CII.UMTIU. I

G. Infinimenl petits et infiniment grands des différents ordres. Différentielles. — La considération des quantités infiniment petites conduit à une autre définition de la fonction dérivée. On ajipellc infiniment petite une quantité constamment décroissante jusqu’à devenir moindre que toute grandeur assignable sans etiangcr de nature et qui par conséquent est négligeable devant une grandeur finie.

On appelle infiniment petit du second, troisième ordre, etc., tonte quantité dont le rnp|)iirl à un infiniment petit proprement dit est lui-méme un infiniment jielit du premier, du second ordre, etc. Ainsi, si e et e' sont infiniment petits, u', th' sont des infiniment petits

du second et du troisième ordre, parce que — et — sont égaux à e'

et à £s' qui sont du premier et du second ordre.

De même qu’un infiniment petit du premier ordre est négligeable devant une quantité finie, de même nn infiniment petit du second , troisième ordre etc. est négligeable devant un infiniment petit d’un ordre inférieur.

Une quantité infiniment grande ou infinie est une quantité constamment croissante jusqu’à devenir supérieure à toute grandeur assignable sans clianger de nature. Si on la nomme infini du premier ordre, toute grandeur dont le rapport à celle-ci est ini-meme infini, sera nn infini du second ordre et ainsi de suite. Toute grandeur finie est négligeable devant une grandeur infinie et celle-ci est négligeable devant un infini d’nn ordre plus élevé.

Cela posé, on a vu que si dans une fonction continue fx on fait prendre à la variable un aceroissement infiniment petit Ax ou h, la fonction prend clle-mémc un accroissement infiniment petit Ay dont le rapporta Ax est donné par

(l/l étant une quantité moindre que Ax ou h, est aussi infiniment petite, et il résnlte dn principe de continuité que f'{x -+- O/i) ne dilTèic de fx que d’un infiniment petit; on aura donc en le négligeant.

ou plutôt en désignant par dx et dy ces valeurs particulières de Ax

CALCl'I. llIKFKItt.M Ibl..

Au point Ho vue des limites où nous nous sommes d’abord plaet's,

les quantités dx et dy sont rigoureusement milles, et la fraction ^ >

dont les parties ne peuvent être séparées et qu’il faut lire ainsi : dy sui'(/x, n’est qu’une notation servant à indiquer la valeur vers la-

I, . fi-’^ ■*- 1>) ~~ A

^ àx h

à mesure que h diminue.

Lorsqu’on adopte la tUéorie des infiniment petits, ainsi que l’ont fait les premiers géomètres qui se sont oeeiipés dn calcul dilTérenticl, dy cl dx cessent d’étre de véritables zéros, mais sont des quantités infiniment petites appelées di/férentielles , sur lesquelles on peut effectuer toutes les opérations de l’algèbre et entre lesquelles il existe • (/v

un rapport détermine. A ce point de vue, est donc une véritable

fraction représentant le rapport de raccroissement d’une fonction à raccroissement infiniment petit de 1a variable et on peut tirer de l’équation précéilcnte,

dy = j'xdx.

La fonction dérivée fx est ici le coeflieicnt par lequel il faut multiplier l’accroissemcal dx de la variable indépendante pour avoir l’accroissement dy de lu fonction, ce (]ui a fait donner le nom de coeflicifitl tlilférenliel à la qiianlitc désignée par fonction dérivée dans la théorie des limites.

Dans ce qui va suivre, nous nous servirons indifféremment de ces deux dénominations, et quui<|ue l’on ait fait à lu théorie des infiniment petits le reproche de manquer de rigueur, parce que fx n’est en appa-

fl U

rencc que la valeur approchée de j cependant il nous arrivera souvent par la suite de faire usage de la considération des différentielles et d'écrire, par exemple, une éi|uation sous la forme

mais dans ce cas, il faut toujours, par la pensée, la rétablir sous lu forme

'hi

r=fx

qui permet d’employer, pour démontrer une proposition, la considération plus rigoureuse des limites.

CIIAPITIIE I.

Une première conséquence de l’équation diiïérenliclle dij — f'xilx

est que, si </x reste toujours positif, dij sera [tositif ou négatif avec fx c’est-à-dire, que si l’on conçoit que 1a variable x d’une fonction soit toujours croissante à partir d’une certaine valeur, la fonction sera ellc-niémc croissante ou décroissante suivant que la fonction dérivée sera positive ou négative.

On voit aussi que si deux fonctions fx et Fx sont égales pourx = a et que pour toute valeur croissante clc x la dérivée f'x reste inférieure à la dérivée F’x, la fonction f[a -+- h) sera pour toute valeur positive de h inférieure à F(a -t- /i), puisque lu fonction fx à iiartir de fa croîtra constamnient jdus lentement que Fx.

7. Dilférentiution et dérivation des fonctions. — On appelle différentiation ou dérivation, l’opération |»ar laquelle on clicrclic la <li(fércntiellc ou la dérivée d’une fonction donnée. Avant de déterminer la valeur des dérivées pour les dilfércntcs formes de fonctions, nous démontrerons certaines propriétés générales communes à toutes les dérivées.

Soit une fonction y composée de plusieurs fonctions distinctes de la forme

y = /x -t- Fx — yx.

11 est facile de voir que la dérivée totale est éyale à la somme des dérivées de chaque fonction prise aecc son signe; en elTet, en donnant à X un accroissement h, y prend un accroissement \y cl il vient

y Sy = f(x -s- h) -r- F(x -i- h) — y(x -t- h); mais, d’a|>rès ec qu’un a vu plus haut, un a

f{x h) = fx -y- hp[x -t- 0/t),

F(x -+- h) => Fx -4- //F'(x +- û7i), y(x -H h) = »x -4- hf(x -4- 0"/»);

il vient donc en substituant et en rcmur<|uant que y est égal à fx -4- Fx — ox ,

CALCUL DIFFÉRKKTIËL.

d'où l'on tire en di\isunl par h ou Ax,

— - = f'{x hh) -t- F'(i Vh) — !p'{x -4- Cl'7») ,

et en passant à la limite, c'est-à-dire, en faisant h «-gai à zéro, il vient

-fi = A'x F X — 9 X.

dx '

Si l'on emploie les infiniment petits, on conclut fucilcinent de cette équation (/ne la différentielle d'une fonction coiiipngée de plueieur» fonctions partielles, est égale à la somme des différentielles de ces fonctions partielles prises avec leur signe ; car en multipliant par dx, on a

dy = f'xdx -f- F’xdx — f'xdx.

et il est visible que f'xdx, F'xdx et f’xdx, sont les dilTércntiellcs de fx, Fx et fX. Il suit de là que lu dérivée de

est donnée par

qui est la même que si In constante a n'cxislait pas, car la dérivée du second membre est la somme des dérivées de chaque terme et le jircmier étant constant, son accroissement cl par suite, su dérivée, sont nuis. On voit par là que deux fonctions gui ne différent que par un terme constant, ont la même dérivée.

Si l'on avait à dilfércncier afx, a étant un cocfllcicnl constant, en donnant à x un accroissement h il viendrait

Al/ af(x A) — afx /(x -t- h) — fx

et à la limite.

qui apprend que la dérivée du produit d'une fonction par une constante est égale à la dérivée de cette fonction multipliée par la constante.

UIAPIIIIE I.

8. Dérivalion îles foiiclioiis de fonctions. — Il arrive souvciil qu’une fonclion y n’est pas exprimée immédialement au moyen de la variable indépendante x, quoique y déj)ende de celte dernière. C’est ee qui arrive lorsque la relation entre ÿ et x est établie au moyen du système des deux équations

y = fz, z = fx.

On dit alors que y représente une fonction de fonction de x. Il est visible qu’un aceroissement donné à x en détermine également un dans 2, à cause de la seconde équation , et cet accroissement de z en fait prendre un à la variable y par suite de la relation exprimée par la première; il doit donc exister une certaine déiiendance entre ^y

et Ax d’où dépend la valeur du rapport — cl par conséquent, de la

valeur limite ou de la dérivée^; cependant la première équation

différentiée ne donne que la valeur de la seconde fait connaitre

mais aucune des deux ne donne immédiatement —• Pour Iroudx dx

ver cette dernière dérivée, il semble qu’il suflit de remplacer 2 par

sa valeur yx dans la première équation, ce qui lui donnerait la forme

d’où on déduirait immédiatement la dérivée ---• mais celte marche

est souvent im|)ratirable à cause delà complication des calculs; il importe donc de trouver sa valeur dircelcmcnl. Donnons à x un accroisscinent h dans la seconde équation ; il vient

y'x étant la dérivée de fx ou ~ cl 0 une quantité comprise entre 0 et

Funilé. La variable 2 ayant pris un accroissement Az, déterminera dans fz ou y un accroissement ^y donné par l'équation

f(z + Ô'Az)

CALCUL DIFFÉRENTIEL. M

dons laquelle fz est la dérivée de fz, c’esl-Ji-dirc — > et 0' un facteur

(Iz

compris entre zéro et l’unité. En multipliant les deux équations précédentes membre à membre, il vient

Au As Au -

— • — > c’esUi-dirc, — =r(z 0'As)o'(ac (i/ii

As Al Ax ' ' ’

équation qui, si l’on passe à In limite, devient ilx ' f/x dx

et nous apprend que pour avoir la dérivée -J d’une fonction de fonc-

tion, il faut multiplier les dérivées des deux fonctions, prises chacune par rapport à la variable qu’elle contient.

On serait arrivé ù la même conclusion, mais d’une manière moins rigoureuse, pur la considération des infiniment petits; en clTct les deux équations différenciées donnent

di/ =■. f'zdz , dz = f'xdx

et en multipliant membre à membre et supprimant le facteur commun dz, il vient comme plus haut.

dy = f Z - fxdx ou

dz dx'

On démontrerait de la meme manière que si l’on avait y=fz, z = fu, ii = Fx,

il viendrait

dy dy dz du

dx dz du dx

c’est-à-dire que la dérivée de la fonclion y par rapport à la variable indépendante x, est donnée par le produit des dérivées de cbaque fonction prises par rapport à la variable qu’elle contient.

.Si l’on fait usage des différentielles ou des inriniincut petits, on multipliera les deux membres par dx cl on écrira ainsi :

dy dz du

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