CHAPITRE VI
A|iplicntiniis aiiiilyti(|U('« dfs priiiclprs »ii cliapilro V. KxU'ii<.ioii du lliourrnir
de Tajloi- aux fonctions de deux varialdes. Extension du tliéoiènie de Muelaurin. — Maximum et minimum des fonctions de deux variables indépeiidantos- Applications.
104. Extension du théorème de Taylor aux fonctions de deux variables. Extension du théorème de Maclaurin. — Le théorème de Taylor peut être étendu aux fonctions de deux vari.ibics indépcn<lanles et servir ù développer de semblables fonctions suivant les ptiissances ascendantes des accroissements de ces variables ; en effet, quoique les variables x et 1/ soient indépendantes dans f {x, y), on peut, comme un l’a déjà fait plusieurs fuis, admettre qu’il existe entre elles la relation
potirvti que ^ et 0 soient des quantités d’une valeur entièrement arbitraire, que nous supposerons constantes; alors t/ devient fonction de X et f(x, y) sera une fonction de fonction de la seule variable indépendante X, et si l’on désigne, comme précédemment, par
(fi*
dx
d^f, etc.
les dérivées totales de f{x, y) prises non-seulement par rapport aux x explicites, mais cneore par rapport aux i contenus implicitement dans y, il viendra, en remarquant qu’un accroissement /» donné à x
CALCUL |)1fféuk.vhi;l. ^Oλ
fail prendre à tj un accroissement Ih que nous désignci'ons par k,
mais on a vu (N" 9!)) que
dx ' dx dy ” dx* * dx* dx dy ’ dy* ’
on a donc, en substituant,
flx^l,,y^k)=f{x,y)-.(^l-.f^l^^
/(/"/"{x -4- O/l, ÿ -4- OA) n (/"/'(x-4- 0/j, 4/ -4- OA) , \ II’
^ dx’ T dx" 'tly ’ J
cl Cl) remplaçant $ par sa valeur pCt désignant comme on l’a fait au
(N-24), par/-'"’ .
' dx^dy’
rl»l
/■,. (X -t- 0/,, y -4- OA) ^ ^ ^
■if,' 1 ,(x + 6/i, V -4- OA') h etc.
qui est la formule cherchée. II est visible qu’elle pourrait être généralisée et étendue aux fonctions d’un nomhrc quelconque de variables. Si dans ectle formule ou fail x cl y nuis et qu’on remplace ensuite
CIIAPIIRE VI.
h et k par x et y, od trouve une série analogue à celle de Maclaurin, qui donne le développement de f[x,y) suivant les puissances ascendantes de X cl XJ.
En remplaçant /i, k par x — x„, xj — y„ et x, y par x„, i/„, on obtiendrait le dévcloppcinenl de f[x, xj) suivant les puissances ascendantes de X — x„, XJ — y„, x„ et xj„ étant deux quantités arbitraires, qui évideninicnl dispnrailraient totalcincnt du développement, si on cflccluail toutes les opérations indiquées, puisque le premier membre ne contient pas CCS quantités.
Il résulte aussi de là que si l’équation
est satisfaite fiar les valeurs x -t- /i et y -t- A-, c’est-à-dire, si l’on a f[x A, y -4- k) = 0,
il doit exister entre les deux accroissements h et k la relation
dx xlxj rfx‘1.2 dxdxj\.'i l/y* 1.2
lüj. Maxitnuxn et xninimum des fonctions de deux variables indépexidantes. — Passons à la théorie des maximum et minimum des fonctions de |)lusicur$ variables indépendantes, et proposons-nous de déterminer les valeurs de x et de y i|ui font prendre à la fonction f(x, xj) la plus grande et la moindre valeur possible. Soit
- = f{^xy)-
Quoique les variables x cl y soient indépendantes, on peut cependant les concevoir comme plus haut liées par la relation
dx
Dans celte bypollièsc /'(x, y) devient une fonction de fonction de x, et l’on a, en prenant la dérivée totale par rapport à x,
dx dx dijdx dx dxj
On a vu que pour rendre maximum ou minimum une fonction de x,
CALCUI. DIFFÉRKNTIEL.
il sulllt (l’égnicr à zéro su diTivce par rapport à tous les x; il faut
donc rendre nulle la valeur de 4- dz, ce qui donne
dx
Celte équation doit subsister avec la condition que Ç soit entièrement arbitraire, ce qui ne peut avoir lieu à moins que l’on n’ait
Ces deux équations serviront à déterminer les valeurs de x et de ij correspondant au maximum ou au minimum de la fonction f{x,y) ou î. Pour distinguer le maximum du minimum, prenons la dérivée du second ordre de /"(x, y) = ~ (voir N” 9!t)
dx- f/x’ dxdy dy*
On sait qu’une fonction est maximum nu minimum selon que la dérivée deuxième est négative ou positive; f{x, y) sera donc maximum ou minimum selon que les valeurs trouvées pour x et i/ rendront négative ou positive la fonction
dx* dxdy dy* ’
indépendamment de toute valeur attribuée à l; or si on représente
nard. B, C les trois dérivées -7-!:; > t-t-» ce trinôme peut
’ dx* dxdy dy*
être mis sous 1a forme
< , C\ , - l/l A* C IP\
et il est visible que si C et d sont de même signe, ce qui suppose
positif, il faut cl il suffît pour que la condition soit satisfaite, que l’un ait
->— ou AC y B*-,
CIIAI'IIRE M.
car alors la partie comprise entre les accolades sera toujours positive pour toute valeur de 1; de sorte que le signe du second membre dépendra uniquement du signe du coclbcienl A, place hors de la parenthèse. On voit donc qu'il y aura maximum ou minimum suivant
que-—^ou A sera négatif ou positif, pourvu que-j-^et— .^soient de
Cl JC cl JC
même signe, et que l'on ait
dx* dtf \dxdy }
Si CCS dernières conditions n’étaient pas remplies, c’est-ù-dire, si
n’était pas positif et plus grand que — , il n’y aurait ni maximum
ni minimum, puis(|uc la parenthèse pourrait cire positive ou négative suivant les valeurs que l'on attribuerait à
exemple. Parmi tous les parallélipipèdes rectangles de même volume, trouver celui qui a la moindre surface. Soit « le volume, (x, y, z) les trois arêtes; on a
x,y.z = u, d ou z= — •
La surface étant représentée par «, on a aussi
U = 'ixy + 2xz -A- 2i/z ou bien u = 2xi/
Pour rendre u minimum, on fera
du , 2a du 2a
'*’• X* dy »/’
dx
d’où
x = \/li, y = \f^,
c’est-à-dire, que les trois arêtes doivent être égales. On s’assurera qu’il y a minimum en déterminant les dérivées du second ordre.
dx* X* ’ dy* I/' dxdy
valeurs qui font voir que ^ et ^ sont tons deux positifs, et que
dx* </(/* \dxdii J
2' exemple. Trouver la plus courte distance de deux droites dans l'espace. Soient
X = as -t- a , f/ = 5z |9 et x == o's a' , y =■ h'z
les équations de deux droites. Prenons sur l’une un point (x', ÿ', i') et sur l’autre un point (x", y", z"); l étant leur distance, on a
Mais il est visible que
i' = as' -+- a, y' = 6s' -+- ,3, x" = a's" y" = 6's" -f- 3'.
En substituant, la valeur de l devient
I — ]/ («s' -H oc — a's" — o')* -F- (6z' + ^ — 6's" — -F- (s* — z")* ,
valeur qui ne contient plus que les deux variables indépendantes i' et s". Pour rendre / minimum, on fera
dl (as' -t- a — a's" — a')o -i- (6s' -t- ,3 — 6's" — ^')6 -i- (s' — s")
l/(as' -F- a — a's" — a')*-4- (6s'-i- ? — 6's"— (s' — s")‘
d/ — (gz'-F-g — o'z"-a')o'— (6s'-F-p — 6's"— ,3')6'— (z'— s") ^
(/(as' -F- a — a's" — a')» (6z'-f- P — 6'z" — p')‘ -F- (z'— s")*
d’où l’on tirera les valeurs de s' et z" et , par suite , celles de x', y', x", y". En les substituant dans /, il vient
|/(o' o)* -F- (6' — 6)* -4- (a6' — a'by
3* exemple. Par un point donné faire passer un plan, de manière que le tétraèdre formé avec les plans coordonnés ail le moindre volume possible.
CIIAPITBE VI.
(x', y', z') étant les coordonnées de ce point, l'équation du plan est
et les portions d’axes comprises entre ce plan et l’origine sont
, , , , x* -4- ai/ H- hz' x' -h ai/ h- bz'
x’ -4- «i/ -4- bz!, > ,
En représentant par V' le volume du tétraèdre, on a donc
(x' -4- ay' -4- 6r’)’
Ca6
Si un détermine les valeurs de a et de 6 qui rendent T minimum, on trouve
4' exemple. Quelle est parmi toutes les pyramides triangulaires de même base et de même hauteur celle qui a la plus petite surface?
Soit h la hauteur donnée de la pyramide, et désignons par x, y, j les perpendiculaires abaissées du pied de h sur les trois côtés o, 6, c de la base. Les hauteurs des trois faces triangulaires latérales sont
et si l’on représente par 5 la surface totale du tétraèdre, par s la surface de la base, il viendra
En observant que la base de la pyramide peut être partagée en trois triangles ayant pour bases o, b, c et pour hauteurs x, y, z, on a en outre
2s = ax -4- 6y -4- cz; il vient dune en éliminant z
CtLCUI. UIFFKIIKNTIEL.
cl il ne reste plu^ (|irù déterminer les valeurs de x cl ij qui rendent .S luiniiuuin. On trouve
dS I aar la (2s — as — hi/}
~ |/ li^ -F- X* ^ ■+■ (2s — üx — btj)*
dS I 1)1/ 1 b (2s — ax — by)
^ -F- y* ^ (/ C'A* -F- (2s — ax — by]^
c’est-à-dire
qui conduisent aux égalités
d’où l’on tire les quatre systèmes de valeurs
qui font voir que /« surface du télraèdre est un minimum, lorsque le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base est placé au centre de l'un des quatre cercles tanyents aux trois côtés de ta hase, ou, ee qui revient au même, lorsque les trois faces triamjulaires ont la même hauteur.
5” exemple. Trouver le plus grand et le plus petit rayon d'un ellipso'ide.
Kn désignant par l le rayon mené au point (x, y, ;) de la surfaee, ou a à lu fois
tt*
d'où l’on tire, en éliminant : et en dérivant,
fcs — c* , . dl a^ — c^ dl b* — c*
Supposons les trois axes rangés dans l’ordre de grandeur a, b, c. Le minimum correspondra à x = 0, y = 0, et l'on trouve l — c. Le
CIIAI'ITRE VI.
plus petit rayon est donc le demi axe c, ))uisque les deux dérivées
dU HH . . ,
-r-7 et -p-; sont positives. Si on éliiuine x au lieu de z, on trouvera de rfx* dy*
la même manière pour solution le demi grand axe a, et cette solution est un maximum, parce que les deux dérivées secondes sont négatives. Enfin, si on élimine y, on trouve pour solution le demi axe b, cl l’on rcconnaîlqu'elle ne donne ni maximum ni iniiiiinum, parce que les deux
dérivées secondes ont pour valeurs
qui ne sont pas de iiicmc signe.
Il est visible que cette théorie fait aussi connaître les points d’une surface donnée qui sont les plus rapprochés ou les plus éloignes des plans coordonnés.
