CHAPITRE I

dans laquelle dy est la dilTcrentielle de la fonction de fonction y, ou raccroisscinent iiifiniincnt petit de ^ dû à un accroisseiiicnl dt donné à x.

9. Dérivation d'une fonction de plusieurs fonctions. Dérivée partielle et dérivée totale. — II peut aussi arriver que y, quoique dépendant indirectement d’une variable x, soit eependunt donné en fonction de deux variables z cl u reprcsciilant elles-mêmes des fonctions données de x, comme il arriverait si l’on avait à dériver le système des trois équations

y = /■(!, u), z = Fx, M=yx.

En remplaçant : et u par leur valeur dans la première, y serait

exprimé immédiatement en fonction de x et la valeur de ^-pourrait

s’obtenir directement; mais on la trouve d’une manière ordinairement plus commode sans effectuer cette substitution. En donnant à x un accroissement h, z et u prennent, en vertu des deux dernières relations, des accroissements Az et Au, tels que l’on a

Az Au

— = F'(x -I- 6/») , — = -h Vh),

ax Ax

F'x et fx étant les dérivées de Fx et fx, et 0, 0' deux facteurs inconnus compris entre 0 et 1. Si dans f{z,u) on donne à z et «les accroissements Az et A« déterminés plus haut, y prendra l’accroisscment Ay. Cette double opération peut se faire successivement, en donnant d’abord à z seul un accroissement Az et en remplacTint ensuite u par « -+- Au dans le résultat. Or, la substitution de z -i- Az à z dans f(z, u) fait prendre à cette fonction la forme suivante, d’après ce qu’on a vu (N° 5),

f(z, u) Szf,’(z 9,Ar, u) ,

f,'(z, u) désignant la dérivée de f{z, u) ou y, prise par rapport à z, c’est-à-dire en traitant z comme seule variable et u comme constant,

dérivée qu’on désigne aussi par 0, est un facteur compris entre O

cl l’unité. Pour compléter ensuite l’accroissement de y, il faudra dans f{z, u) et f,'(z 0,Ar, u) donner aux « l’accroissement Am. La substi-

tution de u -h Au à u dans la première jiartic, f(z, u), fuit prendre à cette fonction, en vertu de ce qu’on u vu (N” 5), la valeur

/■(z, «) + Au/’.'(z, « 0/Am)

CALCUL DIFFÉREMILL.

en désignant, comme plus haut, par fj{z, u) la dérivée de f{z, u) prise par rapporta la seule variable «, c’est-à-dire, en considérant u comme variable et z comme constant, dérivée que l’on désigne aussi dy •

par Quant à la seconde partie f,'{z ■+■ 0,Ai, u), puisque fu devient fu -t- \uf'(u -+- OAu), ce second terme prend la forme f,'(z -t- 0,Az, tt) UAm

quand u a pris l’accroissement Au. Après cette double substitution, 1a fonction f{z, u) = y devient

y \y = f[z, u) -t- Am/','(i, u -t- V-^u) -+- àzf,'{z ■+■ 6,Az, u) -t- UAzAu.

Si on supprime y et f[z, u) qui sont égaux, qu’on divise ensuite les deux membres par Ax et qu’on remplace ^ ^ ''“Ic"''

trouvée plus haut, il vient

= f'(x -4- O'/l) /l'(z, U -4- 0/Au) -4- F'(x -4- 9/l) f,'(z -4- 0,AZ, u)

-4- Uy’(x -4- ô7i)F'(x -4- 0/l)AX,

puis passant à la limite et remarquant que A ou Ax, Au et Az sont nuis en même temps, il vient

F'x/;'(z, u) -4- fx/’.Xz, h).

formule que l’on peut écrire de celte manière :

tly tly (l'z il y du

dx dz dx du dx

Celle dérivée de f{z, u) se compose de deux parties; la première est, d’après ce qu’on a vu (N" 8), la dérivée de f{z, u) prise par rapport à X, Z étant considéré comme fonction de x et u comme constant. La seconde partie est la dérivée prise en considérant u comme fonction de I, Z restant constant. Chacune de ces parties se nomme dérivée partielle de la fonction de fonctions, et les deux parties réunies forment la dérivée totale. Si l’on avait à dériver le système des quatre équations

y = f(z, u, u), Z == Fx, u — ?x, v= j-x,

ciiAPiniB I.

‘iO

on déinuntrcruit ilo lu inùiiic luuiiiùru, (luc

(/(/ thj (Iz dy du dy dv

dx dz dx du dx (fv dx

ce que l’on exprime d’une manière générale , en disant que la dirivée totale d’une fonction de fonctions est égale à la somme de ses dérivées partielles.

En considérant dy et dx comme des quantités infiniment petites , on peut écrire l’équation précédente comme il suit :

dz dx

du dx dv dx

Les différents termes du second membre forment les différentielles partielles de la fonction f[z, u, v) prises en considérant successivement Z, U, V comme fonctions de x; on voit donc que la différentielle totale d’une fonction de plusieurs fonctions de x est égale à la somme des différentielles partielles relatives à chague fonction.

La différentielle de f{x, «), dans laquelle m est une fonction de la variable indépendante x, se déduit de l’équation ci-dessus, en faisant

Z égal à x; ^ est alors égal à l’unité et on trouve dx

, du , dy du ,

du = ~-dx -f- — dx

dx du dx

dans laquelle du second membre représente la dérivée partielle

lie f(x, u) prise par rapport à la seule variable x. Pour remonter de celte équation différentielle à l’équation dérivée, un devrait diviser par dx les deux membres de l’équation précédente et écrire

dy dy dy du

dx dx du dx ’

or, sous cette forme, il y a ambiguité sur la signification de car

dx

dans le premier membre, il représente la dérivée de y , en y faisant varier tous les x, y compris ceux contenus dans «; tandis que le second n’est que la dérivée de y par rapport aux x contenus explicitement daus la fonction f{x, u), en y regardant u comme constant.

CALCUL ÜIFFEIILNTIEL.

Pour distinguer ces deux quantités essentiellement différentes, nous

ou bien

écrirons In dérivée totale sous la forme 4- f/'/ au lieu dc^

f/x fix

nous laisserons l’équation sous la forme différentielle et alors dy représentera la différentielle totale de y.

10. Dérivée d’une variable par rapport d vue aulie variable, lorsqu’elles sont exprimées toutes deux en fonction d’une troisième. — Quelquefois les variables x et y, au lieu d’entrer dans une même équation, sont données toutes deux en fonction d’une troisième variable t, de sorte que l’on a

y = ft, x = Ft

port à X ou --5 quoiqu'il soit visible que y est fonction de x. Pour

et aucune des deux équations ne peut donner la dérivée de y par rap-

in.

dx’

trouver cette dérivée sans effectuer l’élimination de t entre les deux équations, donnons à celle-ci un accroissement h ou At et désignons par dy et Ax les accroissements correspoudauts de y et de X. 11 viendra

et en divisant membre à membre,

Al/ f( t O/l )

Ax F'(l -I- ù7i)

Si l’on passe à la limite en faisant h nul, les accroissements ày cl Ax s’annulent en même temps et on trouve la valeur suivante de la dérivée cherchée :

dy f't dt

dx F't dx

il. Dérivée du produit de plusieurs fonctions. — Lorsqu’une fonction »/,esl formée du produit de plusieurs fonctions de x, telles que «, V, te, Z c’csl-è-dlrc, lorsqu’on a

CIIAPITHE I.

la dérivdc de y peut être exprimée fort simplement au moyen des dérivées des fonctions simples w, u, te ; en effet, on a vu (N" 9)

que la dérivée totale d’une fonction de plusieurs fonctions ti, v, te

est égale à la somme des dérivées partielles que l’on obtient en considérant successivement chaque fonction comme variant seule; or si l’on ne fait varier que les x contenus dans u , la dérivée partielle de y est

du

dx

En faisant varier successivement les ac contenus dans v, w, z, on trouve

dv dtr dz

u.w.z—i u.v.z — ■> U.V.Wj-

dx dx dx

et la dérivée totale de y devient

du du dv dw dz

-/ =v.w .Z-, — I- U .IV. Z — -h U .V. Z — — t- tt.v.iv — di dx dx dx dx

On voit par là que la dérivée du produit de plusieurs fonctions est égale à la somme des produits des dérivées de chague fonction simple, multipliées respectivement par toutes les autres fonctions.

12. Dérivée du quotient de deux fonctions. — Si la fonction y est le quotient de la division de deux fonctions u et v de x, c’est-à-dire, si l’on a

on trouve aussi une expression très simple de la dérivée; en effet, en représentant par Am, Au, Ay les accroissements de u, v, y correspondant à un accroissement Ax donné à x, il vient

« -♦- Am m vAm — mAu

u -I- Au u u* t’Au

d’où l’on tire en divisant les deux membres par Ax,

Am a» '

Ay Ax Ax Ax V{V -t- Au)

CALCUL DIFFÉBF.NTIEL. 25

Si l'nn passe à la limite, en remarquant que lorsque Ax s’évanouit, Al/, Au et Au s’évanouissent en même temps , il vient

du do

di/ dx dx dx U*

c’est-à-dire , que la dérivée du rapport de deux fonctions est égale d la dérivée du numérateur multipliée par le dénominateur moins la dérivée du dénominateur multipliée par le numérateur, le tout divisé par le carré du dénominateur.

En adoptant les infiniment petits, on peut multiplier les deux membres de l’équation par dx cl écrire celle-ci de celte manière :

vdu — udv

Remarquons que, si deux fonctions fy et Fx sont telles que l’on ait fy = Fx, y est une variable dépendante de x et les dérivées de ces deux fonctions par rapporta x sont égales entre elles, car quel que soit l’accroissement donné à x, les accroissements des deux fonctions seront, par hypothèse, égaux entre eux, ainsi que leurs rapports à Ax, lesquels seront les deux dérivées, lorsqu’on jiassera à lu limite. La dérivée de Fx par rapport à x peut être représentée par F'x; quant à celle de fy dans laquelle y est une fonction de x, on a vu (N° S)

(lu

qu’elle est représentée par fH étant la dérivée de fy prise

par rapport à t/ ; on a donc

dx

d’où

15. Calcul des dérivées. Dérivée de Log x. — Les dérivées de toutes les fonctions s’obtiennent facilement lorsqu on connail les dérivées des foiiclioMS de la forme Log x et sin x; nous commencerons donc par nous occuper de ces deux là.

Considérons en premier lieu la fonction logariliimiqnc Log x, X étant positif. En donnant à la variable indépendante x un accroissement h, il vient

Ay Log (x h) — Log X Ax h

CIIAPITRK I.

que l’on peut transformer, en se fondant sur les propriétés des logarithmes, de la manière suivante :

Log

Ax

Ln valeur de serait connue si Ton connaissait la limite de dx

Log(i

quand h s’évanouit ou quand ^ devient infini; or si

l’on fait ^ égal à p sera ou un nombre entier, ou un nombre frac-

tionnaire, ou un nombre incommensurable; on peut donc généralement considérer p comme étant compris entre deux nombres entiers

/ 1 H — J est évidemment compris

consécutifs n et n -t- 1 et comme

sera aussi

entre ct(4-i--) > la limite de Log | I

\ pj \ rJ \ Pj

comprise entre les valeurs limites deLog^l -4--^ et dcLog^l

Puisque ti et n -4- 1 sont des nombres entiers, ou a, en développant au moyen de la formule du binéme de Newton,

n «(« — 1) 4 ;i(n — 4)(m — 2) 1 1-1 4- — : : -4- 1 — -i- etc.

On a de même

i; * (' - ;) 3jT* “ 0 G “

Lo,(.

etc.

CALCUL DIFFÉnENTIEL.

2îi

Pour avoir la limite de ces deux ddvcloppenicnls ou pour déterminer ce qu’ils deviennent qu.ind k s’évanouit, remorquons que puisque

- = P converge vers l’infini quand h converge vers zéro, et par

conséquent- devient nul. De même, puisque p diffère de n de moins

d’une unité, cette dernière quantité devient infinie en même temps

que p, et - est nul. Enfin - approche d’autant plus de l’unité, que

n ctp sont plus grands et l’unité est la limite de ce rapport; les deux développements précédents deviennent donc à la limite

Log ? 1 -H 1 -4- - — ! -I- ■; — -+- - — ■

etc.

et par conséquent log

» qui reste toujours compris entre

eux, se réduit aussi à cette même valeur; on a donc

dy 1

dx

= - Log ! 1 -4-1-4-

-4- etc.

La quantité comprise entre parenthèse, quoique composée d’un nombre illimité de termes, a une valeur finie, puisqu’elle est visiblement inférieure à la somme des termes de la progression géométrique décroissante

qui est elle-même finie cl égale à 3. Celte somme est donc comprise entre 2 cl 3. Elle peut du reste être évaluée en nombre avec une exactitude aussi grande que l’on voudra, parce que les termes décroissent très rapidement. En représentant ce nombre par c, on trouve

6 = 2,71828 , et -/ = -Loge.

dx X

Si l’on l'ait usage des différentielles, eette équation s’écrit de cette manière

dx

dy=-^Log 6.