CHAPITRE Ml
Applicfllions gôoniélrifjucs des principes posés au chapitre V. — Signification géoinélriqiie des dérivées puiiielles. — Ëf|uation du plan tangent a une surface. Equations d'une normale. — Coiilacl des surfaces. — Courbe de contact d'un eône circonscrit a une surface. — Hayon de courbure d'une courbe tracée sur une surface. — Hayon de courbure d'une section normale et d'une section oblique. Surfaces osculatriees. — Caractère distinctif des surfaces convexes, des surfaces gauebcs et des surfaces développables, — Hayons de courbure principaux. — Propriétés des rayons de courbure des sections normales fait<*s autour d'un point d'une surface. — Ombilics. — Propriétés générales des .surfaces l'elativcs b leur courbure. — Indicatrice. — Ligues de courbure. — Lignes de courbure dans les surfaces de révolution. — Surfaces enveloppes. Caractéristiques. Arête de rebroussement.
106. Signification géométrique des dérivées partielles. — On a vu qu’une équation à trois variables
ou z = f{x,g)
représente une surface ABM (Cg. 2îi). En dérivant celle-ci par rapport
à X et à V» on obtient les valeurs de ^ = « et ^=n. Pour
dx ‘ dy ’
reconnaître la signification géométrique de ces dérivées partielles, observons que si (x, g, z) sont les coordonnées du point M, en traitant y eoninie constant et x et x comme seules variables, l’équation
CUAI-ITHE VII.
en X cl Z sera ûvidcniincnl celle de la courbe plane MA, résultant de rintcrsccliundc la surface donnée par un plan MPA parallèle aux XZ, et
distant d’une quantité y, d’où il suit que-^ est la tangente de l'angle
que fait avec PA ou avec l’axe des X la touchante MT à la section MA
I point M. On reconnaît de même que ^ représente la tangente
l’angle que fait avec PB, ou avec l’axe des A’, la louchante MT' à la section MB de la surface coupée par un plan MPB parallèle à YZ.
107. Equation du plan tangent à une surface. Equations d’une normale. — Concevons qu’en un point M quelconque de 1a surface on trace sur celle-ci autant de courbes que l’on voudra. Les taugcnlcs à ces dilTércntcs courbes autour du point M sont toutes renfermées dans un même plan si la surface est continue autour de ce point; en effet, si y = yx représente 1a projection dans le plan XY, do l’une de ces courbes, passant par P projection de M, l’ensemble des deux équations
* = y = ou z = /'(x,?x), y = ?x
représentera la courbe tracée sur 1a surface et en prenant les dérivées de 2 et de y par rapport à la variable indépendante x, il vient pour les ])rojcclioiis de celle tangente dans les plans XZcl Y’X, (x', y', z') étant les coordonnées courantes.
la tangente est donc représentée par ces deux équations ou par
dx
en rcm|)laçant par -/x. La forme attribuée îi fx particularise la
courbe à la(|uellc a|)parlicnl celte tangente; mais si l’on élimine y'x entre ces deux équations, les variables (x', y', z') qui resteront dans réquation linalc, seront les coordonnées d’un point <iuclconquc d’une tangente arbitraire, c’est-à-dire, i|u’ellcs apparticiulroiil à un point
CALCUL DIFFCIICNTIEL.
quelconque (le la surface, lieu géométrique de toutes ces tangentes. Ru , dz dz
designant-7- cl — par u et ii, on trouve dx </(/
Cüinrac cette équation est linéaire par rapport à xf, t/, z', on en conclut que toutes les touchantes aux courbes tracées sur la surface autour du point M, sont renfermées dans un plan, que l'un nomme plan langent, et dont la relation précédente est l'équation.
Si l'équation de la surface, au lieu d'être donnée sous la forme explicite
l’était sous la forme implicite
ou aurait (N“ 101), en représentant cette fonetion par f.
dz dx dz (/y
dx df ' dy df
dz Tz
et l'équation du plan tangent deviendrait
Connaissant l’équation du plan tangent, on en déduit les angles que forme avec les trois axes une perpendiculaire a ce plan, ou une normale à la surface. D’apres les formules connues, en représentant ces angles par 0, 0', 0", on sait que l’on a
cos 0 =-
dz
dx
CIIAPlTRi: Ml.
