L 'IL
t , dx dy .
dx"" J['~d['"
Il dl
qui fait connaître la dérivée totale — rfz de la variable dépendantes,
dérivée dont la valeur est indéterminée, puisqu’elle contient la constante arbitraire
101 . Equations dérivées partielles. — 11 est à remarquer que si l’équation
CIIAI’IIRE V.
avilit été résolue par rapport h z et qu’on eut pris ensuite la dérivée totale, on cul trouvé
I , <lz dz
dx' ' dx~*~ dtj '
cl comme ces deux valeurs de la dérivée totale doivent être les mêmes, il est nécessaire que l’on ait
a 'IL
dz dx dz d>j
dx df ’ dy df '
Tz Tz
équations que nous mettrons sous la forme
'H. il —-0 'IL
dx dz dx ’ dij dz dij
et qui serviront à déterminer les dérivées partielles ^ et de la
variable dépendante z, au moyen des dérivées partielles — > -r
«X dij dz
de la fonction f{x, y, z).
On serait arrivé à ces deux éfiuations d’une manière directe, en
observant ipic, puisque les variables x, y sont indépendantes, une d’elles, y par exemple, peut être traitée comme constante, cl en dérivant la fonction f[x, y, z) ou f par rajiport à x, il vient
'JL^'IL'h
dx dz dx
La seconde équation
'IL^'IL'Ii.
dy dz dy
s’obtient en dérivant par rapport à y. Ces deux équations sont a|)pclécs t'fjiwtions dérivées partielles de l’éipiation f{x, y, r) = O.
Si l’on prend pour exemple
X* + y^ -t- z- — r* == ti.
CALCUL UIFFÉRESTIEL.
on trouve pour équation ilcrivcc totale,
I ■ 4- rfî -4- X -4- «î = 0 ,
nx
d’où l’on tire la valeur de In dérivée totale de partielles,
iç,
et de ses dérivées
dx
X dz
I’ Ty-
102. Équation différentielle totale. Equations différentielles partielles. — En multipliant par dx les deux membres de l’équation dérivée totale
df 1 df df
dz dx dx dy
en remarquant que Çrfx est égal à dy, il vient
^^dz-4-'^rfx-+-ÿrft/ = 0 dz dx dy
qui est Véquation différentielle totale de f(x,y, z) = 0, et par suite.
~lL
dz
qui donne la valeur de la différentielle totale de la variable dépendante Z. Ce seeond membre se compose de deux termes qui sont les différentielles partielles de z par rapport à x et à y. La forme symétrique par rapport aux trois variables, de l’équation différentielle totale de f (x, y, z) = 0, prouve que l’on peut, même après la différenciation, clioisir arbitrairement la variable dépendante; mais cela n’est vrai que pour les équations différentielles premières.
103. Dérivées des ordres supérieurs, des fonctions implicites. — Les
dH d'z d'z
dérivées partielles des ordres supérieurs dans
CtUPITRE V.
iinc équation implicite, se déduisent facilement des valeurs des <lcrivées partielles du premier ordre
ilz dx dz dy
dz dz
puisqu’il suHit de prendre une ou plusieurs fois les dérivées par rap-
port a X ou »/, de -r- ou de >
c’est-à-dire, de
dx
ÛL
dz
if
!îl
dz
qui,
lorsqu’il s’agit de la variable indépendante x, sont des fonctions de x et de Z fonction de x, et lorsqu’il s'agit de la variable indépendante y, sont des fonctions de y et de z fonction de y. Ainsi la dérivée de
par rapport à x étant, d’après ce qu’on a vu (N°
dx
