ et f

\dx/ \dyj

prenaient des valeurs infinies pour 1 = a; car U qui contient

et facteur, devient infini avec ces dérivées et les équations (1)

pourront eneorc donner pour plusieurs valeurs A et A', puisque les deux équations

sont identiquement satisfaites.

CALCUL DIFFEHLIVTIEL.

Le même théorème subsiste pour un point isolé; car a étant l’abscisse (le ce point, si dans l’équation de la courbe y = fx, on fait x — a, on doit trouver pour 1/ ou ya une valeur réelle, tandis que pour 1 = 0 ± h, h étant une quantité très petite (|ucleonquc, rurdonnée ne peut rencontrer la courbe, puisque le point est isolé, et par conséquent y(a±/i) doit avoir une valeur imaginaire. Or la formule de Taylor donne

9(0 A) = a>(a) — lA-t-| — 1 H ( — ~ 1

' \dx J a \dx* J J. -2 \dx^ J.i.2.5

etc.

il faut donc que l’une des dérivées soit imaginaire pour le point conjugué. D’un autre cété,

étant l’équation de la même courbe , rendue rationnelle, on en tire comme plus haut, après n dérivations successives.

dans laquelle U représente rcnscmblc de tous les termes contenant

les dérivées partielles -j2dx du dx"‘

etc. Soit -rd- une des dérivées dx'

dy ' dx*

qui devient imaginaire, f/ est une quantité réelle, puisque f{x, y) ayant été rendu rationnel, scs dérivées partielles des dillcrcnts ordres ne contiendront pus de radicaux et ne savent par conséquent devenir imaginaires. L'équation

/ df\*'‘~' d'y \dyj dx''*'

est dune composée de deux termes dont l’un U est réel et l’autre imaginaire, et n’est possible que si les termes imaginaires sont nuis séparément, ou si l’un a

et par conséquent

0, a cause de l’cqualion dérivée

dy dx dx

154 CUAPITRE III.

Comme l’équalion dérivée peut se mettre sous la forme

ou voit qu’elle est aussi satisfaite en posant

et par eonséquent

Il résulte de ce qu’on vient de voir que pour trouver les points singuliers dans les courbes prises plus haut pour exemples, il faut poser les équations

: 0, ou bien ,

et en tirer les valeurs de x, y. Si ces valeurs vérifient l’équation

elles pourront seules correspondre à des points singuliers, et la discussion ou la construction de la courbe dans son voisinage sera nécessaire pour en confirmer rcxislcncc et pour en reconnaître la nature. Si les valeurs de x cl ^ ne satisfaisaient pas à l’équation de la courbe, l’cxislencc de l’un des trois points singuliers cités plus haut serait impossible.

En examinant la marche de la démonstration précédente , on rcconnail sans peine que le théorème doit s’appliquer souvent aux courbes transcendantes; car il résulte de ce qui précède, que pour qu’il y ail un point singulier dans une courbe de nature quelconque, les conditions suivantes sont nécessaires : il faut que, à une valeur arbitraire de x correspondent des valeurs multiples de y, se réduisant à une seule pour une valeur particulière a de x, et en outre, que l’équation puisse être mise sous une forme telle que scs dérivées partielles successives aient des valeurs uniques et réelles pour une même valeur de x,y. Si ces conditions sont toutes remplies, les deux dérivées

(l f ilf

partielles y~ l’équation de la courbe transformée

comme on vient de le dire, doivent être nullcs ou infinies au point

de la courbe où se trouve un des trois points singuliers dont il est question plus haut. Ainsi pour la courbe

y — axarc lang ->

il y a plusieurs valeurs réelles distinctes de y qui sont

y=oxarctg-) y = ox^2r-i-arctg-^, i/=ax^47r+orc tgi^ , etc.

et qui représentent chacune, une branche particulière. Pour x=0, on trouve la valeur unique et réelle y =>0 et en troisième lieu , si l’on inet l’équation sous la forme implicite

ax X

les dérivées partielles successives du premier membre auront des valeurs uniques et réelles pour toute valeur de i. Le point singulier, s’il existe, pourra donc être déterminé comme pour les courbes algébriques. On trouve en effet

ax Cüs* — ax ax

(Ix

LS* y

'If

(ly

et ces deux dérivées partielles deviennent infinies pour x = 0 qui correspond à 1/ = 0, c’est-à-dire, pour l’origine. On a vu en effet qu’il y a un point saillant en cet endroit.

68. Point d’in flexion. — Il nous reste encore à trouver le caractère qui permet l’existence d’un point d’inflexion. On donne ce nom au point où une courbe de eoncave qu’elle était d’abord, devient convexe, ou, ce qui est la même chose, c’est le point où 1a tangente coupe la courbe. On a vu qu’une courbe tourne sa eoneavité ou sa convexité vers l’axe des X selon que f'xcsl négatif ou positif. Il faut donc qu’au point d’inflexion A (lig. 14), f'x change de signe et comme on suit qu’en général, une fonction cliange de signe en passant par zéro ou par l’infini, un voit que lu dérivée du second ordre est nulle ou infinie en ce point. 11 faut donc égaler la dérivée seconde à zéro ou à l’infini, et chercher les valeurs réelles correspondantes de x. La dis-

'lâC CHAPITIIË III.

cussion de l’équation est nécessaire pour eonfirmcr l’existence de l’inflexion. Ainsi dans les courbes qui ont pour équation

y> = ax“, o’»y* = a’x’ — x*, y = taiigx, il y a un point d’inflexion à l’origine, car on trouve

d-i) 10 /a (l^ij x(2x* — 5n*) d^y ^ s*f> x

dx* 9 y/ x’ dx* „ j/(a* x*)’ cos’x

et il est visible que les deux premières dérivées changent de signe quand x, variant d’une manière continue, passe par la valeur zéro. 11 en est de même de la troisième quand x passe par les valeurs 0, TV, 2îr, 3t7, etc.

69. Coordonnées polaires. — Dans toutes les applications précédentes, on a supposé les courbes rapportées à deux axes orthogonaux cl les valeurs des rayons de courbure, sous-tangentes, normales, etc., ont été exprimées au moyen des dérivées tirées des équations de ecs courbes en coordonnées rectangulaires; mais ces rormulcs ne seraient plus applicables, s'il s’agissait d’une courbe rapportée à un autre système de coordonnées, par exemple, à des coordonnées polaires. On pourrait encore, il est vrai, déduire de l’équation de la courbe, les valeurs des dérivées des difTérents ordres de l’une des variables considérée comme fonction de l’autre; mais ces dérivées n’auront plus la même significalion géométrique que ]>récé(leinmcnt, cl par conséquent les formules qui doniiciit les valeurs du rayon de courbure etc., cl qui sont fondées sur cette signification, seront différentes pour chaque système de coordonnées. Au lieu d’établir une théorie particulière des tangentes, des cercles osculatcurs, etc. pour chaque système de coordonnées, on peut au moyen des formules établies dans les N"* 10 et 23, déduire des valeurs précédentes du rayon de courbure, etc., celles de ecs mêmes droites dans chaque système de coordonnées, pourvu que l’on connaisse les formules qui servent à [lasscr des coordonnées rectangulaires aux nouvelles coordonnées que l’oii adopte; en effet, prenons pour exemple les coordonnées polaires. En représentant par {a, b) les deux coordonnées rectangulaires du pôle, [lar r le rayon vecteur, par a l’angle constant que forme avec l’axe des .\ une droite lixe passant par le |iôle, par t l’angle variable formé par le rayon vecteur avec cette droite fixe; on sait que les formules qui lient les coordonnées rectangulaires aux coordoniiccs polaires sont

X = a -I- r eos (a — t), y — b x- r iin (a — t).

CALCUL UIFFCnK.XTIKL.

Cela pose, supposons l’équalion d’une courbe donnée en coordonnées polaires, c’est-à-dire, au moyen d’une relation entre r et t. En choisissant t pour variable indépendante, les formules précédentes, dans lesquelles r doit être considéré comme une fonction connue de /, expriment les valeurs de x et de y en fonction de cette variable indépendante (, et il vient en dérivant.

Ift

-j^eos (a — t) -4- r sin (a — () ,

dr .

= --sin (a dt '

— r cos (a

dt*

dt»

d*r , ^ ^ dr ... , ,

= JP cos (a — t) -t- -^^^sin (a — t) — r cos (« — t),

= — 7 sin [a — t) — Z — cos (a — f) — r sin (a — t) ,

dt* dt ^

En introduisant ces valeurs dans les formules établies plus haut (N~ 10 et 23), on trouve pour les valeurs de -j^t etc. dr

. -r sin (a — 0 — r cos (a — 0 djj dt ^ ^ ^ ^

dx dr , , . , ’

-J^COS (a — /) -+- r SIM (a — f)

dx*

/dr\* dh r* -4- 2 1 — ) - r — , \dtj dt

dhj

r sin (a — () -4- — cos (a

dx'

^== etc.

70. Rayons de courbure et développées dans les courbes polaires. — Au moyen de ces relations, on peut exprimer en coordonnées polaires les valeurs de toute quantité dont on connaît l'expression en coordonnées rectangulaires; on trouve, par exemple, pour le rayon de courbure,

<ix*

'"‘dt*

Digilized by Coogle

CHAP11RK m.

rt pour les coordonnées w' cl du ccnlre de courbure (N"

^ = a I- r cos (a — n (ix

(iV ) (Ir , ^

Ces deux équations fixent le centre de courbure en fonction des coordonnées rectangulaires (a', Si on voulait fixer sa position par des

coordonnées polaires, il suffirait de remarquer que r' et (' étant les coordonnées polaires relatives à ce point, il doit exister entre (r', f) et {a', ji') les relations

a' ~ a -h r’ cos (a — I') , P' = /< -t- r' sin (« — l') ,

CALCUI- DIFFERK.N'riEL.

d'où l’on lire

r' = l/(a' — a)* ip' — b)*, taiig (* — <') -,

cl par consé<iiieiit, un substituant les valeurs de %' et ,6',

Si dans In deuxième équation, on remplace tang (a — () et tang (a — (')

, , tang a — tang t tang a — tang t'

par les valeurs - — = — » ? — , et qu on opéré

1 tang a tang l 1 -+■ tang a tang l

ensuite les réductions en faisant disparaître les dénominateurs et supprimant le facteur commun 1 -t- tang* a, on trouve

qui ne contient plus la lettre a. En éliminant r et l entre ces deux équations et celle de la courbe, un trouvera l’équation polaire de la développée. On serait arrivé fort simplement à ces formules en reprenant la théorie précédente des courbes osrulatrices et en l'appropriant aux courbes polaires.

71. Sous-tangenle et sous-normale polaires, etc. — Quant à la soustangente, sous-normale, etc., il est à observer que ces droites, qui avaient une signification bien définie, quand il s’agissait des courbes rapportées à des axes orthogonaux, ne présentent plus aucun intérêt dans les courbes rapportées à des coordonnées polaires. Dans ces

CMAI'ITHK III.