X -t- dx d (x -i~ dx) = X -4- 2dx -4- d*x
y -\-dy d [y dy) = y -v- 2dy -i- d*y,
z -f- dz d (z -4- dz) = z -4- 2dz.
Üans cette dernière équation, z est jtris pour variable indépendante, ce qui rend dz constant cl d*z nul.
85. \ormale principale, — Parmi les normales en nombre inlini que l’on peut mener en un point d’une courbe gauche, il y en a une renfermée dans le plan oseulatenr, qn’on nomme normale principale. Comme cette droite est formée par l’inlcrscction du plan normal cl du plan oscillateur, scs équations sont données par le système des équations de ces deux |>lans, savoir :
iu — y) :r.'^ '
'dz
CALCUL IHFFnbMILL.
—.v) (‘ ~ ,iz'J?)'~ '
que l’on peut mettre sous la forme suivante, en éliminant successivement y' — y, cl i' — X,
^ \dzdz* dzdz*)
*' [(/: dz dz* \dz J dz‘- dz*\ ’
./dy d*y dx d^x\
~dx dy d*x / f
dzdzdz* \^(
Vz )
Si au lieu de prendre z pour variable indépendante, on suppose x, y et Z fonctions d’une quatrième variable arbitraire (, ce qu’on exprime en faisant sur les dérivées les mêmes transformations qu’au numéro précédent, les deux équations de la normale principale prennent la forme symétrique suivante :
/dzd'-s dsd^z\
\dt dl^ dt dl* ) \dt dt^ dl dl^ )
^ -^^ydldl* dldl*) "^\dldl* dtdl^J ’
auxquelles un parvient en faisant d’abord usage des relations
/(/s\* , dsd*s dxd*x dy d*y
\z)^ {tz) ^\Tz)' dzTz'^dl d^^Tz dz*
dont la seconde est la dérivée de la première.
Comme 1a variable t est arbitraire, on peut faire t = «, ce qui rend ils (l^S
— égal à l’unité et par conséquent-^ égal à zéro; les deux équations de la normale principale deviennent alors
CIIAPITRR IV.
lüG
En faisant, pour abréger,
fl,
les angles V, n, v que forme celle droite avec les axes sont donnés par les formules
ds* ds* ds*
cos A = — — , cos f* = — — — , cos y = —
dans lesquelles il faudra prendre l’un ou l’autre signe suivant que la normale est prolongée dans le sens de la concavité ou de la convexité de la courbe.
8t. Flexion d’une courbe. Angle de courbure. — On appelle flexion d’une courbe en un de scs points, la* limite du rapport de l’angle que forment deux tangentes quelconques, à l'arc qui sépare les deux points de contact. Soient a, b, c les angles que forme avec les axes une tangente à une courbe au point (x, g, î) et a', b', c' les mêmes angles relatifs à une tangente en un second point (x -h Ax, */ -+- Ay, Z -I- ^z). L’angle r; formé par ces deux tangentes, qu’elles SC coupent ou non, est donné par
cos r, = cos a cos a' -t- cos b cos b' -t- cos c cos d, il laquelle il faut joindre les deux relations nécessaires 1 = cos* a cos’ b ■+■ C03* e ,
1 = cos’ a' ■+- eus* b' -h cos’ d.
Si l’on ajoute membre à membre les deux dernières et qu'on retranche le double de la première, il vient
tisin i >î = ^(cos o' — eos u)* -t- (cos b' — cos (,)’ -4- (cos c' — cos c)*.
En représentant par As l’arc qui sépare les points de contact, cette équation peut se mettre sous la forme
sinjri »! / /co3 a' — cos n\* 7cüs6' — cos6\’ /cosd — cosc\*
^rr’Âi^V ( l's ) As ) ’
ou bien en se rappelant que l'on a (N“ 81) dx dg
Il . Tz
ds
dz dz
eos a =
cos b = — j— , eos c = -r- (ts us
ds
CALCtL niFFh.RF.MIEL.
et remarquant que cos a' — cos a n’est autre chose que A cos a , t/x
, , dz
c est-a-dire , A — , lis
dt
sin i >i >i A y, As '
As
Az
En passant à la limite,— devient l’unité, ^devient ce que nous
dx
dr, \s , . ds 1 dz , ,
avons appelé la flexion ou-,- , — devient-,- et — A— 7- est la dérivée ' dt' Az dz Ai ds
dx
ds d’x dx d*s
. . . , . dz , ... dzdz^ dz dz*
jiar rapport a z de la fraction -y—, c est-ii-dirc, ^ ^ ^ . On
dz
a donc
— — ds
/ ds d*x dxd*s\ \Jhd^~Tzd?)
/ds d*u di/d*s\ [jhdU~tzd?)
Comme on a
s\* /dx\* /dii\
-{rO
et par suite
dx d*x dij d*ij
dz dz* dz dz*
dz*
KiS
cii.uMiiU': IV.
celle cxpressiuii se Iransfurinc dans la suivaiile :
dr,
ds
/ dx d*g dij d*x V
\jrz'dz*'~Tz~d7y
Uz,
Elle prend une forme Irès simple lorsqu’on choisit l’are s pour variable indépendante, au lieu de l’ordonnée z, comme au N" 83. La flexion, en prenant t pour variable indépendante, devient d’abord
— ds
et en remplaçant t par s, en ayant égard aux éijua'ions
/dx d*,J
dy d*x\*
(dyd*z
dzd*;jY^,
/ dz d*x
dx d*z-V
\dt dt*
~ (it dt*J
\dt dt*
dtdt*J '
[di dî*'
”(77 di*J
/ds\'‘
\dt)
/ dx\^ / dij\' / dz'Ÿ ftx' r/*x dij d-ij dz d*z
\ds) ^ \rf.s/ ^\ds) ’ ds ds*'*' ds ds* ds ds*
on trouve enfin ,
dr, //d*x\* /d*>i\* /'d*z\*
Ts~ V \d?) \dt*) wj ■
Quand on se place au point de vue des infiniment petits, on appelle angle de courbure, l’angle infiniment petit dr, formé par deux tangentes consécutives. Il mesure la flexion qu’il a fallu faire subir à
l’une des tangentes pour la plier suivant la tangente conséeulive. C’est
tlTi
pour cette raison que le rapport — a cté appelé flexion. La valeur de
cet angle est
CALCl'I. DIFFEnSKTIEI..
Pour une courbe plane renfermée dans le plan îles XY, l'expression de la flexion devient
dr, I f/s ds
parce qu’il faut foire et en remarquant que l’on a
ds
dx
dx
ds
eette équation prend la forme d}y dx dr, rfx* ds
ds
dx*
et en tenant eompte de l’expression du rayon de courbure p dans les courbes planes, il vient
dr, i ds P
On voit par là que dans les courbes planes, la limite à laquelle nous venons de donner le nom de flexion, représente l’unité divisée par le rayon de courbure ou le rayon de courbure inverse.
8b. Courbes osculatrices. Cercle osculateur. — On dit que deux courbes dans l’espace sont osculatrices de l’ordre n — 1, lorsque deux des projections de ces courbes dans deux des trois plans coordonnés sont cllcs-méincs des osculatrices de cet ordre, c’est-à-dire, lorsque les deux courbes ayant un point commun, ont en outre les dérivées
dx d*x
Jz dl*'
dz'
dz'
dz*'
» (N" 53) égales de part et
d’autre. Il est visible que si ces égalités ont lieu pour deux projections, elles existeront aussi pour la troisième, puisque les formules pour le cliaiigemcnt de la variable indépendante donnent
dy dx d*y dy d*x
dy dz d*y dz dz* dz dz*
dx dx ' dx*
Tz
•Il
dx*
CIIATITRE IV.
et que les dérivées contenues dans les seconds membres, dérivées qui se rapportent aux projections dans les plans des XZ et YZ, ne peuvent être égales dans les deux courbes sans entraîner l'égalité des dérivées des premiers membres, lesquelles se rapportent aux projections dans le plan des .\Y. Il est visible aussi que si les projections dans les plans des XZ et YZ n'étaient pas des osculatriccs du même ordre, le plus
dij d*ÿ
petit des deux indiquerait le nombre des dérivées -p > qui
dx dx'
seraient égales, c'est-à-dire, l'ordre de contact des projections dans le plan des XY.
Il suit de là que, des trois projections d'une courbe et de son osculatricc en un point donné, il y en a toujours deux qui ont un contact du même ordre, la troisième ne pouvant avoir qu'un contact du même ordre ou d'un ordre supérieur. C'est le premier qui désigne l’ordre du contact des deux courbes de l’espace. Il suit aussi de ce qu'on a vu au N" 54-, que pour deux osculatriccs d’ordre différent en un même point d’une courbe, celle qui est de l’ordre le plus élevé a deux de scs projections plus rapprochées que l’autre des deux projections de la courbe donnée, ce qui ne peut avoir lieu sans que celle-ci soit dans l’espace plus rapprochée de la première osculatricc que de la seconde; car si on prend sur cette courbe et sur l’une des osculatriccs qu’on suppose de l’ordre n — 1 , deux points voisins du point de contact, le carré de lu distance est égal à la somme des carrés de ses trois projections, projections dont deux au moins sont des infiniment petits de l’ordre n — 1, la troisième ne pouvant être, d’après ce qu’on vient de voir, qu’un infiuimcnt petit du même ordre ou d’un ordre plus élevé et par conséquent négligeable. La distance de l’espace est donc aussi un infiniment petit de l’ordre n — 1.
Ceci posé, prenons pour courbe osculatrice, le cercle et proposonsnous de déterminer son rayon et sa position, de manière à le rendre osculateur en un point (r, y, z) d’une courbe. Ce cercle est donné par deux équations de la forme
la première exprimant que tous scs points sont à une distance constante P du centre (a, p, y), et la seconde, que le cercle est renfermé dans un certain plan passant par le centre («,p, y). Les coellicieiils a et h qui fixent rinclinaison de ce plan sur les axes, sont des constantes
CALCUL DIFFCHENTIEL.
inconnues. On voit qnc ces équations renferment six constantes, a, p y, p, a, b, dont on peut disposer pour rendre oscillateur le cerele précédent, e’est-à-dire , pour faire en sorte que les deux courbes aient un
, dx du d^x d*y
point commun (x, y, ;) et que les quatre dérivées ^ J
soient égales dans les équations de la eourbe et du cercle. Si x — fz, y=zFz sont les deux équations de la courbe, ces dérivées auront pour valeur fz, fz, F'z, F"z et la première condition donne lieu aux équations suivantes :
[fz-.y -H (Fz-py + {z~yy = y (Jz — a) O -t- [Fz — P) 6 -t- S — 7 = 0.
Eu dérivant deux fois la seconde, on est conduit aux deux équations afz + bF'z + 1=0, afz bF"z = 0.
On tire de là les valeurs des deux eonstantes inconnues a et b,
F”z fz
“ F'z fz fz F”z ’ fz F" Z F'zfz '
Les valeurs de ces deux coclTicients qui fixent la direction du plan du cercle osculateur, sont les mêmes que celles des quantités analogues trouvées pour le plan que nous avons apjielé osculateur (N"82J; le plan du cercle osculateur se confond donc avec ce dernier.
86. Rayon de courbure. Centre de courbure. — Les valeurs de a, p, f et f> pourraient être obtenues de la même manière, eu dérivant deux fois la première dos équations du cercle; mais on y arrive plus |iromptcnicut coiiinic il suit : remarquons d’abord que la llcxion est la même dans la courbe donnée et dans le cercle osculateur, puisqu'il
n’entre dans l’expression générale de -j- (voir (I) du N“ 84) que des
dérivées des deux premiers ordres, dérivées qui sont égales dans les deux courbes; or, on a vu (lin du N" 84) que dans une courbe plane
dy} 1
cl pur conséquent dans le cercle osculateur, la limite -^estégaleà - ;
ns P
4 dr,
on a donc, en égalant -à l’expression de — > les dérivées étant prises dans les équations de la courbe,
CIIAFIIIIE IV.
Le rnyon p mené au point de contact est appelé rayon de courbure. Sa ilirection est renrerinée dans le pion osculaleur et de plus il est nonnul ù la courbe, car les deux équations
appartiennent à la tangente à la courbe ou a la tangente au cercle
osculateur, suivant que les dérivées — d-i^sont tirées des équations
dz dz
de la courbe ou des équations du cercle, et comme ces dérivées sont égales de part et d’autre, il en résulte que ces deux tangentes coïncident et que par conséquent le rayon de courbure, normal au cercle, l’est aussi ù la courbe. Le rayon de courbure étant ù la fois nonnul ù la courbe et rcnfernié dans le plan oseulaleiir, est dirigé suivant la normale principale dont on a trouvé les équations (N» 85). Les angles >, pi, V que forme le rayon de courbure avec les axes, sont donc donnés par les formules
cos > ■
cos (A •
ds^
//d*xY /d*yY /d^zY
V (jhO ^ (ji?) \JÎ?)
valeurs que l’on peut encore écrire sous cette forme.
cos O -r-r , cos U = P -r-4 J cos ï = P
figi
Kniin les coordonnées (a. S, y) du centre de courbure s’obtiennent par
CALCUL DIFFÉIIE.NTIEL. 175
la considcration que les projections du rayon de courbure o sur les axes sont données par
P cos À, P cos pt, P cos V
et que CCS projections sont égales à
* — X, P — IJ, y — Z.
En égalant ces deux valeurs, on trouve
87. Equations du lieu géométrique des centres de courbure. — Les équations du lieu géométrique des centres de courbure s’obtiennent en éliminant (x, ty, z) entre les trois équations qui donnent les valeurs de (a, p, y) et les deux équations de la courbe. Les deux équations en (a, p, y) que l’on trouvera, sont les équations du lieu géométrique. Les rayons de courbure successifs étant renfermés dans des plans dilTércuts, il est visible que deux rayons de courbure consécutifs ne se rencontrent pas, et par conséquent, ne sauraient être des tangentes à cette courbe, ainsi que cela a lieu pour les développées des courbes planes. Le lieu géométrique des centres de courbure ne saurait donc avoir des propriétés analogues à celles des dévelop|)écs des courbes planes. Aussi dans les courbes à double courbure donne-t-on ce nom à des lignes essentiellement différentes et dont il sera question plus loin (N“ 89).
88. Axe pour un point donné d’une courbe. Surface des axes. Arête de rebroussement. — On appelle axe d’une courbe pour un point donné, la perpendiculaire élevée sur le plan osculatcur au centre de courbure. Les équations de cette droite se trouvent facilement, puisqu’on connaît l’équation du plan oscillateur (N° 85) et les coordonnées du centre de courbure. En représentant par (x', g', s') scs coordonnées courantes et en laissant à [a, p, y) leur signification precedente, on trouve pour les équations de cette droite
""'ydldl^ dldl*) ''Kdtdl^ dtdt^J
/ dy d*x dx d-g\ i
'\dtdt* dtdiy "''\dnlt^ lüiliy
CIIAIMTHE IV.
dans lesquelles il faut remplacer (a, p, y) par leur valeur en z trouvée plus haut (N° 87). Elles prennent alors la forme suivante, en posant l — s,
(x' - xl - ( z' - r 1 ^ ,
\ds ds^ dsds^J ~ \ds ds* dsds'J dx
lu'—iA
•''\dsds* dsds*J ' '\dsds' dsds^J ds'
On peut aussi considérer l’axe que quelques auteurs nomment droite polaire, comme étant l’intersection de deux plans normaux consécutifs, et par conséquent, eomnic étant le lieu géométrique des centres de toutes les sphères que l’on peut faire passer par trois points consécutifs de la courbe.
L’ensemble des axes correspondant à tous les points d'une courbe forme une surface que l’on nomme surface des axes ou surface polaire. On peut la considérer comme engendrée par un axe assujetti à se mouvoir suivant une loi déterminée qui dépend de la forme de la courbe donnée. Cette surface est donc réglée. Elle est de plus développable, c’est-à-dire, qu’elle peut être développée dans un plan sans rupture ni duplicature, ce qui exige que deux génératrices consécutives soient renfermées dans un même plan cl viennent par conséquent SC couper, cc qui a lieu en effet, car si l’on considère trois plans normaux consécutifs, il est clair que le ])hin intermédiaire sera coupé par le premier cl par le troisième suivant deux droites c|ui seront deux axes successifs. Ces axes par leurs intersections deux à deux déterminent une courbe à double courbure que l’on nomme arête de rebroussement de la surface développable. Il est facile de rceonnaitre que les plans normaux sont tous tangents à la surface des axes; car en considérant trois plans normaux consécutifs, le plan intermédiaire renfermera, comme on vient de le voir, l’élément de la surface des axes compris entre deux axes consécutifs, et pourra par conséquent, être considéré comme le prolongement en tous sens de cet élément; or, de même qu’une tangente à une courbe est considérée comme le ])rolongcment d’un élément de la courbe, de même on doit considérer les plans tangents à une surface développable comme le prolongement de scs éléments superficiels.
Un raisonnement semblable servirait à prouver que tous les axes ou
CALCUI. DIHKIIEMIKI.. I7’i
toutes le» géncratriccs <le lu surface dévcloppnlilc sont tangents à l'arête de rchrousscmcnl.
L’equalioii de la surface des axes peut être obtenue dans chaque cas, en êlimiiiunt (x, y, :) entre les deux équations de l’axe et les deux équations de lu courbe à double courbure. La relation entre (x', y', z'} que l'on obtiendra, sera l’équatiuii chercbcc.
Les équations finies de l’arête de rebroussement s’obtiennent en remarquant que, puisque les axes successifs sont tangents à cette courbe, les projections des axes sont aussi des tangentes aux projections de la courbe; d’où il suit que les projections de l’arête ne sont antre chose que les courbes enveloppes de toutes les projections des axes. Les équations jiourrunl donc être trouvées pur la théorie des courbes enveloppes.
Quand on connaît l’équation de la surface des axes, il suffit de chercher l’une des équations de l’arête, puisque celle-ci est contenue dans la surface.
La théorie des surfaces enveloppes conduirait également à l’équation de la surface des axes, puisque celle-ci est tangente à tous les plans normaux.
89. Développée d’une courbe gauche. Son égualion. Ses propriétés. — Si l’on conçoit un fil inextensible constamment tendu, s’enroulant sur la surface des axes, en s’appuyant sur la courbe de l’espace, la ligne suivant laquelle ce fil s’y enroulera, prend le nom de développée. Comme la dévclo|)péc est renfermée dans la surface des axes, l’équation de cette dernière est une des équations de la développée. La seconde s’obtient par la remarque, qu’il résulte du mode de génération, que toute tangente à la développée étant représentée par la partie rectiligne du fil, rencontre la courbe à double courbure. Si donc (x,y, ejsonl les coordonnées d’un point de la développée, (a, ^,7) celles du point correspondant dans la courbe de l’espace, et (j/, y', t'), les coordonnées courantes de la tangente; comme les équations d’une tangente en (x, y, z) sont
on aura, en remplaçant (x*, y', z') par (a, p, y),
CIIAPITlli; IV.
et il suflira d’éliminer (*,, S, 7) entre ces deux dernières et les deux équations de la courbe de l’espace, pour avoir une relation entre (x, y, z) qui sera la seconde, éipiation cliercbéc de la développée. Il est
, . dx du
vrai que cette relation, contenant - - et-p 1
dz dz
se présente sous forme
dilTércnticlle; mais le Ciilcul intégral apprend à remonter de là à l’équation finie.
Remarquons qu’il résulte aussi du mode de génération, 1“ que le nombre de développées pour une courbe à double courbure ou pour une courlic plane est infini, puisque la position initiale du fil est iiidéterniiiiée. 2“ La partie rectiligne du fil, comprise entre la développée et la courbe de l’espace, estconstaiiiiiicnt normale à cette dernière, puisque, si l’on mène au point où se termine le CI, un plan normal ù la courbe à double courbure, comme celui-ci est tangent à la surface des axes, il doit contenir toutes les tangentes menées de ce point à la surface des axes et par conséquent le fil rectiligne, ô" Le point du fil qui s’appuie sur la courbe de l’espace pendant qu’il se déroule de la développée, est toujours le même; en effet, concevons le fil dans une quelconque de ses positions et désignons par 0 le point où la partie rectiligne touclic la développée et par m, le point où elle se termine sur la courbe à double courbure. Déroulons infminicnt peu le fil enroulé sur la développée et supposons que l'extrémité m, nu lieu de décrire, un petit arc mm’ de la courbe de l’espace, décrive un petit arc mm" différent de mm'. L’arc mm" pouvant être considéré, à la limite, comiiie décrit du centre 0, est situé sur une spbèrc ayant son centre en ce point; le fil om" est donc normal en m" à l’arc mm". On a vu, d’autre part, que ce mèuic fil est normal en iii'à réléiiiciit mm’, ce qui ne peut avoir lieu que si les points m' et m" se confondent. La courbe décrite par le point m se cniifond donc avec la courbe de l’espace.
EiiUn, puisque la forme qu’affecte la développée est duc à la tension du fil, il est évident que la longueur de la courbe tracée sur la surface des axes, est la plus courte possible entre deux quelconques de scs points. D’où il suit que si on développe dans un plan la surface des axes, les dévclojqiées se rabattront suivant des lignes droites, qui sont, en effet, les plus courtes qu’on jiuissc tracer dans un plan entre deux points donnés.
flO. Torsion d'une courbe. Condition pour qu'une courbe soit jilane. On appelle torsion d’une courbe la limite du rapport de l’angle formé par deux jilans osculatcurs, à l’arc de courbe qui sépare les deux
CALCUL DIFFK1\ENT1EL
points de contact, ou la valeur de ee rapport lorsque l’are s’évanouit. L’équation du pian oscillateur au point de la courbe (x, y, z), élant de la rorinc
dp dz‘ '*■ V/- dz* dzdz*)~ '
celle du plan osculalcur au point (x Ax, y Xy, z A;) est
/ dx dx\ / d‘x d*jc\n
en désignant par A
les accroissements des
fonclions^j quand on v change z en r -t- A:. Mettons ees
dz dz^
deux équations sous la forme
(x' — X — Ai) (A' -4- A.V) ^{y' —y — \y) ( Y AV)
+ {z' — z— iz) {Z -4- AZ) -= (I.
L’angle £ formé par ces deux plans est
A' (A' -4- aA’) -4- )■ ()' -4- AV) -4- Z (Z -4- AZ)
eos £ ■■
l/x* -4- )■* -4- Z^ (/(A i A.V')‘ [Y -4- A)')» -4- (Z -4- AZ)Î
d’où l’on lire
sin- ‘ ^ z*J[[x -4- aa)^ s-^)- -4- A17 -4- (z + az)*]' ’
Avant de passer à la limite, écrivons celte valeur de la manière suivante, en désignant par A.s l’are qui sépare les deux points de la courbe.
(A’i -4- -4- Z‘)[(A' 4- aA')=-4. (V I- A>')=-4- (Z -e AZ)’] —
CIIAI'lTIll: IV.
.Si maintenant on rapproche inilcfiniincnl les deux points et si on remarque que, quand àz s’évanouit, les rapports
A.V A}' àZ As sin £
Ar At A: A: £
deviennent
d.\ (JY ilZ ds . ,
~7~’ ~r ’ —r’ T> et 1 unité, dz dz dz dz
on trouve, en désignant par ^ la valeur ilu rapport^:! la limite et en observant que A.V, A>’, AZ sont nuis,
’j\* y dz dz J \ dz dz J \ dz dz J
|)iiis remplaçant A', Y, Z par leur valeur, on trouve pour la torsion
f/*x fi'y d'y d-’x de dz' dz^ dz' dz'^
d'x\' /d'y\' /dyd'x dxd'y\'
ik' dT'~dz dz')
Cette expression prend une forme symétrique si, au lieu de traiter z comme variable indépendante, on considère (x,y,z) comme fonctions d’une nouvelle variable 1; on trouve alors, en remar(|iiant que le
dénominateur est égal h
j f/x (IH __ (I^z ^ ^ d^x d^x d^z
dÿ /ds\(^[dt\dt* dt^ dt^ dt^J dl\dt*dt^ dl^ dl^
^ rf; / d'x (ky d'y (kx
'dt^ J]
dt\dt' dl^ dl
Quand on prend de nouveau z pour variable indépendante, cette expression devient
dî
cë)
(/.s\“ \dz' d
d:' dz^ J
CALCUL UIFFËIILNTIEL.
La qunntilü Jz qui, dans In tlu-uric des inriniinciil petits, est l'angle formé par deux plans osculuteurs séparés par réléincnl du cuurlie ds, se iiominc angle de torsion ou angle de seconde courbure.
On déduit de cette valeur de la torsion d’une courbe, la condition nécessaire pour <pie celle-ci soit plane. H faut, eu effet, que tous les plans oscillateurs se coiirondcnl et par consé(|iient que dî suit nul pour toute valeur de :, ce qui exige que réqiiatioii
dz' dz^ dz^ dï*
soit satisfaite identiquement, c’est-à-dire, pour toute valeur de z. .Si Z ne disparaissait pas de l’équation, eclle-ci servirait à trouver le point de la courbe où la torsion est nulle. Il est visible que lorsque la courbe est plane, l’éqiiulioii du plan oscillateur en un point quelconque devient l’équation du plan de la courbe.
Comme les axes successifs d’une courbe donnée sont normaux aux plans oseulaleurs successifs, les angles formés par ces axes sont égaux aux angles formés par les plans oseulaleurs. D’un autre côté, les plans normaux successifs étant perpendiculaires aux éléments de la courbe, les angles qu’ils formeiil entre eux sont égaux aux angles de courbure de celle-ci, et comme ces plans normaux sc confondent avec les faces successives de la surface développable, faces qui cnntiennent chacune deux élénients de l’aréte île rcbronsscincnl, il est visible que ces plans normaux successifs ne sont autre chose que les plans oseulaleurs successifs de l’arête de rebroussement. Il existe donc entre une courbe donnée et l’arêlc de rebroussement de sa surface polaire, celle relation que les angles de courbure de la première sont égaux aux angles de torsion de la seconde, tandis que les angles de courbure de celle-ci sont égaux aux angles de torsion de la première. . Il suit de là que si on traite l’arèlc de rebroussement comme on a traité la courbe donnée et qu’oii détermine sa surface polaire et par suite, l’arétc de rebroussement de eelle-ci, cette seconde arête aura scs angles de courbure et de torsion égaux aux angles de torsion et de courbure de la première arête. D’où il résulte qnc la courbe donnée cl la seconde arête de rebroussement ont les méincs angles de courbure cl les mêmes angles de torsion.
IM. Applications à l'hélice. — Appliquons celte théorie à Vhélice, c’est-à-dire, à la courbe tracée sur un cjlimlre droit à base circulaire, qui coupe toutes les génératrices sous un angle constant ou dont
ciiii'iniK IV.
toutes les tangentes sont également inclinées sur la Iwse du eylindre. Clierelions d'abord les équations de eette courbe, en prenant pour origine des coordonnées, le centre de la base du cylindre et pour axe des Z, sou axe. Comme la courbe est tracée sur la surface, elle a jiour projection des XY la base iiiéme du cylindre; une des équations de rbélicc est donc, r étant le rayon de la base,
Pour trouver les autres équations, remarquons que si on développe la surface convexe du cylindre, elle formera un rectangle A'B'C'D' (lig. 23) et l’hélice AC deviendra l’oblique A'a, puisque les tangentes aux dilTércuts points de la courbe étant également inclinées sur les génératrices du cylindre, devront a|>rès le développement, faire des angles égaux avec des parallèles à A'D' et par conséquent se confondre toutes dans une même droite A'a. Une ordonnée mn de rbélicc sur la surface du cylindre, deviendra donc l’ordonnée m'n' de l’oblique A'a et l’arc de cercle A« deviendra A'«'; or, le triangle rectangle A'in'n' donne
m'n' = A'n' tang «l'A'n' = A» tang » = a. A«, d’où An= — »
V étant l’angle constant m' A' n' et a sa tangente. D’un autre côté, si on désigne par (x, y, z) les trois coordonnées du point m de l’iiélicc, c’est-à-dire, Op, pn, tnn et par u l’arc de cercle An, on trouvera facilement, en suivant la même marche qu’au commencement du N“ 61 , c’est-à-dire, en considérant à part, la base du cylindre (lig. 23'’*'*), et décrivant du point O comme centre avec un rayon égal à l’unité, le cercle aJ3,
. M If
r siii - ) pn = t/ ==s r cos — >
oii hicn, ù cause de «=-> cüininc on vient de le voir, a
X — r sin — , V = r cos —
«r ar
Ccsdeuxéquations cn(x, ly, :) appartiennent aux projections de l’hélice sur les plans des .\Z et des YZ.
CALCUL DILUKItEMiEL. J I
üD'
.Le triangle rectangle ilonne pour a ou laiigi) la '****^*'*'^<]ÿ
c'est-à-dire^- > en désignant par p la distance aB' <pic 1 ou nomnic 2n-r
pas de l'hélice. On déduit des deux dernières équations,
dx 1 : dij
dz U ar az
I sin — )
a ar
u’r ar
COS — 5 - — r-; cos — »
ar dz
— — -sin — u’r* ar
En substituant, on trouve : 1° équations de la tangente
cos~ (:' -Z), y' -y = sin {z' - .-),
ou bien
2" équation du plan normal
(x' — x) cos— — (y' — y) sin 1- a (z' — z) = O,
ar
ou bien
5" Dérivée de ta courbe
ds f\ -t- a^ I dz y/ U* sin V
4” Angles que forme la tangente avec les axes
eus 0 =
eos—
ar y ■
— eos r, eos b' = — — r — eos e,
cosO".= -
fl
CIIAIMTIIK IV.
Celte troisième équation constate que la tangente l'ail avec l’axe tics Z un angle invariable, ce qui résulte, du reste, de la dérinilion de celle courbe.
îi" Equation du plan osculateur
(j/ — x) O cos ((/ — I/) n sin — i) = <•,
' ' ar ar ^
ou bien
Un en conclut que ce plan fait avec la base du cylindre un angle invariable ayant a pour tangente.
C“ Equations de la normale principale
z’ — Z et y' — y = eot — Ix' — x),
(ir
ou bien
z' = Z et 1/x/ — xy' = 0.
La première équation apprend que cette normale principale est parallèle ù la base du cylindre, et la seconde, qu’elle rencontre toujours son axe.
7" Valeur de la flexion ou de l’angle de courbure
dv) cos'o ds
-— = ^ ou 07) = — cos’o.
ds r r
On voit que la courbure est invariable.
8° Itauon de courbure
9* Angles formés par le rayon de courbure avec les axes
cos À = — sin — == ) eos a = — cos — = — — > cos v = 0.
ar r ar r
La dernière exprime que le rayon de courbure est toujours perpen diculuire à l’axe du cylindre.
10“ Coordonnées du centre de courbure
a = x — sin— = — u*x, 3 = y 1- cos — = — n-y,
cos'o ar cos*l> ar
