CHAPITRE III
D'un autre côte, si, au même point crintcrscclion , on mène une tangente ù la courbe lieu géométrique des intersections, l’inclinaison de
celle seconde tangente sur l’axe des X sera déterminée par le ^ tiré
de F(x,y) = 0, et comme celle équation résulte de l’élimination de a entre f\x, y, a) — O et f'^ (x, y, a) = ü, on obtiendra celte valeur
de ^ sans effectuer l’élimination, en considérant dans la première, a
comme une fonction de (x, y) donnée par la seconde équation. La dérivée totale de f(x, y,a)=0 devient alors
dfjr, y, a) df{x, y, a) ^ d/ jx, y, a)
dx dy dx "* da dx ’
qui, à cause de
ou (x, y, a) = 0 ,
SC réduit à
df(x,y,«) df(x,y,a)dy ^ . dy dx
dx dy dx ~ ’ dx~ df(x, y, a) ’
valeur qui est la même que celle trouvée pour l’autre tangente, avec laquelle elle doit par conséquent se confondre; d’où l’on conclut que la courbe des lieux géométriques des intersections est partout tangente aux couibes variables. Cette propriété a fait donner ù la première le nom de courbe enveloppe.
Cette théorie des courbes enveloppes s’applique dans toutes scs parties aux courbes polaires, avec cette seule modification que pour démontrer que la courbe enveloppe touche toutes les courbes variables, ou fera voir que les touchantes à ces deux courbes font le même angle avec le
dr
rayon vecteur, ce qui résulte de ce que le est le même dans les deux courbes.
1" exemple. Trouver la courbe enveloppe d'une droite FG (fig. iO) d’une longueur constante, dont les extrémités sont assujetties à glisser sur les axes des X et des Y. L’équation de la droite FG csly = ox b.
CALCUL DIFFI^nCNTICL.
Oii en tire AF > AG = Ir, cl par eoiiséqiicnl , en représentant
par d la longueur FG,
d — zizb : il ou b
— ad
i/mr*
On prcnil le signe — , parce qu’il est visible que d doit être pris sans signe et que AG ou b étant positif, a ou tang GFX est négatif. L’équation de la droite prend la forme
y = nx
ad
qui représente toutes les droites telles que GF, en faisant varier la valeur de a. La dérivée de cette équation par rapport à a est
et si l’on élimine a entre celte dernière cl (1), ou trouve pour équation de la courbe enveloppe,
Le problème suivant conduit à la même solution ; trouver l’enveloppe de toutes les ellipses concentriques, dont les directions des axes coïncident et dans lesquelles la somme des axes est constante. On avait déjà trouvé (>'“ 62) que celle courbe est une bypocycloïde engendrée
par un point d’un cercle d’un rayon - roulant dans un cercle de
rayon a.
Si dans le problème précédent, le produit des deux axes de l’ellipse était constant, c’est-à-dire si toutes les ellipses avaient la même surface, la courbe enveloppe serait une hyperbole ayant scs asymptotes dirigées dans le sens des axes.
2” exemple. Étant donné un cercle invariable O (fig. 19) et un point fixe A, si l’on mène par A toutes les sécantes AUC et que sur les cordes BC prises pour diamètres, on trace des circonférences, trouver la courbe enveloppe de celles-ci.
riiAPirnK iii.
Prenons le point A pour origine et AOX pour axe des X; y* -+- (x — «i)‘ == /?*
est l’équation du cercle invariable, R étant son rayon et m = AO. Soit y = ax l’équation d’une sécante quelconque ABC; combinant cette équation avec celle du cercle, on aura pour les coordonnées des points d’intersection B et C,
et pour celles du milieu O' de BC ,
; ^ ftl BO'
L’équation du cercle décrit sur BC est donc
fl*
am \*
qui tient lieu de f{x, y, a) = 0, et qui , si l’on fait varier a , pourra représenter successivement tous les cercles décrits sur les cordes. La dérivée prise par rapport & a est
a(x* -4- y* -4- m* — fl*) — my = 0.
Kn éliminant a entre celte dernière et (I), on a pour l’équation de la courbe enveloppe ,
(x* -4- y* — fl* -4- m*)* — 2mx(x* -4- y* — fl* -4- m*) — m*y* = O, ([UC l’on peut mettre sous la forme
(x* — mx -4- iJi* -4- y* — fl*)’ — »n*(x’ -4- y*) =» 0.
Si les cercles variables avaient leur centre au point B et avaient .VB pour rayon, l’équation de l’cnvcloppc serait
(x* -4- y* — 2//ix)’ = 4fl* (x* -4- y*).
CALCUL DIFFtllEXTlEL.
. 3' exemple. Trouver la courbe enveloppe de toutes les normales à une. courbe donnée. L’i'qiinlitm d’une normale au point (x, y) de la courltc y = fx est
l' — X = — /’x (ÿ' — fx).
Il est visible qu’en changeant x, celte é(|uation re|irésentcra successivement toutes les normales. L’enveloppe s’obtient donc par l’élimination de X entre la précédente et sa dérivée prise par rapport à cette lettre, c’est-à-dire
-\^-f"x(y'~fx)^{f'xY.
On lire de ces deux équations,
yf —
= -fx
i-4-(rx)«
entre lesquelles il suffira d’éliminer x pour arriver à ré<)uation en (x', y') de l’enveloppe. Il est visible que les valeurs de x' et y' données par ces deux équations sont celles que nous avons trouvées précédemment pour le centre de courbure et que par conséquent la courbe enveloppe n’est autre chose que le lieu géométrique de ces centres de courbure, c’est-à-dire la développée.
On trouve de la meme manière que la courbe enveloppe de toutes les tangentes à une courbe donnée est représentée par celle courbe même.
4* exemple. Soient OA cl OB (fig. 20) deux droites données. Proposons-nous de trouver l’enveloppe de toutes les droites ab qui divisent ces deux longueurs OA et OB en parties réciproquement proportionnelles, c’est-à-dire, de manière que l’on ail
Ou : uA = B6 : 06.
Prenons les droites OB et OA pour axes des X et des Y ; l’équation de ab est
d'où l’on tire, en faisant successivement x et y nuis,
06 = — ^ , Ou = ?.
Si on représente par m cl n les longueurs OB et OA, 1a proportion devient
150 aiAPiTftE III.
En éliminant p entre cette pi<oportiun et l'équation de la droite, eelle^ii devient
: auc
mn%
ma — n
et elle représentera successivement toutes les droites ab, a'b’.... en changeant la valeur de a. L’élimination de a entre cette dernière et sa dérivée, prise par rapport à a, savoir :
(ma — «)*
donne
m’y* — Imnxy -h «’x* — '2m*ny — 'imn^x = 0,
équation qui appartient à une parabole. Les enveloppes obtenues par ce procédé sont connues dans les constructions sous le nom de courbes de raccordement.
Si 1a droite ab était assujettie à la condition de rormer des triangles Oab équivalents ou de donner pour Oo X 06 des produits égaux, la courbe enveloppe serait une hyperbole ayant les droites OA et OU pour asymptotes.
Si la somme des carrés des droites On cl 06 restoit invariable, la
courbe enveloppe aurait x‘“ y* = d* pour équation.
75. Caustiques. — Pour dernière application de la lliéoric des enveloppes, nous prendrons la recherche de l'équation d'une caustique, c’est-à-dire, de la courbe enveloppe de tous les rayons de lumière émanés d’un point lumineux cl réflécliis par une courbe donnée. Soient AB (lig. 21) la courbe réfléchissante, 0 le point lumineux, OM un rayon de lumière incidcal et MU le même rayon réfléchi. On sait que ecs deux rayons font des angles l'gaux avec la tangente T( à lu courbe réfléchissante au point .M ou (x, y).
Prenons le point 0 ]>our origine. Puisque les inclinaisons de O.M
et de Tl sur Taxe des X sont données par - et ^ , ces droites font
X dx
entre elles un angle dont la tangente trigonomélriquc est
.ÙL
dx
:bL
dx
ou .V,
CALCUL DIFFLRE.NTILL.
dans laquelle ^ est la dérivée tirée de l'équation de la euiirlic Ali. Soit (Ix
l’équation de la droite MD assujettie à passer par le point M; celle-ci
fait avec T( un angle dont la tangente trigononiétriquc est
et la condition de l’égalité des angles d’incidence et de réflexion se trouve exprimée par l’équation
i -+- a-, • dx
X dx X dx
ou A' =
d’où
dx
L’équation de MD devient donc, en substituant à a sa valeur.
dx
Si l’on conçoit que l’on ait remplacé y par sa valeur en x tirée de l’équation de la courbe AB, il suflira de faire varier x pour que l’équation précédente représente tous les rayons réfléchis ; prenons donc la dérivée par rapporta x, en observant que dans chaque application.
sont des fonctions connues de x, et éliminons x entre eette
dérivée et l’équation (4). L’équation finale appartiendra à la courbe enveloppe cherchée. On a donné à cette courbe le nom particulier de caustique.
Si la courbe réfléchissante est une ellipse, le point lumineux étant
l’un des foyers, en représentant par e l’excentricité ou \/ o* — 6’ , on aura
o*y* -V- b* (x — e)* = o*b*, d’où
du b*(x — e) 6*
dx «‘y ey
CIIAI'ITnK III.
et l’équation (1) (levienilra
y' — y— — — ou bien y’{x — ’ie) — y(x' — 2c)=0....(tJ)
Égalant à zéro la dérivée par rapport à x, en remarquant que y est fonction de x, on trouve
y'=~[x' — 2c), ou bien y' — — ^ ■ - (x' — 2e).
ilx iry
En éliminant x et y entre cette dernière, l’équation (2) et l’équation de l’ellipse, on est conduit à l’équation de la caustique. On trouve ainsi
qui se décompose en
c’est-à-dire que la caustique se réduit à un point qui est le second foyer de l’ellipse.
Si le point lumineux, au lieu d’clrc placé à l’origine, est situé dans l’axe des Y, à une distance n, il faudra changer y en y -r- n dans - -
En faisant ensuite n infini, tous les rayons incidents seront parallèles entre eux et à l’axe des Y. On trouve alors
et en dérivant par rapport à x,
et il suffira d’éliminer x et y entre ces deux dernières et l’équation de la courbe rénccbissanlc. Si cette dernière courbe est un cercle rapporté à son centre, l’équation de la caustique devient
CALCUL DIFFFULMTICL.
IÜ5
On trouve souvent, d'une manière plus expéditive, l’équation de la caustique en partant de cette propriété, que celte dernière courbe eut la développée de l'enveloppe des cercles qui passent par le point lumineux et ont leur centre aux points d'incidence de la courbe réfléchissante. Ainsi on a vu (N° 74, 2““ exemple) que si la courbe réfléchissante est un cercle, l'équation de la courbe enveloppe est
(x* »/* — 2mx)’ = 4fl’(x* -f- I/*);
il faut donc, pour avoir la caustique du cercle, chercher la développée de la courbe précédente. Cette propriété de la caustique a été reconnue par M. Quetelct, qui l’a démontrée dans les Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Belgique.
Lorsque l’équation de la courbe variable f{x, y, a) == 0 ne contient a que dans un seul terme, c’est-à-dire, lorsque celte équation est de la forme Ma" -i- A''= 0, ou plus généralement,
Mfa -F- .V = 0,
M et -V étant des fonctions de (x, y), l’enveloppe se réduit à un point par lequel passent toutes les courbes variables, car la dérivée par rapport à a est
Mf'a^O,
équation qui exige que M soit nul, ce qui ne peut avoir lieu sans que N le soit aussi, à cause de la première équation. Le système des deux équations M=0, .V=0 donne pour x et y des valeurs constantes. Ainsi si l’on cbcrchc la caustique d’une ligne droite y — ax -r- b, on trouve pour équation du rayon réfléchi, le point lumineux étant placé à l’origine et x tenant lieu de «,
X (y — ax' — 26) (1 -t- a*) — 6 [x' (o* — 1) — 2ay' -i- 2ab] = 0 ,
d’où l’on conclut que tous ces rayons passent par un point qui a pour
coordonnées x = — r et y == t ; •
L’équation (2) relative à l’ellipse, mise sous la forme
= 0 ou
et dans laquelle x tient lieu du paramètre a, vérifle pour l’ellipse la proposition qu’on vient de démontrer.
cii\pmir. III.
l’it
Il csl à rcinarqiHT que celle proposition n’esl vraie que si les fonctions M et .V sont algébriques et rationnelles; car si elles étaient susceptibles de prendre plusieurs valeurs, comme ces valeurs multiples ne pourraient être prises que successivement, l’équalioii Mfa -4- .V = O ne representernit plus la courbe dans toute sa généralité et dans toute son étendue, coiuinc le suppose la théorie des courbes enveloppes. Il faudrait dans ce cas faire disparailre ces valeurs iniiltiplcs en rendant M et .V rationnels. Alors le parainèlre a se combinera avec des i, y et la théorie des courbes enveloppes cessera d’étre en défaut.
76. Théorie géoméiriqiie des courbes enveloppes. — L’équation des courbes enveloppes peut être obtenue )iar une considération géométrique très simple. Il est visible que si l’on trace toutes les courbes
«6, a'b', a"b'' (fig. 22) correspondant au.x dilTércnlcs valeurs du
paraniclre variable a de l’équation
la limite ce'c''.... de l'espace occupé par les courbes variables se confond avec 1a courbe enveloppe. Il suit de là que pour une même ordonnée Ap, l'abscisse x qui correspond à l’cnvcloppc est la plus
grande des abscisses /)»«, jim', pm", /)M qui correspondent aux
différents paramètres a. .Si donc on considère y cominc invariable cl que l’on cherche la valeur de a qui rend x maxinuiin, on sera conduit il l’équation de condition
or, on sait que l’équation f{x, y, a) == 0 donne
ÉI
dx da
dx
L’équation de condition du maximum peut donc être remplacée pal-
et si on élimine a entre celle-ci et
on aura l’équation du lieu géométrique de toutes les extrémités des
CALCUL DIFFlIRëNTIEL. liio
plus longues abscisses pM , c’est-à dire qu’on aura, comme précédemment, l’équation de l’enveloppe.
77. Inverse du problème des courbes enveloppes. — Le problème inverse de celui que nous venons de résoudre sur les courbes enveloppes, consiste à irouver la courbe variable connaissant son enveloppe; mais ce problème est plus qu’indéterminé, car on peut se donner la forme de l’équalion de la courbe variable, pourvu que celle-ci contienne deux, paramètres, et se borner à ebereber la relation qui doit exister entre eux pour remplir la condition concernant l’enveloppe; soit en effet
FU, î/) = 0 (I)
l’équation de la courbe enveloppe et
l’équation de la courbe \ariable, cette équation ayant une forme donnée et contenant explicitement les paramètres a et p. Pour que la première équation appartienne à l’enveloppe de la seconde, il faut d'après ce qu’on a vu, que l’équation (I) résulte de l’éliuiination de a entre (2) cl sa dérivée par rapport à a, savoir :
di dp dot ’
Il faut donc que l’une de ces trois équations soit une conséquence îles deux autres et que, piar conséquent, si on élimine x et y entre elles, l’équation Gnalc soit identiquement satisfaite. Or celle-ci, de forme
déterminée, contient des», des S et la dérivée -p ; la valeur de 3 en a
di
qui y satisfera, fera donc connaître la forme qu’il convient de donner à la fonction p, dans l’équation de la courbe variable. Cette détermination est du ressort du calcul intégral, puisqu’elle dépend de l’intégration d’une équation dilfércntiellc entre p, dp, a et </«; mais, en partant d’une propriété des courbes enveloppes , on peut sans le secours du calcul intégral, déterminer la forme de la fonction p, moins générale à la vérité que celle fournie par l’autre moyen. On sait en
effet que les valeurs dc-*p tirées des équations (I) et (2) sont égales, dx
puisque ces courbes sont tangentes; d’où il résulte qii’cn désignant
par y sa valeur tirée »le(l), comme réqualion (2) >Joiinc en dcrivuiU par rapport à x,
dx dy dx ’ on a néccssaircinenl la relation
Si entre (i), (2) et (4) on élimine x et y, on obtiendra une équation en a et j3 qui, étant résolue par rapport à fera connaître la forme de cette fonction. Ainsi si l’enveloppe est l’hyperbole xy ==d et si la courbe variable doit être l’ellipse
ou trouve pourjâ la valeur
ce qui signiGe que dans l’ellipse variable, le produit 4aS des axes doit être constant. Si l’enveloppe est la parabole y’ = 2px et si la courbe variable doit être une hyperbole de la forme
on rccoiinait que ^ est égal à — et que par conséquent , le rap|)ort du carré de l’axe 2« à l’axe 2^ doit être invariable.
