p* pt/ 1 -4- f

r.cltc double équation, jointe h celle de la surface, servira à déterminer les coordonnées de l’ombilic. En appliquant ecs formules à l’cllip-

ciiAiniiE vil.

solde, dans lequel les axes sont o > 6 > c, on trouve pour coordon nées des ombilics,

et pour rayon de courbure en ce point, — •

i l6. Propriétés générales des surfaces, relatives à leur courbure. — 11 résulte des propriétés des rayons de courbure des sections normales, démontrées ]>lus haut, que si deux surfaces quelconques qui se touchent en un point ont les deux rayons de courbure principaux identiques deux à deux, toutes les autres sections normales ou obliques faites autour de ces points auront aussi des courbures égales de |mrl et d’autre, puisque ces dernières courbures ne dépendent que des deux courbures principales. D’où il suit que des portions inriniment petites des deux surfaces prises autour de ces points sont sensiblement identiques. Il résulte aussi de là qu’une portion très petite d’une surface quelconque prise autour d’un point pour lequel on connaît les deux courbures principales, peut toujours cire considérée comme engendrée par la rotation d’un arc de cercle autour d’une droite renfermée dans son plan, de la manière suivante : après avoir tracé un arc de cercle ab (lig. 27) avec l’un des deux rayons de courbure principaux om, on portera sur le diamètre passant par le milieu m de l’arc et à partir de ce point, une longueur me, égale à l’autre rayon de courbure; puis on élèvera une perpendiculaire de au diamètre et l’on fera tourner l’arc autour de cette perpendiculaire. 11 est visible en effet que la surface engendrée aura pour sections principales deux cercles dont les rayons seront les deux rayons de courbure principaux donnés. On voit aussi que l’équation (1) mise sous la forme

donne pour le rayon de courbure p, d’une seconde section perpendiculaire à la précédente,

- = i cos’ (l"* -+- «) ■+■ 7, sin’ (l** %) =isin* a -i- -7. cos’ a,

nAIXL'I. nlFFliliEINTIEt.. ‘iôl

<roù il résulte que

c’est-à-dire que la somme algébrique des inverses des rayons de cour^ bure de deux sections orthogonales quelconques est constante pour un même point d’une surface.

117. Indicatrice. — On conclut aussi de l’équation (1), que si l’on porte sur toutes les tangentes MT (lig. 2C), à partir du point M, des longueurs Mo proportionnelles à la racine carrée du rayon de courbure de la section correspondante MC, le lieu géométrique des extrémités a sera une ellipse ou une hyperbole ayant pour eentre le point M, et pour axes , les droites MX' et MY', représentant les directions des sections principales; en efTct, si (x, y) sont les coordonnées de «, on aura

x==-Macosa, »/ = Masina, Ma = /p^p,

l étant un cocflicicnl constant arbitraire. On tire de là

cosa = 3111 a = —

et en substituant ces valeurs dans l’équation (1), il vient

^ r.'cos* a -F- C' sin’ a r„'x* -f-

d’où

r„'x* -F- tjy* = 1', ou bien - x* — y~ — l' ,

équation qui appartient à une ellipse ou à une hyperbole, suivant

que p' et p" sont de même signe ou de signe contraire, c’est-à-dire

suivant que les deux sections principales ont leur concavité tournée dans le même sens ou en sens inverse. Cette courbe à laquelle on donne quciquerois le nom d’indicatrice, est commode pour peindre aux yeux la loi suivant laquelle varie la courbure des sections normales faites autour d’un point d’une surface quelconque.

La courbe qu’on vient de déterminer et qu’il faut concevoir tracée sur chaque plan langent autour du point de contact, se confond, quand

ClIAI'ITIIi: VII.

DU lui donne des dimensions très petites, ou quand on prend l très petit, uvee la section faite dans In surface par un plan parallèle au jilaii langent et infiniment peu distant de celui-ci. En cifel, suit l'équation de la surface

rapportée, comme an N" 414, à trois axes rectangulaires, l'origine étant placée en un point de la surface et l'axe des 7J se confondant avec la normale. Développons f{tf, y') suivant les puissances ascendantes de x' et y'; la formule de Maclaurin donne

ou bien, en laissant à pj, q», rj, sJ, tj leur ancienne signification, et en remarquant que fo, c'est-à-dire f{x', y') quand on y faitx' et y' nuis, est lui-même nul, puisque la surface passe par l'origine.

équation qui .se réduit à

Tl

etc.

parce que les axes des X' et des Y' étant tangents aux courbes de rencontre MA cl MB de la surface par les plans des X'Z' et des Y'Z', les dérivées partielles cl sont nullcs. En prenant 2' égal à une con-

slanlc-/*, xf cl 1/ seront évidemment les coordonnées d'un point

quelconque de l'intersection de la surface par un plan parallèle an plan

tangent et distant de - Si on supimse - très petit, la courbe

d'intersection sera dans toute son étendue peu distante du point de contact, quand la surface est entièrement concave autour du point M et alors 1' et y' seront très petits iioiir tous les points de la courbe, les termes en x’’, etc. pourront cire négligés devant les termes en y’*, l'y' et l'équation de la courbe se réduira h

CALCUL niFfKIlEjnlEL. i5.">

Quand la surface est pénétrée par le plan tancent, la courbe d’intersection a des brandies qui se prolongent indéfiniment; mais si l’on ne considère que la partie de cetlc ligne d’intersection placée dans le voisinage du point de contact, c’csl-à-dir^, si on suppose que a/ et y' restent très petits, on pourra encore se borner aux termes de seconde puissance en (a:', y'] et l’on sera conduit à la même équation que plus haut, équation qui représente donc dans tous les cas et d’une manière approchée 1a section faite dans la surface par un plan parallèle à un plan tangent et très peu distant de cclui-ci. Cette équation appartient à une courbe du second degré. Si on prend l’axe des X', qui jusqu’ici est resté arbitraire, de manière que le coefficient sJ de sfy' soit nul, ou, ce qui est la même chose, de manière que la courbe soit rapportée à ses axes, l’équation se confondra identiquement avec celle trouvée pour l’indicatrice.

Elle jieut servir à démontrer /ort simplement, mais d’une manière peu rigoureuse, les propriétés des rayons de courbure.

H8. Lignes de courbure. — On appelle lignes de courbure des lignes tracées sur une surface donnée, de manière qu’en chaque point la courbe soit tangente à la section de courbure principale de la surface. On a vu (X" 113) qu’en désignant par (a, p, y) les angles formés par la tangente à la section principale au point (x, y, z], ces angles doivent satisfaire à l’équation

(1 -t- P*) cos a -4- pq cos P (1-4- q*) cos p -4- pg cos a

r cos a -H s cos P

t cos P

s cos a

la direction de la tangente à la ligne de courbure au même point doit donc vérifier cette même équation et comme ces cosinus sont donnés

par-^et— » il en résulte que dans toute l’étendue d’une ligne de os ds

courbure on doit avoir

(1 -4- P®) dx -4- pgdy __ (1 -4- f/*) dy -4- p<jdx rdx -4- sdy tdy -4- sdx

Cette équation différentielle jointe à celle de la surface forment les deux équations de la ligne cherchée. On sait qu’en chaque point il y a deux sections principales se croisant à angle droit ; par chaque point d’une surface, il passe donc deux lignes de courbure se coupant sous un angle droit.

Les lignes de courbure jouissent d’une propriété importante qui a

ciiApnnE VII.

été mise à profit dans la géométrie descriptive pour la coupe des pierres. Si sur une surface donnée on trace une courbe arbitraire et qu’en cliacun de scs points on élève une normale à la surface, rcnscmblc de ces normales formera une surface réglée qui, en général, sera une surface gauche, et celle-ci sera une surface développable lorsijue la courbe tracée est une ligne de courbure. Pour le rccounaitre, il suOit de démontrer qu'alors deux normales consécutives se rencontrent. Or les équations d’une normale à la surface au point (x, y, z) sont

et les équations de la normale au point (x i/x, y -t- Jy, z tlz) distant du premier d’un élément ds sur la ligne de courbure, sont :

a' — X — dx = — {ji dp) {z' — z — dz),

y’ — y — dy = — [y -t-dq) {z' — z — dz).

La condition pour qu’il y ait rencontre entre ces deux droites est

dx-^-pdz dy -♦- ydz

dp dy ^ ’

équation qui se confond avec celle trouvée idus haut pour la ligne de courbure, quand on aura remplacé dz, dp, dy ]iar leur valeur

dr= pdx ydy, dp = rdx sdy, dy — gdx -f- tdy.

Il est à remarquer que la rencontre de deux normales consécutives ne parait rigoureuse que parce que, conformément à l’esprit du calcul ’ différentiel, on a négligé dans les valeurs précédentes de dz, dp, dy, les infiniment petits des ordres supérieurs donnés par leurs développements, en ne conservant que les infiniment petits du premier ordre. .Sans cette circonstance, on rcconnaitrait que deux normales séparées par l’élément ds ne se rencontrent pas, mais sont distantes d’un infiniment petit du second ordre. Ce n’est en général que dans les surfaces de révolution que cette rencontre a lieu d’une manière absolue.

Réciproquement, si pour une ligne tracée sur une surface, deux normales consécutives se rencontrent, cette ligne est une ligne de rourburc, car la rencontre supjiosc l'équation (2), laquelle se confond avec l’équation (I) qui caractérise les lignes de courbure.

En éliminant (x, y, z) entre les équations des deux normales consécutives et les équations de la ligne de courbure, on trouvera les deux

CALCUL DIFFKRENTIEL.

i-qualions du lieu géométrique de ces points de micontrc, qui sont les arêtes de rcbruiisseinent de la surface développable, et si l'on développe cette surface dans un plan, la ligne de courbure sera la développante de l’arcte de rebroussement, puisque toutes les langcntes à celle-ci restent pendant le développement, perpendiculaires aux élémcnls de la ligne de courbure.

En éliminant (r, y, :) entre les doux équations d'une normale et les deux équations de la ligne de courbure, on trouvera l'équation de lu surface développable, lieu de toutes les normales à la surface le long de cette ligne de courbure.

La propriété des lignes de courbure qu’on vient de reconnaître, se démontre fort simplement au moyen de l’indicatrice , considérée eomme facette ou élément de la surface, en remarquant que, comme celle-ci est une courbe du second degré dont les axes représentent les dircctiotis de plus grande et de moindre courbure, il résulte de lu symétrie de cette courbe de ebaque côté de ses deux axes, qu’une normale à la surface en un point situé sur l'un des axes doit avoir une direction symétrique par rapport aux deux moitiés de la courbe, et que par conséquent clic doit être contenue dans le plan normal à la surface et passant par cet axe. Or, ce plan normal contient nécessairement lu normale du centre de l'indicatrice; ces deux normales auront donc un point de rencontre.

1 l‘J. Lignes de courbure dans les surfaces de révolution, — Il nous resterait encore à déterminer les équations des deux lignes de courbure passant par un point donné sur une surface; mais ce problème, sur lequel nous reviendrons, est du ressort du calcul intégral. Bornonsnous pour le moment à remarquer que dans une surface de révolution,, lu courbe génératrice nu le méridien est toujours une ligne de courbure, puisque toutes les normales d’un même méri<licn, étant renfermées dans le plan de cette courbe passant par l’axe, doivent nécessairement SC rencontrer. Ces méridiens forment aussi des sections normales principales, car la section principale au point .>! (fig. '2H) doit renfermer lu normale .MB (|ui coupe l’axe AO et avoir l'élément MM' commun avec la ligne de courbure, ce qui exige que cette section passe par Taxe AO. Le seconde ligne de courbure passant par le point .M est la circonférence du cercle perpendiculaire à l'axe ou le parallèle MiN, puis<|ue les normales conséeutives MB, ml!, m'B.... se coupent évidemment en B, par suite de la symétrie de la surface autour de son axe de révolution. Il est à remarquer ijiie ce parallèle MN passant par M, n’est pas la seconde section principale de ce

CIIAI'ITIIË VII.

point, puisque celle-ci doit contenir la normale MB. Cette section principale est la courbe plane MCN' dont le plan passe par la normale MB et qui est tangente, en M, au cercle MN. Comme le rayon de courbure de la section oblique MN est le rayon MO', le rayon de