C.MCl'L niKKÏIIE.''iTIKL
is:;
1 1“ Equations de la ligne des centres de roiirlturc
a* -t- S’ = a*r*, a = — a*c sin — » 6 = — a*r eus — •
«r . ar
On voit que ccUc courbe est une hélico, avant le même axe que la première, et tracée sur un cylindre dont le rayon est a’r. Dans cette nouvelle hélice, l’inclinaison constante des tangentes sur la base du cylindre est le complément de l’angle r, et le pas de vis qui, dans fa première, est égal à '2unr, conserve cette même valeur. On reconnaît aussi que le lieu des centres de courbure de cette dernière hélice n’est autre que l’hélicc primitive.
12* Equations de l’axe de la courbe au point (x, y, z)
XX H- yy = - a*»-* (2)
13“ Equation de la surface des axes
Pour obtenir cette équation, on résout par rapport à x et t/, les deux équations x* -h y* = r* et (2); on substitue les valeurs dans (1),
puis tirant les valeurs de z, on les substitue dans x = rsin — i
ar
y — r cos — et les valeurs obtenues ainsi pour x et y sont introduites ar
dans (2).
Dans celte équation de la surface des axes, le signe moins répond au cas où l'bélice tourne de gauche h droite comme dans la ligure. Si l'hélice tournait de droite à gauche, l’inclinaison v des tangentes sur la base serait un angle obtus; a changerait donc de signe et l’on prendrait le signe plus du radical.
H” Equations de l'arête de rebroussement
x'* O- u'* = u*r- et x' sin 1- y' cos — = — a-r
ar ^ or
CIIAIMinK IV.
IKV
iiii liicii
' — — a*r sin—» v' — — n*rcos — >
ar •' ar
qui SC confond avec l’Iiélice trouvée sous le N“ il", pour le lieu des centres de courbure. Ces dernières équations se trouvent fort simplement, en combinant l’équation de la surface des axes avec l’équation de la courbe enveloppe de toutes les projections XY de l’axe, représentées par la seconde des équations (1:2") mise sous la forme
l' sin — -H «/ cos -^ = — a*r.
ar ar
iîi" Torsion et angle de torsion
- ens’» — r
sin 2v 2r
et
, fis ■ -
dt — — sin 2r.
92. Applications à l’hélice conique. — Considérons encore l’/iélice conique, c’cst-à-dire, la courbe tracée sur une surface conique droite à base circulaire, de manière que les touchantes aient une inclinaison constante sur les génératrices ou sur la base. En désignant par /, r, v la hauteur du cône, le rayon de la base et l'inclinaison des touchantes sur la hase, les deux équations de cette courbe sont
la première exprimant que la courbe est située sur la surface conique, et la seconde, que rinclinaison des tangentes sur le plan des .XY est égale à l’angle constant r. En diiïércnciant la première et en faisant.
pour abréger, suix'ante(*).
k == \ / — cot*c — 1 , ces équations prennent la forme dx kg — X dy y -t- kx
dz l — z’ dz'
(’) On trouve pour — cl — «leux .systèmes de valeurs, répondant aux deux va- <lz dz
leurs de k. Celles-ci conviennent quand la spirale tourne, eoinine dans la ligure, de gauelie à droite. Si elle tournait de droite à gauelie, k changerait de signe, parce que dans In valeur trouvée plus bas, t devient obtus et tang ( devient négatif.
On lire de là
CALCUL DlFFLin-^VTlKL.
i.y fi'y ,x — h
thJ ■■ (/-:)*’ d'j (/-:)»’
dz^
= Jt(l -4- A-*)
Soient M (fîg. 24] un point de rhélice, OC la génératrice du cAnc qui passe por ce point, MT une tangente à la courbe et MP une pcr(>cndicnlairc sur le rayon AC. Si l’on conçoit une sphère décrite du point M comme centre, avec un rayon quelconque, elle sera coupée par les trois faces de l’angle triedre M suivant le triangle sphérique abc rectangle en a, qui fournit la relation
cos 6c = cos ac cos ab c’est-à-dire , sin c = cos a eos t,
où l’on désigne par a l’angle au sommet du cène, et par t l’angle constant que font les tangentes avec les génératrices. Au moyen de
ccHc relation la valeur de k devient, en observant que - = cot a,
k = ^cot* (i cot* V — 1 —
cos’ « cos’ 0
• sin’ a siii’ V
sin a sin v
(/cos* O — sin* 0 tang t sin a sin u sin a
Le triangle sphérique o6c donne aussi tang aM6 = sin «Mc tang c,
, tang ( ,
d ou 1 on lire encore . ■ = tang TPC — k.
sin a
Cela posé, on trouve : 1° Dérivée de l’are
ds 1 dz sin V
On conclut de là que l’arc s est égal à — ou à la longueur de la ' ” sin ü
Inngcnic.
2” Équation du plan osculateur au point (x, y, z)
— j) (i — ky) -t- (y' -y){y-t- kx) + (s' — î) (< — s) cot’ e = 0.
CilAI'ITHF. IV.
k CÜS* V
X lang’ V,
k cos* V
■ y tang* V, y =, Z.
7" Équations du lieu géométrique des centres de courbure
. , 1 -4- k* sin* IV ,
“ ^ = lang* a - (/ - v)S
f/a a -4- k^ dp ka — p
rf^/^"TT7’ T/=T-7‘
Ces deux équations sc présentent sous forme diffcrenlielle ; niais on verra plus loin, dans le calcul intégral, les équations finies qui tiennent lieu de celles-ci.
8“ Torsion de la courbe
de sin v ds r [l — z)
j/ /* cos* f — r* sin*
sin I siii r lung t' tang a />
On conclut de ces cfpiations, 1“ que le plan osculalcur fait avec Taxe du cône un angle invariable égal à v, 2“ i|uc les rayons de coiiihurc sont parallèles à la base du cône, et 3” que le lieu des centres de courbure est une hélice eoiiiquc tracée sur un cône ayant nièiiic hauteur/
CALCUL UIFFÉHLMICL. 187
que le premier cl dans lequel test reiiiplaeée par — k, c’csl-à-dire ,
tang t tang I' lang ( — ...
par ; — , t et a étant pour ce dernier roue
üin U sin a sin u
ec que sont t et a pour le premier.
L’inclinuisoii ronslanle v/ des louc/ianles sur la base du cône, déduite de l’équation
est donnée par
sin v' = |/cos* o — sin* u = sin I eos a.
10” Le raijonr'de ta base est représenté par le cocflicicnt ^ -^dans
la valeur de l’équation du lieu des centres, comme le
rayon r est le coeflicient de ^ '*'*'** valeur de j/i’ t/*
donnée par l’éipiation de l’Iiélicc primitive. On trouve en partant de là,
/ tang O /■-■ tang r
r' = ^ 1/ 1 -L- k- sin* r = r , •
fc eos- U tang B
11” L'angle au sommet a' est donné par
tanga =y
, r" tang a tang V r (/sin- o h- sin* u
"ki~ “■
tang v'
sin a cos u
12” L’inclinaison constante l' des touchantes sur les génératrices est déterminée par l’une ou l’autre des relations
tong t tang( — t')
, sin II' == eos o' eos { — t').
le signe négatif de (' indiquant que les inclinaisons { et l' sur les génératrices sont en sens inverse.
13" La projection de l’hélice conique sur la base du cône est une spirale logarithmique , ayant pour équation polaire
/{ rc * .
CIIAPirilE IV.
14" La suiTucc convexe liu eone cUnt nihattuc dans un plan, l'héliec conique formera aussi une spirale logarithmique, ayant pour équation
