COS
en prenant le signe plus pour la normale considérée comme prolongée dans un sens et le signe moins lorsqu’on la prolonge en sens inverse. Quand l’équation de la surface est donnée sous forme implicite, CCS valeurs deviennent
y \dxj \<lyj \d^/
cos 0’ = ■
WWm'
cos 0" =
V(îy-OHî)
Les équations de la normale, c’cst-ti-dirc, d’une perpendiculaire au plan tangent et passant par le point (x, y, z), sont :
nu si l'équation de la surface est donnée sous forme implicite,
CALCUL UIFFÉIIEKTIEL.
108. Contact des surfaces. — On dit que deux surliiees se louclieiU en un point lorsqu’elles ont on ce point un plan tangent eoniiniiii. ün voit donc que si
sont les équations des deux surfaces et si (x, y, z) sont les coordonnées du point commun, il y aura contact si l’on a entre les dérivées partielles les égalités
dx dx dy dy
puisque ce sont ces dérivées partielles qui fixent la position des deux plans tangents.
Comme, en donnant il x et ^ les accroissements très petits h et le Z devient dans les deux surfaces,
df, df , dH h* ^d'fhk dH k* d^f
" 7x^^ d? ri
dF , dF , d^F A*
z-*-—-n-\-—k-*- — -F- etc.
dx dy dx* 1.2
rintcrvallc entre celles-ci, compté parallèlement à l’axe des Z, ru tenant compte des égalités précédentes, est donné par
'}1E\ JE » / d*F \ hk ^ /d*f d*F\ k*
\jlx* dx*J i.'i'*' \dxdy dxdyj i "2^ \jily* r/i/*/1.2
/dH d^F\ A’
cc qui indique que l’intervalle entre les deux surfaces qui sc touchent, pris h une très petite distance du point de contact, est une quantité infiniment petite du second ordre, puisque les trois premiers termes qui sont multipliés respectivement par A^, hk cl k* sont des infiniment petits de cet ordre et que les suivants sont tous négligeables devant ceux-ci, du moins quand aucune dérivée ne devient infinie. Si les trois dérivées du second ordre étaient aussi égales, l’intervalle serait infiniment petit du 3” ordre cl ainsi de suite.
Par analogie avec ce qu’on a vu sur le contact des courbes, on rlit que les deux surfaces ont un contact du premier ordre, du 2' ordre etc. dans les différents cas que nous venons d’examiner.
■il«
CIIAPITIIË Vit.
lO'J. Courbe (le eonlacl du cime rircuuscrit à une surface. — On |ieut, au moyen de l’équation du plan langent, trouver la courbe de contact d’iin cène circonscrit à une surface donnée et ayant son sommet en un point donné; soient en effet (a, f», c) le.s coordonnées du sommet; il est évident que les points de contact doivent se trouver a la fois sur la surface et dans scs plans tangents passant par le point (a, b, c); les coordonnées (x, y, z) des points de contact doivent donc .satisfaire aux deux équations
f{x,y,z)==-.U et («— (c— :)^=0,
attendu que le plan dont les coordonnées courantes sont (x',y',zl), est assujetti à passer par le point (a, b, c). Si entre ces deux équations on élimine x, on aura l’équation de la projection de la courbe de contact sur le plan des YZ. En éliminant r, on connaîtra la projection sur le plan des .\Y.
On reconnaît que cette courbe de contact est plane pour une surface du second degré; car cette surface ayant pour équation
X* -t- ly* Hii* H- nx -4- py + qz -c- r — O,
la seconde équation ei-dessus est
(r — 7) -4- (« — x)(2x «) -4- {b—y}{‘ily -h /») = ",
qu’on peut écrire ainsi
2x’ 4- 2m:* -4- 2fy* -4- (7 — 'imc)z -4- (;i — 2o)x
-4- {p — 2W) i/ — cq — au — pb =0.
Oc, si de la seconde équation on retranche le double de la première, il vient
(7 -4- 'lmc]z -4- (il -4- 2a) X -1- {p -4- 2b/) 1/ -4- cq -4- un -4- p/ -4- 2r = 0,
qui nous apprend que le.s coordonnées (.r, 7, s) ilii point de contact satisfont à l’éijuation d’un plan.
Si le sommet du cône était transporté parallèlement :i l’axe des Z à une distance infinie, le cène deviendrait un cylindre et la projection sur le plan des XY, de la courbe de contact qu’on vient de trouver, deviendrait la projection du contour delà surface sur ce plan. Or
CALCUL IXI FKIICMTIEL. I !)
si l’on tlivisc |Kir c la seconde des c(inations,. ou si on la inet sous la fonne
cl qu’on fasse converger c vers l’infini, tandis que a, b, x, y, z resien l finis, les deux équations devienncnl
/■(x, y,z) = 0 et
L’cliininalion de : entre ces équations donnera la projeetion elicrchée. Le meme procédé donnera la projection du contour de la surface sur les plans des \Z cl des YZ.
Si l’équation de la surface était donnée sous la forme explicite
la seconde équation serait remplacée ]iar
(h ilF
— ou
parce que l’on a (N“ 20)
(Il dz df (Te
HO. Hayon de courbure d'une courbe tracée sur une surface. — Passons h la mesure de la courbure des surfaces. Concevons qu’au point .M, ayant pour coordonnées (x, y, *), nous ayons tracé sur la surface une courbe quelconque plane ou gauche, et désignons jiar ]>
cl q les deux dérivées partielles et ^ t tirées de l’équation de la ' dx dy
surface. On a vu (N" 107) que si l’on mène la tangente à cette courbe
au point M, les coordonnées (x', y', z') d’un point quelconque de la
tangente doivent satisfaire à l’équation du plan tangent
puisque celui-ci renferme toutes les tangentes. Or, en désignant par <l la distance du point (x', »/',;') de la tangente, an point de contact
CIIAPITIIK VII.
(x, y, :) et iuir{ a, p, y] les angles formés par celte droilc avec les axes, il est visible que l'un a
cos * = ^ ^1 cos S = J cos V :
cl une substitution fera prendre à l’cqualion du plan langent la fornie cos y = P cos a q cos p ,
qui établit une relation nécessaire entre les angles (a, p, 7) formés avec les axes par une tangente à l’une des courbes tracées sur la surface autour du point M.
On lire de là, en prenant l’arc s d’une portion de cette courbe terminée au point (x, y, :), pour variable indépendante et en dérivant ]>ar rapport à s,
d cos 7 d cüs a d cos p / dp dx dp du\
\dx ds dy ds J
Mais on sait que l’on a (N" 81)
dx du
-7- = cos a , = cos P ;
ds ds
en rcpréscnlanl donc par r, s, l les dérivées du second ordre
—, 7 — r-, -j'7, celle équation devient
dx* dxdy dij*
d co.s 7 d C03 IX d cos P
r cos’ a -1- 2s cos a cos S -t- f eos’ p.
Si on désigne par p le rayon de courbure de la courbe tracée sur la surface, cl par (), p, v) les angles qu'il forme avec les axes, 011 a trouve (N° 80)
cos ). = p -,-r • = p ^
^ds* ‘ ds
d cos p
fos U = n , COS V
ds
d cos a d cos 7
^^~dT’
CALCDI. UirFlillIi.NTIEL.
2il
l’c-quation précédente devient donc en substituant,
cos V — ^ cos > — q cos p ^ r cos* a 2s cos « cos ( cos* p
D’un autre côté, on a vu que les cosinus des angles (0, 6', 6") formés par la normale à la surface avec les axes, sont
cos0 = — — ■ ^ ■ — , cns<>'= - — . cos0"=s — — ■
(/l j)* -t- q* p/t -H P* -t- (y* 1 -H yj* -F- q- ’
on a donc pour expression de l’angle o' formé par la normale avec le rayon de courbure de la courbe,
cos ï — P cos ). — q cos U
cos(î=cosOcosX cosO cosft cosO cos v= >
|/ 1 -t- yi* -V- q*
ce qui fait prendre à l’expression du rayon de courbure la forme suivante :
p/t -t- yj* -+- q*
r cos* a -t- 2s cos « cos p -+- ( cos* ^
cos J;
Kcmarqtions que dans cette valeur de p, les quantités p, q, r, s, l sont des fonctions connues des coordonnées du point M, les angles a, [5 sont ceux que forme avec les axes la tangente menée à la courbe, et S est l'angle formé par la normale à la surface au point M avec le rayon de courbure de la courbe, ou, ce qui est la même chose, c’est l’angle formé par cette normale avec le plan oscillateur de la courbe. Il sullira donc de connaître la direction de cette tangente et l’inclinaison du plan osculateur sur la normale, pour que le rayon de courbure de la courbe soit déterminé, quoiqu’on ne connaisse pas son équation.
111. Rayon de courbure d’une section normale et d'une section oblique. Surfaces osculatrices. — On appelle section normale en un point d’une surface, la courbe qui résulte de l’intersection de la surface par un plan passant par la normale en ce point. La formule précédente fait connaître le rayon de courbure d’une section normale en un point donné d’une surface, puisqu’il suffit d’y faire o nul. Il vient
p/l -+- yj* -t- q*
r cos* * -i- 2s cos a cos p ■+• t cos* p
CIIAI'ITIIK VII.
En chniigoniil ]cs valeurs des angles a et qui fixent lu direclioii de la laiigeiile par laquelle passe le plan sécant, un aura les rayuns de euurliurc de toutes les sections normales laites dans la surface aiiluiir tl’un inèiiie poini, et eellcs-ci serviront à up|>rccicr la cuurliiire de la surface en cet endroit. Un cliangcnicnt de signe dans la valeur de p, quand on change les valeurs de « et de indique que, pendant la rotation de la tangente autour de la nurinalc, les sections, d'abord concaves, deviennent convexes entre certaines limites; car le rayon de courbure n'étant autre chose que la distance de la surface au centre de courbure compté sur la normale, un changement de signe avertit que pendant la rotation du plan sécant, ce centre passe de l’autre ciilé de la surface.
Les formules précédentes font aussi connaître la valeur du rayon de courbure d’une seclion oblique au point M; car si a' est rinelinaison de cette section oblique sur la section normale passant par la même tangente en M, on a vu au numéro précédent que le rayon de courbure est donné par
r ' — cos (f,
r cos* a -t- 2s cos a cos P + t cos* P
c’est-à-dire, qu’en désignant par p le rayon de courbure de la section normale et par p' celui de la section oblique, on a
p' = P cos <?•
On conclut de là que le rayon de courbure d’une section oblique est la projection du rayon de courbure de la section normale correspondante, sur le plan de la section oblique.
On conclut aussi de cette expression du rayon de courbure d’une section normale ou oblique, que si deux surfaces ont un contact du second ordre (N“ 108) en un point, toutes les sections normales ou obliques faites dans les deux surfaces autour de ce point, auront la même courbure, puisque ccllc-ci ne déj)cnd que des dérivées p, q, r, s, t qui sont égales si le contact est du second ordre. Ces surfaces sont alors dites pour ce motif osetilutrices l'une de l’autre.
il 2. Caracliire distinctif des surfaces convexes, des surfaces {fauches cl des surfaces développables. — Cette valeur de p fait connailre plusieurs pro]>riétés imj)ortanles des surfaces. En lu mettant sous la forme
scosp)* {tr s*) cos-
CALCUL ÜIFILUEMIEL.
il est visiblü (|iie si l'on a pour loiilc valeur de s et y,
le dénominateur restera positif pour toutes les valeurs de « cl de c’est-à-dire, que le rayon de courbure conservera le même signe pour toutes les sections normales faites autour d’un point quelconque M, ce qui indique que toutes les scelions faites autour de ebaque point M ont leur convexité tournée du même côté et par conséquent que la surface est enlièrcnicnt placée du même cété du plan tangent. Si, nu contraire, on a
Ir - s* < 0,
le second terme du dénominateur sera négatif et en l’égalant au premier on trouvera une certaine relation entre a et p pour laquelle p sera infini, c’est-à-dire qu’il y aura autour de chaque point M une section sans courbure en ce point; il y en aura même généralement deux, puisque cette relation entre a et |3 est du second degré. On voit aussi qu’en faisant varier a et p d’nnc manière continue, le dénominateur d'abord positif, passera par zéro pour devenir ensuite négatif, ce qui apprend que, dans une certaine étendue, les sections normales faites autour du point M ont leur concavité tournée dans un sens, cl qu’au-dclà, In concavité est tournée en sens inverse. Ceci exige que le plan langent pénètre la surface suivant scs lignes sans courbure, cl que les lignes de pénétration séparent la partie concave de la partie convexe.
Enfin si l’on a
Ir — .s* = 0,
le rayon de courbure aura toujours le même signe, c’est-à-dire que la surface sera entièrement concave du même côté du plan tangent; mais pour une certaine relation entre a cl p, savoir :
r cos a s cos P = 0,
le rayon de courbure sera infini, c’est-à-dire, qu’il y aura encore une section sans courbure au point M.
Il résulte de cette discussion que l’inégalité
tr — .s* > 0,
quand elle a lieu pour toute valeur de a: et /y, caractérise cxclusivc-
CilAPITIli: VII.
ment les surfaees coneaves dans tons leurs puinls, telles qu’un ellipsoïde, et que les conditions
tr — «- < 0 et fr — s’ = 0,
quand elles sont satisfaites pour toute valeur de x et y, caractérisent les surfaces qui, autour de chaque point, ont au moins une section sans courbure. La première caractérise celles de ces surfaces qui sont pénétrées par leur plan tangent, et la seconde, celles qui sont entièrement placées du même côté.
Parmi les surfaces de ces deux dernières catégories sont comprises évideinment les surfaces réglées, c’est-à-dire, celles qu’on peut concevoir engendrées par une ligne droite se mouvant suivant une certaine loi, puisque, en chaque point, la droite génératrice qui y passe, forme une section sans courbure. On a divisé les surfaces réglées en surfaces gauches et en surfaces développables. Les premières sont celles pour lesquelles la loi de génération est telle que deux génératrices consécutives ne se rencontrent pas, et les dernières sont celles où elles SC coupent. Les surfaces gauches sont évidemment comprises parmi celles qui sont pénétrées par les plans tangents et pour lesquelles on a
tr — s- < 0 ;
car si par une des génératrices rectilignes on fait passer un plan tangent à la surface, celui-ci ne contiendra pas la génératrice suivante, puisque deux génératrices consécutives ne pouvant pas se rencontrer dans les surfaces gauches, ne sauraient être renfermées dans un meme plan; la seconde génératrice traversera donc le pian langent en s'étendant indéliniment des deux côtés, ainsi que la surface clle-mémc.
La seconde catégorie de surfaces réglées, e’est-à-dire, celles qui ne sont pas pénétrées par leurs plans tangents et qui sont caractérisées par la condition
rl — s^ == 0,
embrasse toutes les surfaces développables, car pour que la surface soit entièrement placée du même côté du plan langent, la seconde génératrice ne peut pas s’étendre des deux côtés du plan tangent; elle doit donc y être renfermée et par conséquent les deux génératrices consécutives doivent se rencontrer.
113. Hayons de courbure principaux — Les rayons ilc courbure changeant de valeur autour du point M, il y a lieu de déterminer la
CALC.UI. DIFl-KtltNTIKI..
position de la section pour laquelle p est iiinximum ou minimum. Remarquons d'abord que les angles a et J3 ne sont pas entièrement arbitraires, puisqu’ils doivent satisfaire aux équations
cos y — P cos 1 q cos cos* * -f- ros* p -t- cos* y = i .
En éliminant y entre elles, on reconnaît que a et p doivent vérifier l’équation
(1 -4- P*) cos* a -4- 2pq cos a cos P -4- (4 -4- q*) cos* p = i (2).
Pour rendre p maximum ou minimum, il suflit d’égaler à zéro la
dp , , , ,, , , ,
valeur dc-j^> en considérant p comme lié à a par l’équation précé-
dot,
dente. On trouve ainsi
(r cos a -4- s cos p) sin «
(t cos p + s ens n) sin p
dp
|(l -4- p*) cos a -4-p(/coSj6|sii) a -4- 1(4 -4- f/*) cos p -4- pf/ cos a I sin = 0,
dp
et en éliminant
da
r cos a -4- .s cos p (1-4- p*) cos a -4- pq eos p
t eos p -4- s cos a (1-4- 7*) cos p -4- pi/ cos a
Cette dernière combinée avec (2), servira a déterminer les angles a
et p qui correspondent aux plus grands et aux moindres rayons de
courbure et en substituant ces valeurs dans l’expression de p, celui-ci
sera complètement déterminé. L’élimination de a et de p peut se faire
plus facilement comme il suit : multiplions les deux membres de
eos a . , „ •
I équation (3) par — - et ajoutons 1 unité de part et d autre. En
réduisant an inêinc dénominateur et en tenant compte de l’éqiintion (2), on trouve
r COS*a -4- 2s eos a COS p -4- l COS* p =
I eos 3 -4- s eos a
{ I -4- q-) eos p -4- pq eos a
ClIAriTRE VII.
ou bien, en se rajtpelnnt la valeur de p et en représentant j/i -4- p* 7* par h,
1 cos p s cos a
COS a
cos p
(1 -4- 7-) COS p -4- p7 eos a
cos a
i H- 7* pq y
* ^ * cos ^
L’équation (o) donne aussi
r cos a -4 s cos p
cos a
cos p
(1 -4- p*) cos a -4- p7 eus p
‘ ‘ ' ' ' COS p
^ . COSa , . .
En éliminant — -entre ces équations, il vient, apres avoir remis pour h sa valeur,
(ri — s*) P* — P f/î P* ■+- 7* j(l -1- P*) t -4- (1 -+- 7*)r — 2p7* j
dont les deux racines font connaître le plus grand cl le moindre rayon de courbure des sections normales faites autour du ]ioint M, en fonction des coordonnées (x, y) de ce point. Ces droites se nomment rayons de courhiire principaux. Les valeurs de o et de (5 qui fixent la direction de la plus grande et de la moindre courbure s’obtiennent en résolvant par rapport à cos a et cos |3 les deux équations (â) cf(4), apres avoir remplacé p |tar l'une ou l’autre des deux racines.
Les coordonnées du centre de courbure de la section principale se déterminent par la remarque que les cosinus des angles du rayon de
courbure 011 de la normale avec les axes étant — '
— et — les projections du rayon sur les
pn (ICI — p
axes sont — ' ■ -, — ' . — — • d
comme les coordonnées de l’une des extrémités sont (x, y, z), les coordonnées (l, m, n) de l’autre extrémité ou du centre sont :
H ir-i-fj'
CALCUL UIFFKREMTIEL.
line climimitioii ilc (x, tj, z) entre ees trois équations et celle de la surface conduirait h l’équation en (l, m, n) du lieu des centres de courl)urc.
114. Propriétés des rayons de courbure des sections normales faites autour d’un point d'une surface. — On déduit des formules précédentes les lois suivant lesquelles varient autour d’un point M d’une surface, les rayons de courluirc des sections normales; en effet, transportons l’origine des coordonnées en ce point et prenons pour plan des X'Y', le plan tangent à la surface et pour axo des Z', la normale. En désignant par (x', y', z!) les coordonnées rapportées à ces nouveaux axes, on aura encore pour expression du rayon de courbure d’une section normale autour d’un point (i', y', :'),
P cos* a -+- Ils' eus a cos ^ t' cos* P
mais comme ce point est l’origine même des coordonnées, et que les j)lans des X'Z' et des Y'Z' coupent la surface donnée suivant les sections normales MB et MB' (fig. 2C), qui sont, comme on sait, tangentes aux droites M.X' et .MY' renfermées dans le plan tangent .X'Y', (x',y, z'), ainsi que les dérivées partielles, sont nullcs à cause de leur signilication géométrique. L’expression du rayon de courbure de la section MC déterminée par le plan normal Z'.MT, deviendra donc
rj cos* a -H '2sJ cos a cos p cos* p '
rJ, sJ, tj étant ce que deviennent r', s', t' ou > -, i au
«X* dxdy dy^
point M pour lequel x' et y sont nuis, (a, p, y) sont les angles TM.X', TMY' et TMZ' formes par la tangente MT à la section MC avec les trois axes. Comme cette tangente est contenue dans le plan des .X'Y', y est droit et Ton a
cos* « -i- cos* S = 1 d’où cos p = siii a et par conséc[uent la valeur de p devient
)•„' eus* a -4- 2s„' cos a sin a -t- ta' sin* *
CIIAPITIIE VII.
l’uur les scctiuns MB cl MB', un a
I ri
a = 0, p = — et «=-, P = JJ-
Si l’on cherche la valeur de a qui rend p maximum ou minimum, on trouve
lang
. /(tJ-rJf . ..... 2s„'
i u«b.en tang2« = j:^.
Comme les arcs 2a et 2a -i- ;r ont la même tangente, on voit que a
dans cette dernière équation a deux valeurs, a et a + ^, et l’on
reconnaît que l’une de ces valeurs correspond à un maximum et l’iiulrc à un iniiiimum, ce qui prouve que les sections de plus grande et de plus petite courbure sont en général perpendiculaires entre elles.
Faisons coïncider les plans des X'Z' et des Y'Z' avec les sections de pins grande et de plus petite courbure. Il faut, pour cela, faire en sorte que la valeur précédente de a soit nulle, ce qui exige que sJ = 0. L’expression du rayon de courbure d’une section quelconque se réduit alors à
r„ cos* a H- sin*a
En représentant par p' et p" le plus grand et le plus petit rayon qui correspond à a nul et à a égal à un angle droit, on trouve
valeurs ipii font prendre h l’expression générale d’un rayon de courbure la forme suivante :
P et,.»
p sur a -+- p cos'a
Celle-ci donne le rayon de courbure d’une section normale quelconque en fonction des deux rayons de courbure principaux, et fait connaître la loi suivant laquelle les rayons de courbure varient autour
CALCUL DII'I'CHKNTIBL.
d’un iDÛnic point. Il est à remorquer que p' et p" sont les valeurs algébriques des rayons de courbure, et sont par conséquent de même signe ou de signe contraire suivant que les deux sections principales ont leur concavité tournée dans le inéinc sens ou en sens inverse.
11b. Ombilics. — Si pour un certain point de la surface, les deux rayons de courbure principaux p'ct p" étaient égaux et de même signe, il est visible que toutes les courbures autour de ce point seraient égales, puisque l’équation se réduirait à la suivante
p' (eos* a siii'*) ^
Un semblable point situé sur une surface se nomme ombilic. Pour le déterminer, quand il existe, il sullit de remarquer que l’un a en général (N“* 111 et 115)
r cos* a 2s cos a cos p -t- t cos* p
1 = (1 -H p*) cos*ot -4- 2piy cos a cos p (1 -t- q’) cos* p.
En multipliant membre à membre ecs deux équations, on peut mettre la valeur p sous la forme
p = p/l -t- p* -A- ly* —
'2p(j cos p /I ç*
