IC.O

y -A- dy, Z + dz, trois plans parallèles aux plans coordonnés, ce qui donne naissance à un petit purallélipipcdc rectangle dont la diagonale est ds et dont les trois arêtes contiguës sont dx, dy, dz. On sait que l’on a

ds’ = dx' dy' -f- dz'.

81. Angles formés pur une tangente avec le.s axes. — Pour trouver les angles formés par la tangente en un point{x,y,z)dcIacourbedc l’espace, avec les trois axes, remarquons que si on mène une sécante passant par ce point et un autre point de la courbe ayant pour coordonnées X -4- Ax, y -+- Al/, Z -t- Az, les angles cherchés sont évidemment ceux que forme la sécante avec les axes, lorsque le deuxième point d'intersection vient coïncider avec le jiremier. Or, si l’on considère le parallélijiipèdc formé dans l’espace par les coordonnées des deux extrémités de l’arc As et ayant pour arêtes Ax, ^y, Ar et pour diagonale la cordc A's, il est visible que les cosinus des angles formés par cette corde avec les axes sont

Ax ^y Az A's’

et comme A's est égal à j/ Ax* -i- Ay’ -e- Ai’ , ces valeurs peuvent s’écrire ainsi

Ax Ay

Az Az 1

Az’ Al’ V V

Si l’on passe à la limite en faisant évanouir Az, il vient pour les angles 0, 0', 0" formés par la tangente avec les axes des X, Y et Z,

dx

Tz

ds ’

dl

dz ds ’ dz

CM.Cl'I. niFFÉIlKMIKI..

DU

cns 9" =

ils

Dans chaque application, il faudra remplacer^ par la valeur trouvée

. . ■ . . tlii , , . . , ,

plus haut et substituer a -j- cl leur valeur tirée des équations de

la courbe. Au point de vue des iiiGniinenl petits, ces valeurs peuvent se mettre sous la forme

(Ix , du „ dz

cos 0 = ~i cos 0 = -p î cos 0 = »

ds ds ds

en supprimant le dénominateur commun dz.

On serait arrivé aux mômes conclusions en cherchant directement , par les formules de la géométrie analytique, les angles que forme avec les axes, la tangente dont on a trouvé les équations (N° 78], On y serait arrivé aussi en considérant le petit parallélipipôde dont il est question à la fin du numéro précédent.

Nous avons supposé la tangente prolongée dans le sens de l’accroissement de l’are, provenant de l’accroissement de z. .Si on considérait la tangente comme prolongée dans le sens inverse, il faudrait prendre les radicaux et ecs cosinus avec les signes moins.

82. Plan osculateur. — Lorsqu’une courbe est gauche, c’est-àdire, lorsqu’elle n’est pas renfermée dans un meme plan, on ne peut par deux tangentes quelconques, faire passer un môme plan; mais on peut par ces deux droites, faire passer deux plans qui soient parallèles entre eux. Concevons que l’un des points de contact restant fixe, l’autre se rapproche indéfiniment du premier sons que les plans cessent d’être parallèles. Ceux-ci coïncideront en même temps que les deux points de contact et formeront le plan osculateur. Il est visible que ce plan n’est autre que celui qui contient deux tangentes consécutives ou deux éléments consécutifs de la courbe, puisque l’un des plans, au moment de la coïncidence, contient les deux tangentes, c’est-à-dire, deux éléments consécutifs de la courbe. Désignons par (x, y, z) les coordonnées du premier point de contact et par (x', y', i') les coordonnées courantes de la tangente et du plan qui la contient. Les équations de la tangente sont

CHAPI1RE IV.

I/cquation d’un plan passant par (x, y, :) est de la fornie

o(ar' — x)-4- 6(y — y)-t-;'~z = 0,

a et 6 étant quelconques, et pour que la tangente y soit renfermée, il faut que les coordonnées courantes (i', y', de celte droite satisfassent à l'équation du plan, c’csl-i-dirc, que ces coordonnées {id,y',z!) doivent être considérées comme identiques dans les trois équations. Si l’on élimine x' — x et y' — y cl qu’on supprime le facteur commun z' — Z, on trouve pour équation de condition.

dx . du

Prenons un second point sur la courbe , ayant pour coordonnées

(x -V- Ax, y -I- Ay, Z -t- Az), cl désignons par A

les

dx dy

accroisscinenls que prennent ^ et -—i lorsqu on remplace x par X -+- Ax, etc. Les équations de la tangente en ce second point seront

L’équation d’un plan passant par le point (x -i- Ax, y -t- Ay , z -t- Az) est de la forme

n' (x' — X — Ax) h' [y' — y — Ay) -+- r' — z — Az = 0 ,

et pour que celui-ci contienne la tangente, il faut, comme plus haut, que les cocHicicnts a', b' satisfassent à l’équation

Si les deux plans sont parallèles, les eoeflicients a, h et a', b' doivent être les memes de part et d’autre, cl on aura pour déterminer o, b les deux équations

n — b i dz dz