Courbes enveloppes. — Soit

l'équation rendue rationnelle d’une courbe, renfermant une certaine constante littérale o. Il est clair que si l’on y fait varier a d’une manière continue, la courbe variera cllc-mémc d’une manière continue dans sa forme et dans sa jiosition. Donnons à a un accroissement e; la nouvelle équation appartiendra à une courbe différente de la première et les coordonnées de leur point d’intersection s’obtiendront en résolvant le système des deux équations

qui fixent par conséquent le point où la courbe caractérisée par la valeur particulière attribuée à a, vient rencontrer la courbe caractérisée par V. + i. Si donc on élimine a entre elles, les (x, y) contenus dans l’équation finale de la forme

appartiendront encore à l’intersection des courbes caractérisées par a et a -+- e; mais comme a a disparu, ces coordonnées appartiendront à l’intersection de deux quelconques des courbes variables dans lesquelles le paramètre a diffère d’une quantité constante e, c’est-àdire que si l’on trace toutes les courbes que peut rcjirésenter

quand a passe par toutes les valeurs possibles, l’équation finale F{x, y, £) = 0

CALCUL DIFFLIILNTILL.

appartient à la cniirbc, lieu géométrique de tous les points d'intersection de chacune des courbes variables, par celle pour laquelle le paramètre est supérieur de e. Faisons décroître cette dilTércncc s indéfiniment, les deux courbes qui délerniincnt l'intersection se rapprocheront de plus en plus, et à la limite l'équation finale, qui devient

appartiendra à la courbe limite des lieux géométriques indiqués plus haut. Au point de vue des infiniment petits, si un conçoit que a croisse par intervalles inliniment petits, l'équation F(x, y)=0 appartiendra au lieu géométrique de toutes les intersections de chaque courbe variable par celle qui la suit immédiatement.

Il est à remarquer que cette dernière équation s’obtient en éliminant a entre l'équation primitive et sa dérivée prise par rapport à a; car on sait que l’on a

f(x, y, a -4- e) = f{x, y, a) -t- £ (x, y, a -F- Oe) ,

f'g. étant la dérivée de / par rapporta a. Le système des deux équations se réduit donc à

équations qui à la limite deviennent

La courbe limite dont on vient de trouver l’équation, jouit de la propriété d’être tangente à toutes les courbes variables, c’est-à-dire, de former en quelque sorte Y enveloppe de ces dernières; en elfet, si au point d’intersection de la courbe

et de sa voisine, on mène une tangente à la première, son inclinaison sur l’axe des X sera donnée par le ^ tiré de cette équation , c’est-à-

(IX

dire que l’inclinaison sera donnée par

dx y, g)