O, - »)' COI I

n =- — e sin a

lli" Les pas de l’hélice le long d’une génératrice diminuent en jirugression géométrique et les spires comptées jusqu’au sommet sont en nombre infini.

16" Le lieu géométrique des pieds des tangentes est la dévclopjinntc de la spirale logarithmique, suivant laquelle se projette l’hélice sur la base du edne.

On verra dans le calcul intégral (\° 1101) que les équations finies de l’hélice conique sont

a: = ^ (/ — z) sin I log |. V = ~ ') cos | log |-

En faisant / infini, et par conséquent a nul dans ces expressions, un transforme le cône en cylindre et on retrouve toutes les valeurs relatives à l’hélice cylindrique.

CIIAIMTKK V.

Principes rondamenlaux du calcul diiïcrctilitd étendus ouv fonctions de plusieurs variables indépendantes, tb'rivces portielles. — Dérivée totale. — Diffémitielle toUale. — Dérivées partielles des ordres supérieurs. — Dérivées totales des ordres supérieurs. — Différentielles totales des ordres supérieurs. — I/ordre des dérivations successives est indifférent. — Dérivation des fonetiuns implieiies. Equation dérivée totale. — Équations dérivées partielles. — É(|uution différeiiticHc totale. Équations différentielles partielles. — Dérivées des ordres supérieurs, des fonctions implicites.

95. Principes fondamentaux du calcul différentiel étendus aux fonctions de plusieurs variables indépendantes. Dérivées partielles. — Considérons une fonction c.xplicitc de deux variables (x, y) cl posons

Si celle êqualiuti existe seule, on sait (N* 2) que les deux variables x cl y sont iiidépcnduutcs l’uiic de l’autre, en sorte que l’on peut donner il X un accroissement sans l'aire changer y, ou, ce qui revient au même, on peut faire varier x en traitant y comme une constante et réciproquement. On voit donc que la fonction f{x, y) ou z peut varier de trois manières : 1° en donnant à x un accroissement Ax, y ne changeant pas de valeur; 2° en donnant à y seul un accruissement Ay; 3° en faisant prendre simultancmcnl à x et y des accroissements Ax cl Ay. De là résulte la nécessité d’adopter une notation nouvelle (pii rappelle CCS trois espèces d’accroissements. Au lieu d’cnqiloycr des signes particuliers pour les désigner, on est eonveiiu de représenter par

ClUPITnE V.

l‘JO

les accroissements de z provenant 4” d’un aecroissement Ax donné à X, 2" d’un aecroissement Ai/ donné à y, et 5“ de deux accroisscinenis Ac, ^y donnés simultanément à x et y. On voit qne A: a une signiHcation très diiïércnlc dans ces trois expressions, que l’on distingue sullisamnicnt par le dénominateur, et qu’on nomme rcspeelivemenl différence partielle de la fonction relative à x ou à i/ et différence totale. La même distinction est nécessaire si l’on passe aux limites; en effet, on peut avoir à représenter la dérivée de la fonction f{x, y) prise en supposant x variable et y constant et réciproquement, ou en supiiosant x et y tous deux variables. Dans le premier cas, la dérivée

jiar rapport a x sera représentée par-— ^ — =^ou bien — , et la différentielle sera p.ir conséquent ^</x. Dans le second cas, la dérivée

(lar rapport à y sera— et la différentielle de 1a fonction par rapport

h y aura pour expression -^di/. Ce sont là les dérivées partielles et

les différentielles partielles de la fonction.

Les principes posés dans la première partie du calcul différentiel suffisent pour obtenir les valeurs des dérivées partielles d’une fonction de plusieurs variables indépendantes, puisque pendant l’opération, toutes CCS variables moins une doivent être considérées comme

constantes; ainsi on aura pour ï = j/x* — y-, savoir :

dz X ^ dz y

dx |/a;î — y^- dy~ ,ji

94. Dérivée totale. — 11 ne nous reste plus qu'à trouver la dérivée totale ou la différentielle totale de la fonction. A cet effet, observons que les variables x cl y ne cesseront pas d’èlrc indépendantes, c’est-à-dire, de varier indépendamment l’iinc de l’autre et de prendre chacune telle valeur que l'on voudra, si l’on considère y comme dépendant de X i>ar une relation telle que le rapport des aecroisscmeiits de X et de y soit arbitraire et que la valeur numérique de y correspondant à une valeur donnée à x soit également arbitraire. Cette double condition est évidemment remplie en posant

y — Ix 0,

; et 0 étant deux constantes arbitraires; car il est visible que le rap-

CALCUL DIKI'UnUNTICL.

port des accroissenicnls de ij el x représeiilé |)ar restera toujours arbitraire, et qu’après avoir donné à æ et à I telle valeur que l’on voudra, on |>uurra disposer de 0 pour faire prendre à y toutes les valeurs possibles. Avec celte restriction, x devient seule variable indépendante el si l’on dérive la fonction

par rapport à cette variable indépendante x, en considérant y comme

fonction de x el en désignant, comme au N" 9, par— (/i, la dérivée totale de f (x, y), c’est-à-dire, la limite du rapport de l’accrnissement total de la fonction, provenant de x et de y, à l’accroissement donné à x, il viendra

f . dz dz dy dz dz ^

(/x ^ * dx~*~ dy (îx dx dy

dans laquelle ? est une conslantc arbitraire. Les deux dérivées

et — dz SC distinguent sulKsammcnt par la manière dont on convient

de les écrire, et ont une signification très difTérenlc qu’il importe de ne |>as confondre. I.a première représente la limite du rapport des accroissements de : et de x lorsque les x explicites varient seuls.

tandis que -j- dz représente la limite du rapport des accroissements

des mêmes variables, lorsque les x explicites et les y considérés comme , fonction de x, prennent des accroissements simultanés. On voit que la dérivée totale d’une fonction de deux variables indépendantes, quoique entièrement déterminée dans sa forme, est cependant indéterminée dans sa valeur, à cause de la présence de

95. Différentielle totale. — Au point de vue des infiniment petits, celle équation s’écrit sous une autre forme. Si on multiplie scs deux membres par dx, il vient

, dy

ou, a cause dc-^^ = ;, dx

I dx

dz , dz

ciumnE V.

dl)'i

dans laquelle ^ dx cl~ </i/ sont les diffcronlielles parliellcs de la

l'onclioii par rapport à x et par rapport à y, et dz la dilTérenticlIe totale. On voit donc que la différentieUe totale d’une fonction est égale à la somme de ses différentielles partielles. En reprenant rcxcniplc précédent

il vient

ou liicn

dz:

dz=-

xdx ydij

Si la fonction renfermait plus de deux variables indépendantes, si l'on avait, par exemple,

en représentant par ? et 5" les rapports arbitraires des aceroissements de U et t) à l’accroissement de x, il viendrait

(/x* * t/x"*" dy’ du" dx)' ’

ou bien, en eniployanl les différentielles, dz

dz dz dz dz

— dx -*■ — du -7- du -f- -r-(/i’.

dx dg ■ du dv

!)ti. Dérivées partielles des ordres supérieurs. — Avant de passer à la rcclicrclic des dérivées des ordres supérieurs d’une fonction de

plusieurs variables indépendantes, objervons que ^ étant, en général, une fonction de x et y, on peut se proposer de trouver sa dérivée, soit par rapport à x, soit par rapport ii y, soit par rapport à ees deux variables à la fois. D’après la convention établie plus haut, ees trois

dérivées peuvent être désignées par ■

fi*Z

La première peut s’écrire ainsi -j— , d’après une convention faite

dx*

CALCUL DIFCLIIENTIEL.

au N“ 21. La seconde peut, par analogie, èlrc représcnléc par tl^z

-, — —, qui indique clairement que deux dérivations sont faites sur fix tltj

la fonction z, la première par rapport à jc et l’autre par rapport à ij. Quant à la dérivée totale de nous conserverons la notation précé-

dente. Pour trouver la valeur de cette dernière, il suffit de remplacer

Z par 4^ dans la formule

dx^ ^ dx~*~

car il vient alors

dx * / dx* dxdij

La fonction-^ a aussi trois dérivées distinctes, savoir ;

dx ' dy ’ dx \dy J

Les deux premières, qui sont partielles, peuvent s’écrire d'une manière plus simple, comme il suit :

d*z d*z dydx ’ dy*

Pour ce qui est de la dérivée totale de on conserve la notation

précédente et sa valeur est donnée par l’équation

dx \dy ) dydx dy* ’’

!)7. Dérivées totales des ordres supérieurs. — Il est facile maintenant de trouver la dérivée seconde totale d’une fonction explicite de

CIIAPITIIE V.

(leux variables in(léj>riulanlcs; car si l’on prend la dérivée totale des lieux membres de l’équation

™ co„vcn.„l d. repre.cn, c, p.r^,l-r I. drri.ée Male dcl.le ou la dérivée seconde totale de z, il viendra

et, en substituant les valeurs trouvées à la fin du numéro précédent,

dx* dx* dxdy dijdx di/*

La dérivée totale troisième, ou — d*x s'obtiendra de la même iiia-

dx’

iiière. En dérivant de nouveau la valeur de eette dérivée seconde, et en représentant par

dx’ dx‘‘dij dxdtj^ dijdxdtj dy^ les dérivées partielles

\dx'J \dx^J \ dxdy J \dydx J

on trouve

<iy

f JJ d'^z d’i d'^z , d’z

di** * dx* dxhly’’ dxdydx ^ **" dydx^ ’ dxdy

dydxdy dy*dx^ dy^ ’

et ainsi de suite.

08. Différentielteii totales des ordres supérieurs. — Si l’on adopte

Digilized by Goo^'

CAIXl'l, im'Ft'lIKNTIKI..

les différentielles, les éqiinlioiis précédentes s’écrivent sous une forme un peu différente. Coniiue la différentielle d’une fotiction est égale au produit de la dérivée par la différentielle de la variable, les différen-

tielles partielles de— par rapport a x cl y sont— dx cl -j-j- dy,

dz d*z d*z

et celles de -.-sont-; — ~dx cl—du. De même, les différentielles dit dudx du*

partielles de—:,— — — etc. par rapporta x et ij sont-— ax, ai/, ux* dxdy ax’ dx-dy

- — — T~dx etc. cl si l’on prend la différentielle totale «les deux meindxdijdx

bres de l’équation

dz dz

dz == - - dx — dy, dx dy

en remarquant que dx et dy peuvent être considérés eoniinc constants, puisque les variables x et y sont toutes deux indépendantes, cl en désignant par d*z la différentielle totale de dz ou la différentielle seconde totale de z, on trouve

(/-: ———dx- —, — — ax dy h — ; — — dx dy -r-di/*.

dx* dxdy dydx dy* •’

En différenciant de la nième manière les deux membres de l’équation précédente, il vient

fl^Z (l^Z tl^Z

d*z—-~dx^ -h -,-77- dx*dy ~——dx*dy h- -- — dxdy*

dx’ dx*du •' dxdiidx dxdy*

(I y dxdy

, , , dy* dx -+- ay’, di/*dx dy*

et ainsi de suite. U est facile de voir qu’on aurait été conduit à ces memes valeurs des différentielles totales secondes, troisièmes etc. en multipliant par dx-, dx’.... les valeurs des dérivées secondes, troisièmes etc. du numéro précédent cl en rem|ilaçant ; par su valeur — -

Réciproquement on remontera des valeurs des différentielles totales à celles des dérivées totales en divisant par dx’, dx’ etc., cl en mcldi/

tant Ç pour -p ■

ctiAPiiiii: V.

ilKi

!»9. L’ordre des dérivations successives est indifférent. — Les expressions jiréccdcnles d’une dérivée totale d’un certain ordre, ou d’une diirércnliclle totale, prennent une forme plus simple en faisant usage d’un théorème que nous allons démontrer, et qui eonsiste en ce que si l’on prend la dérivée partielle d'une fonction de deux variables indépendantes, par rapport à chacune de ces variables, le résultat sera le même quel que soit l'ordre suivant lequel on effectue cette double opération.

Soit Z ou f (x, y) une fonction donnée de deux variables indcjiendantes x, y. Si l’on donne d’abord à x un accroissement h, le rapport de l’acrroisscmcnt ]>articl de la fonction à celui de la variable sera pour toute valeur de h,

/•[(jc-4-/.), y] — f{x,y)

et si dans ce rapport on donne eusnitc à y un accroissement k, le rapport de raccroisscmcnt de cette dernière fonction à l’accroissement k de la variable y prendra la forme suivante pour toute valeur de k,

Si on commençait par donner à y un accroissement k, ce qui conduirait au rapport

/ [jf. {y k)] — f {x, y) k

et qu’on donnât ensuite ùx un accroissement A, on serait conduit au ra|q)ort suivant :

qui est identiquement le meme que celui obtenu en suivant une

marche inverse. Ces deux fractions représentent évidemment- '•aA

et-

qui conservent par conséquent des valeurs identiques pour

CALCUL DlIFÉnEMIEL.

toute valeur de Ax et Ay; or, si dans la première on fait d’abord

converger Az vers zéro, clic devient — — - — , et en faisant ensuite

évanouir At/, on trouve-, — , tandis que la seconde fraction, dans dxdij

les mêmes circonstances, devient

dtjdx

; on U dune

Ainsi pour

on trouve

dxdy (hjdx x’ — 2x* ly

d^z 4xiy — t)x* d*z dxdij If' (hjdx

Ce tbéorcme peut être évidemment généralisé et étendu à une fonction

d’un nombre quelconque de variables indépendantes x, y, u, r ,

de sorte que l’on aura, n étant le nombre de variables par ra])[>ort auxquelles on a dérivé.

dxilydiidv dydxdudv dydudxdv.

On voit aussi que si l’on dérive un nombre quelconque de fois, une fonction f{x, y), par rapport à x et t/, le résultat reste le même, de quelque manière que l’on inlervcrlisse l’ordre des dilférenles dérivations; car il résulte de ce qu’on vient de voir, (juc l’on peut, sans rien ebanger au résultat, permuter de toutes les manières, l’ordre de deux opérations successives; ainsi, s’il s’agit de

jllL

dx^dy ’

eu permutant les deux dernières opérations, qui sont deux dérivations

ciiAmnE V.

f'uilcs, la première par rapport à x et la seconde par rapport à y, le résultat devra être désigné par

ilx*dijdx ’

et en permutant 1a seconde et la troisième opération, il vient

dxdydx'‘ ’

et ainsi de suite; un a donc

dx'-'dy Jx^dydx dxdyUx* dydx’’

Kn Taisant usage du théorème qu’on vient de démontrer, les dérivées totales obtenues au X” 'J7, prennent la Tonne

dx‘‘ ' (/x* ^ ” dxdy ' dy^^ ’

1 „ d^z d'z , dH „

-,-d’: = T-r-+- -'-rrr ’ ■> ; ■

dx^ tlx^ dx*dy dxdy* dy"

Ku généralisant, on trouve

(7x’* dx" l(/x""'dy’ l.:J dx""* dy*'

on bien, en multipliant par dx",

‘lu'

d"z==— dx' ■+■ - dx--'di/ H — — -

dx' I l.i dx" ^di/^

dx’~*dy* -t- etc.

L’analogie entre ee développement et celui de la puissance d’un binôme est remaiapiable.

100. Dérivation des fonctions implicites. Equation dérivée totale. — Passons aux équations contenant implieitcmcnl deux variables indépendantes (x, y] et une variable dépendante z Tonelion implicite des deux autres,

eULCUI. DlFFfcllEJfTItL.

En résolvant crlle équation par rapport à z, on pourrait ohtrnir,

comme on vient de le voir, les valeurs de mais on

dx dx dij

peut aussi trouver ces trois dérivées sans passer par eette résolution souvent impossible. Nous adinettrons encore pour cela entre les variables x et y, la relation

; et 6 étant deux eonstantes arbitraires. De cette manière y devient fonction de x, et z qui était fonction de x et y, ne sera plus qu’une fonction de fonction de x; on aura donc, en dérivant la fonction implicite f{x, y, ï), que nous désignerons pour abréger par f, et en remar-

quant que la dérivée de z doit s’écrire — dz, parce que cette dérivée

est totale, puisque x cl y prennent simultanément leurs accroissements ,

dz dx dx dy "dx ’

1 • ^ ~ nu bien, en remarquant que — est égal a ç.

df i , df df^

Telle est Viqualion dérivée totale de l’équation f—0. On tire de là