COX — COM
ce qui réduit les valeurs précédentes de y et aux suivantes :
y i^b -h rsïn{a — f) = r ,
rfy
— sin (a — I) — r cos (« — t)
‘Jl
dt
dx
(Ir
dt
cos (a — f) -f- r sin (a — t)
et il vient pour la sous-langcntc polaire OT cl pour la sous-normale NO,
y r* dr
sous-tang OT = = —7— > snus-norraale NO = -7- •
dy dr dt
dx dt
CALCt'i. Dif rtm,.
Ut
On trouve de inèiiie
longueur de la tangente MT = r
longueur de la normale MN =
vMi)'
On voit par là que la dérivée première — dans une courbe polaire ,
représente la sous-normale. On trouve aussi que la tangente de l’angle TMO formé par le rayon veeleur et la touchante à la eourbe, est donnée par
tang TMO = •
dr
l'i. Dérivée d’un arc de courbe polaire. — On peut aussi déduire
la dérivée d’un arc de courbe polaire ou de la dérivée-^ de
' dl dx
l’arc de courbe donnée en coordonnées rectangulaires; car l’arc « étant une fonction de x et x une fonction de (, on a
ds du dx / /(/y\*f/x
dt dx dl y '* \dx) dt'
, dx du
et en remplaçant — et ^ • par leur valeur (N“ 69),
ou ds = [/dr- + r*dl^.
On voit que cette dérivée est représentée par la normale.
Cette dernière formule s’obtient par la considi-ration des inrinimcnt |>ctils, en remarquant que si MM' (fig. 16) représente ds, en décrivant (lu point O comme centre, l’arc MP, la dilTércncc M'P entre deux valeurs consécutives de r est dr, l’angle MOM' ou plutôt l’arc nip décrit
ciiAmni: ni.
ilii point 0 cuiiimo centre avec un rayon égal à l’unité est dt et le li'iangic MM'P sensiblement rectiligne et rectangle donne
MM’ = {/.M'P* H- .MP- ou ds = y^ilr* + r* dl*.
73. Applications aux spirales. — Appliquons les formules précédentes à quelques courbes polaires. On appelle spirale d’Archimède la courbe décrite par un point mobile M (fig. 17) qui glisse uniformément sur une droite Oli, tandis que cette droite tourne uniformément autour du point O. Supposons que le point mobile M parte du point O, quand la droite 0.\ commence à tourner. Il résulte de ce mode de génération, qu’en représentant par r, la distance OM et par t l'angle MO.\, le rapport de r à f doit être eonstant; l’éipiation polaire est donc
„ , dr
r = al, d ou I on tire — =n.
dl
On voit que dans cette courbe la sous-normale est constante.
La courbe précédente sera une spirale logarithmique, si le mouvement du point M sur OB se fait de telle manière que l’angle BO.\ ou ( est constamment proportionnel au logarithme de O.M. L’équation de eette courbe est alors
Log r ^ ml ou r = n’"' = (a“)' = a'' ,
en désignant par a la base du système de logarithmes. Ou tire de cette dernière équation ,
= a'' log a' = r log u'.
et par conséquent,
sous-tang OT =
log n’’
lang O.MT
dr log a'
Tl
L’angle formé par la tangente avec le rayon vecteur est donc constant. En dérivant une seconde fois l’équation de la courbe, on trouve
dp
^logo' = Hog*(r;
CAlXt'l, IUFFhllENTIF.I..
d’où il suit qur le rnvon île courliiire est
(r* -t- rMüg’aÿ
2r* log*a' — r* log*a'
r j/ 1 -4- log*a'.
On trouve aussi r j/l -i- log *a' pour valeur de la normale; on voit donc (fig. 15) que le rayon de courluire est égal à la normale MN et que par conséquent le jioint N est le centre de courbure. En substi* i/r d’r
tuant les valeurs de -r- et -r— dans r' et lang l', il vient (Il «I*
tang l' —
tan;: t
et r' r log a'.
On tire de la première,
tang t • lang (' + 1 = O ,
d’où l’on conclut que les angles t' et t ou CON et COM, difTcrcnt
d’un angle droit, c’est-à-dire, que I «= I' — ce qui résulte d’ailleurs
de ce que le centre de courbure est en X. En substituant les valeurs de r et de I dans l’équation de la spirale, on trouve pour équation polaire de la dcvcloiipée.
»•' = log a' • a'
ou bien r' =
en remplaçant log a' par a'*, ce qui revient à faire Log (log a') égal
• . , Log (ni log h)
a a Log n et par suite, a= — ^ — ..
L’angle 1' ou CON (fig. 18) se compte à partir de la droite OC; si donc, on mène une droite OC' faisant avec OC un angle COC' égal à
- — a et qu’on nomme I" les angles C'OX formés par le rayon vecteur 0.\ de la développée avec la droite fixe OC', on aura
et par conséquent l’équation de la développée rapportée à la droite fixe OC', deviendra
CIIAPlinF. III.
c’est-ù-dirc, que la développée B'A' n’est autre que la spirale primitive AB, ayant le même pèle 0, mais ayant tourné autour de ce point d'une quantité angulaire
__a OU - — -Log(mloga)=- — Logl/lügn”.
On distingue encore plusieurs espèces de spirales, entre autres eelles qui sont comprises dans l’équation générale
r = al".
Si n = — 1, on a la spirale hyperbolique dans laquelle la sous-langentc est constante.
