CHAPITRE IV

Théorie des courbes gauches. Équations d'une tangente. < — Ki|uation du plan normal. — Dérivée d'un arc de courbe. — .\ngles formés par une tangente avec les axes. — Plan oseulateur. — Normale principale. ■ — Flexion d'une couiIk?.

— Angle de courbure. — Courhe> osciilatrices. Rayon de courbure. — Centre de courbure. — Équations du lieu géométrique des centres de courbure. — Axe |>our un point donné d'une courbe. Surface des axes, .\rctc de rebroussement -

— Torsion d'une courbe. — Condition pour qu'une courbe soit plane. — Applications à rhélice. — .Applications à l'hélice conique.

78. Théorie des courbes gauches. Eguations d’une tangente. — Passons nu.x applications des principes du calcul difTércnlicl à la théorie des courbes situées dans l'espace et rapportées à trois axes coordonnés rectangulaires. Les courbes sont dites gauches ou h double courbure, lorsqu’elles ne peuvent pas cire renfermées dans un inéinc plan. Nous avons vu qu’une courbe dans l’espace peut toujours être représentée par deux équations à trois variables, dont une seule, Z par exemple, est indépendante et deux, (i, g) sont dépendantes, savoir :

Chaque équation prise séparément, représente une certaine surface et l’ensemble des deux équations représente la courbe résultant de leur intersection. Si on élimine successivement x et y entre elles, la courbe pourra être donnée par deux équations de la forme

dont ebacune, prise isolément, est l’équation delà projection de la courbe de l’espace sur les plans des XZ et des YZ.

CIIAPITIIF. IV.

Pour trouver les équations de la tan|;cnte à la courbe de l’espace eu un point donné, remarquons que si l’on mène d'abord une sécante, les projections de cette droite sur les plans des .\Z et des YZ seront aussi deux sécantes dans les deux projections de la courbe de l’espace. En supposant ensuite que l’un des deux points d’intcrscetion de l’espace SC rapproche indéliniinent de l’autre, jusqu’à se confondre avec lui, la sécante deviendra une tangente et comme les points d'intersection de l’cspncc ne peuvent se réunir sans que les projections de ces points ne viennent aussi se conroiidre, il en résulte que lorsque la sécante de l’cspaec deviendra tangente à la courbe, les projections de la sécante seront également tangentes aux projections de 1a courbe. Cela posé, soient

<?(.r, =) = 0, ■Xi/, i) = 0.

les équations des projections de la courbe de l’espace sur les plans des XZ et YZ. Les équations de leurs tangentes, en désignant |Kir

(a/, I/', ï*) les coordonnées courantes de ces droites et par — > les

Cl Cf Z

dérivées tirées des deux équations de la courbe, sont

= y'-y = ^^Jz'-z) (1)

Le système de ces deux équations représente donc la tangente à la courbe de l’espace.

Si la courbe était donnée par le système des deux équations A(-^> =) = ü , /'’{x, y, i) = 0,

les valeurs de ^ et s’en déduiraient comme on l’a vu au N" lü. a Z a Z

7!). Equation du plan normal. — Quand on considère une courbe dans l’espace, on ap|>cllc encore normale toute perpendiculaire élevée sur la tangente au point de contact; mais il est évident qu’il y en a un nombre infini renrermées toutes dans un )>lan pcrpcmliculaire à lu tangente, plan (|ue l’on nomme plan normal. I.’équalion de ce plan s’obtient en cherchant l’équation d’un plan passant par le point de contact (jr, y, :] et perpendiculaire à la tangente dont un vient de trouver les é(|uatiuns. En désignant par (x', y', z') les coordonnées courantes de ce plan, son équation e^t

(*' “ •') -jj (f— y) = 0 .

CALCUL DIFFËRLMIEL.

que l’nn |>cul au<:si écrire de la manière suivante :

(x' - x) ilx + {y' - y) ,ly -4- {-J - z) dz = 0 (1 )

80. Dérivée d'un are de courbe. — Pour trouver la dérivée d’un arc de coiirlic dans l’espace, c’est-à-dire la limite du rapport de l’accroissement d’un arc de courhe à l’accroissement de la variable indépendante, considérons cetlc courbe dans son cylindre projettanl sur le plan XY, cylindre que nous pourrons déveloj)per ensuite dans un plan sans changer la longueur de la courbe. En désignant par s un arc de la courbe de I espace limité au point (x, y, z) et par s' l’arc correspondant de la projection sur le plan des XY, il est visible que dans la figure développée, les longueurs des arcs s et s' n’ont pas varié et que les coordonnées de l’extrémité de l’arc s sont c et s'; on a donc pour la courbe devenue plane,

or, en considérant la jirojcction s' dans le plan XY, on a

et comme x et ^ sont fonctions de z, on a aussi

df' d»' dx dy dz

dz dx dz dx dx

En substituant on trouve

Pour avoir la dérivée de l’arc, il suffira de remplacer — et ^ par dz dz dz

leur valeur tirée des deux équations de la courbe. Cette équation jieut s’écrire sous la forme

ds — [/dx* -♦- dy* ■+■ dz*

cl donne l’expression de la dilTércnticIle d’un arc de courbe dans l’espace.

On y parvient immédiatement en faisant passer ]iar deux points consécutifs de la courbe, ayant pour coordonnées x,y,z et x -+- dx,

CIIAI'ITHE IV.