MO
courbure de la section normale MN' est exprimé par >
' eus BMO'
(N® IH), c’est-à-dire, qu’il est représenté par la normale MB.
120. Surfaces enveloppes. — La théorie des courbes enveloppes peut être étendue aux surfaces ; soit en effet
l’équation d’une surface, renfermant un paramètre a. L'équation
appartiendra à une autre surface de la même nature que la première, mais dans laquelle a aura pris un accroissement e, cl le système de ces équations représentera la ligne d’intersection de la surface caractérisée par chaque valeur particulière attribuée à a, et de la surface caractérisée par a -t- E. Or, si on élimine» entre elles, les (x,y,z) cunlcnus dans ré(|uulion finale, que nous désignerons par
u|iparlicndront encore à l'intersection des deux surfaces caractérisées par a et a -I- e ; mais comme a a disparu, ces coordonnées appartiendront à l’intersection de deux surfaces quelconques dans lesquelles le paramètre diffère de e, c’est-à-dire que si l’on trace dans l’espace toutes les surfaces que peut représenter
tandis que a prend toutes les valeurs constantes possibles, l’équation finale
appartiendra à la surface, lieu géométrique de toutes les lignes d’intersection successive de chacune des premières surfaces, par celle pour laquelle le paramètre est supérieur d’une quantité e. Si ensuite un y fait converger s vers zéro, l’équation
CALCUL Dim'.ilCMILL.
iipparliendra & la surface qui forme la limite des lieux géométriques (le CCS intersections. Au point de vue des inGniment petits, si on fait croître a par intervalles e assez petits pour être négligeables, l’équation
F (x, ij, z) = 0
appartiendra au lieu géométrique de toutes les intersections de chaque surface par celle qui la suit immédiatement.
Il est à remarquer que cette dernière équation s’obtient en éliminant a entre (1) et la dérivée prise par rapport à a ou
•if (x, ]h «)
car l’équation (2) peut être mise sous la forme suivante, en faisant usage du théorème sur la limite de la série de Taylor,
n , y, Z, O! -i- •Jî)
et le système des deux équations (I) et (2) deviendra
/^(x,y,î, *) = () et ■ ^=0
qui se réduisent u
/•(x,y,z,a) = 0 et
lorsque e s’évanouit.
La surface limite qu’on vient de déterminer jouit de la propriété d’ètre tangente à chacune de celles que peut représenter
et pour chacune d’elles le contact a lieu le long de la courhe qui a pour équations
= et ^1^=0;
eu rITcl, si en un point (x, y, z) de la courbe (jiii forme rinlcrseclion
CIIAIMTHE VII.
des deux surfaces cunsécutives, on mène un plan tangent à (1), l’équation de ce plan sera, (a/, y', zf) étant scs coordonnées courantes,
dans laquelle p cl a sont les valeurs de-^et^tirées de (I), c’est-à- ' (IX dy
dire
ilfjx, y, X, g) (lf{x, y, «)
dx dy
dz dz
D’un autre côté, si an niétnc point (x, y, z) on mène un plan tangent à la surface limite, son équation sera de même forme, si ce n’est que P et q devront être tirés de l’équation de cette dernière, c’est-à-dire, de l’équation résultant de l’élimination de a entre
et
da
or, au lieu d’effectuer d’abord l’élimination, il est visible qu’on trou-
dz
vera la même valeur pour p ou
par exemple, en la tirant de la
première équation, pourvu que l’on y considère ot comme étant une fonction de (x, y, z) donnée par la seconde. 11 vient alors, en dérivant par rapport à x.
•if{x,y,z,'>) df{x,y.
dx
dx'
ilf(x, y, z, g) da da dx
qui se réduit, à cause de (3) , à
df{x, y, z, *) df{x, y, z, a) dz di dz d!^-"’
d’où l’on tire pour ~~ ou p une valeur identiquement semblable à
celle trouvée pour l’autre plan t.mgent. Comme il eu est de même de la valeur de q, on en conclut ipic les deux plans tangents se confondent et que pur conséqucnl les surfaces variables sont toucliécs par la sur-
CALCUI. Ülf KtlIEATlf-l,.
face liiiiilc appelée par celte raison, surface enveloppe. Les courbes de pénétration du deux suiTaccs conséeulives , qui ne sont autres que des courbes de contact, prennent le nom de caractéristiques. Si dans les deux équations de Tune de ces lignes, savoir :
(Ifjx, y, «)
dot
on fait varier le paramétre a d'une manière continue, cclles-ei représenteront une suite de courbes tracées sur la surface enveloppe et se succédant d'une manière continue. La courbe tracée sur la surface enveloppe, qui touche toutes les caractéristiques, est nommée arête de rebroussement. Elle se détermine en remarquant que si dans la seconde équation de la caractéristique on remplace : par sa valeur tirée de lu première, on trouvera l’équation de la projection dans le |ilan des XY de la caractéristique. La courbe enveloppe de toutes ces jirojeclions est donnée, comme on sait, par le système des deux équu-
lions fornjécs de -- ^ ch
: 0 et de la dérivée de par rapport a a , da.
égalée à zéro. Or, cette dérivée, en considérant z comme une fonction de a donnée par l'équation f(x, y, z, a) = 0, est
itcc* (lallz doL ’
équation qui se réduit à^-^==0, c'est è-dire =
df
parce que la première équation de la caractéristique donne |^= jjr
Iz
valeur qui est nulle puisque ~ est nul. Il est visible que l’enveloppe
dcL
des projections des caractéristiques est clle-raéme la projection de la courbe que nous avons appelée arête de rebroussement. La projection de celte dernière courbe est donc donnée par les trois équations
„ df(x,y,z,<t) „ d^f(x,y,z,a) flx,y,z,a)=0, = 0, — =0,
entre lesquelles on éliminera z et a.
ciiAPiliii: VII.
i'' exemple. Trouver Véqualion de la surface enveloppe d'une sphère mobile dont le centre parcourt la circonférence d’un cercle donné. Prenant le plan du cercle pour plan des XY, on aura pour son équation
et l’équation de la sphère dans l’une de scs positions sera
(x-a)«-4-(y-|3)*-Hz» = r» (2)
Si l’on élimine [3 entre les deux équations, on trouvera une équation finale dans laquelle a tiendra lieu du paramètre variable; prenons donc la dérivée de (2), en considérant p comme fonction de a donnée par l’équation (1); il viendra
Mais l’équation (1) donne
dp a
la dérivée devient donc
(x — a)p — (y — f)a = 0, ou bien xp — y* = 0 (3)
En éliminant a et ^ entre (1), (2) et (3), on trouve pour la surface enveloppe, c’est-à-dire, le tore,
Les caractéristiques sont des cercles de rayon r, renfermés dans des plans passant par l’axe Z.
2' exemple. Trouver la surface enveloppe de tous les plans menés tangentiellement à deux paraboles renfermées dans les plans des \7. et des YZ. Soit
Z = ax + by + c
l’équation du plan dans l’une de scs positions. Scs traces seront données par les équations
Z = ax -t- c et Z = ày -t- e.
I)IFFKIIi;j(TIEI,. :!il
Os droites doivent être tangentes aux deux pariilinles
si donc on désigne par (x', zf) cl {y", z") les coordonnées des deux points de contact, comme réquation de chaque tangente est
c - s' = ^i(x - a'), c - Z" = Ç, (y - f), on devra avoir
A cause des relations
z!*=-2px', z"' = 2p'y",
la douille valeur de c devient z' z"
c= — = — et par conséquent r* = c".
L'é(|ualion du plan inoliile prend donc la forme
dans laquelle la constante z' change de valeur avec la position du plan.
En éliininant z' entre cette équation cl sa dérivée prise par rapport à z', on trouve pour la surface enveloppe
z* 2;ix H- 2p'y
(jui appartient à une surface cylindrique à hase parabolique.
Les deux équations d’une caractéristique sont ici
,__px-^p'y
qu’on peut mettre sous la forme
z = z' et px -t-
ôO
i px -+- p'y
CIIAPITIIË VII. - CALCUL DIFFÉnCKTIEL.
On voit que cos lignes sont des droites parallèles entre elles et au plan des XY. Il n’y a pas d’arète de rebrousscnient, ce qui résulte
d’ailleurs de ce que la troisième équation -j-^ = 0 est incompatible avec les deux autres.
3' exemple. Trouver la surface enveloppe de tous les ellipsoïdes concentriques équivalents, de révolution autour de l'axe des Z. On trouve pour solution la surface de révolution ayant pour équation
dans laquelle m est une eonstantc. Si la soninic des axes devait être constante dans ces ellipsoïdes de révolution , la surface enveloppe aurait pour équation
qui appartient à un iiypocycloïdc de révolution autour de l’axe des /.
CALCUL LMEGKAL
CIIAPITKK VIII.
(Ibji't (lu culnil int(^gr»l. K\i>tcm:e d(- l'iiilf'gralc d'iiiu.' difTi'mUicllc doiiiiuc. Cuiisl.-mlo ui-ljilrairc (|ul la (;oiii|>léU-. — liiU-gralion des difb'iviuicllps iiioiu)nips algtibri(|ues. — lulégralps logaiilliiiii(|uca. — llll(•grab■« fimdaircs et lrigoiiuiiirlrii|UPS. — liili'gratioii des dilTi’rdilicllos trlgnn(>iri(Hrii|ui's. — liilcgratinii par partiel. — liUégratiuii des diiïérenlielles expoiieiiliclles. — Kraclions ratioimelles. — l)('eompusitiuii dis fruetions ralioiinrlles. — Cas des racines égales. — Cas des racines iinagmaires. — (ias des racines imaginaires égales. — Inlégratiun des fractions rationnelles. — Inti'gratioii des fonctions algébriipies irrationnelles. — Int(‘gration des différentielles binômes. — Formules de réduction des différentielles biiuunes. — Intégration par les siiries. — Construction géoiuétri(iue d’une intégrale.
121. Objet du calcul intégral. Existence de l'intégrale d'une différentielle donnée. Constante arbitraire gui la complète. — On appelle intégration l'opériilioii pur luqucllc un remonte d’iine dérivée dunnee h sa fonction primitive. Pour une ronetion quclcun(|iiu dunnéc /’x il existe nécessairement une autre fonclion qui, étant différenciée, reproduit la première, ou, en d'autres termes, toute fonclion donnée a une fonction primitive; en effet, cuncevous que dans fx on dntine à X, qu’on peut toujours eonsidérer comme une ahscisse, toutes les valeurs possibles depuis i = 0 jusqu’à i = x, en preuanl pour accroissement sircccssif une (luantité très petite t; soient f{o), f{i), /'(2t),
ciiw'iinc Mil.
/^(3i)> /’(4i)... f[x), les valeurs correspondanlcs de fx. Portons û partir de A (fig. 29) sur l’axe des X des parties Am, mm', m'm",.. égales à t, et élevons les ordonnées mb, m'e, Prenons sur l’axe
des Y un point arbitraire a et menons nt de niaiiiêrc que cette droite fasse avec l’axe des X un angle dont la tangente trigonoinétrique soit égale à /’(o). Par le point b où cette droite rencontre mb, menons bl' dont l’inclinaison sur l’axe des X soit donnée par f(i]. Pur c menons de même et'' fixée par f{‘'2i) et ainsi de suite. On formera de cette manière un pidygonc ab cd c... et si l’on conçoit que l’on passe à lu limite, en faisant décroître indéfiniment i, le polygone sera remplacé par une certaine courbe ayant une équation à la vérité inconnue, de la forme
et il est visible que fx est la fonction primitive de /’x ; car si eu un
point quelconque de la courbe on mène à celle-ci une tangente, l’angle
quelle formera avec 1 axe des .X aura pour tangente ou pour
dx dx
tonte valeur de x, et comme il résulte de la construction précédente que cette tangente est aussi égale îi fx, on aura
On voit donc que la fonction /"étant dérivée, reproduit la fonction fx et qu’elle est par conséquent la fonction jiriniilive de celte dernière.
On arrive à la même conclusion sans considérations géométriques, en remarquant que l’on a (N“ 5)
dans laquelle fx est la dérivée de fx et 0 une certaine fonction inconnue de X cl de A dont la valeur numérique est comprise entre zéro et riinilé positive. Si donc on fait A égal à — x, il vient en rcmplarant 1 — I) par 0',
fx = fit xf (d'x),
et comme fx c.sl la fonction primitive de fx, celte équation apprend ipie pour former cette fonction [irimilivc, il faut multiplier par x la
CALCDI. IMI^IJRAL.
dérivée, après y avoir cliangé x en O'x, el njoiilcr au pruüuil le terme fo qui représente ce que devient fx quand on y rend x nul, c’est-àdire une conslanle indéterminée. Cette formule ne peut servir à trouver lu forme de la fonction primitive à cause de rignoranec où l'on est sur la forme de 0'; mais elle prouve du moins rexisicncc de cette fonction primitive.
Il est à remarquer qu’à la dérivée fx correspond la dilTérenliclle fxdx dont la fonction primitive fx, que l’on appelle alors intégrale, est aussi celle de la dérivée fx. Il est donc indifTércnl de considérer fx comme lu fonction primitive de la dérivée fx ou comme l’intégrale de la difTérenliclle f xdx. .
L’intégrale d’une dilT('rcntiellc s’indique en faisant précéder celle-ci du signe y qui se nomme signe d'intégration; l’intégrale de fxdx est donc désignée \>nr /' fxdx.
Il suit de ce qu’on vient de voir ; 1° qu’en différenciant l'intégrale d'une dilTérenticlIe donnée, on doit retrouver celle-ci; 2" que la différentielle d'une intégrale,/’ /"xdx qui n’est qu’indiquée, s’oliticnl en supprimant le signe f, et ô" que l’intégrale d’une différentielle (fax qui n’est qu’indiquée, est yx et s’obtient en supprimant le d. Il est visible aussi que l’intégrale de fxdx peut être représentée jilus généralement par f fxdx -+- C, C étant une constante entièrement arbitraire; car la différentielle de cette somme est aussi fxdx. Cette dernière intégrale se nomme intégrale générale pour la distinguer de la première. La différentielle fxdx -r- Fxdx — axdx a ile meme pour intégrale f fxdx -4- y Fxdx — f fxdx ■+- C, car en différenciant cette dernière quantité, on retrouve la différentielle donnée. Enfin si .1 est un coeffieicnl constant, l’intégrale de Afxdx sera .1 ffxdx; car on sait que la ilifférentielle de Aox est Ad-^x et par conséquent la différentielle de .1 y fxdx est Afxdx.
Ces diverses observations donnent lieu aux règles suivantes :
1° Pour compléter l’intégrale d’une différentielle donnée, il faut g ajouter une constante arbitraire.
2“ L’intégrale d’une différentielle composée de plusieurs termes se compose des intégrales de chacun de ces termes pris avec son signe.
3“ On peut faire sortir du signe d’intégration un coefficient constant gui affecte la différentielle,
122. Intégration des différentielles monômes algébriques. — Occupons-nous d'abord de l’intégration des différentielles monèmes les plus simples. On trouve les intégrales d’un grand nombre d’entre
CIIAPI1IIE VIII.
clics en comparant les dérivées iiionômcs trouvées au eomiuenceiiient du calcul dilTércnticl, à leurs fonctions primitives; ainsi, de ce que
dz,
il résulte que Ton a
f dz = Z' , ou n J’ z*~* dz=2 Z" , d’où / z" -' dz Si l'on remplace « — 1 par m, il vient
-rm4 <
fz-'dz ■■
c’est-à-dire que pour intégrer une différentielle de la forme z""dz, il faut supprimer dz, ajouter l'unité à l’exposant m et diviser par ce nouvel exposant.
Cctlc règle est vraie, quelle que soit la valeur de m, que celle-ci soit entière ou fractionnaire, positive ou négative, puisque la diirércnticllc qui y a conduit est générale ; on a donc
, f\^'x*dx=fx^dx^.
= yadx=a f x'‘dx=ax.
— dx = a f x*dx ax" = p « \/^, { * i/x = 2 j/x.
\ - — r~= = 0 I X (IX = — - (
jx‘/x* .’i
UX" -t C 1 (IX = (I
X'" y ii-t-1
■ III i
■ ex.
Pour avoir l’intégrale générale, il faut ajouter partout une constante arliitraire. La meme règle sert à intégrer des dilTércntiellcs de la forme
(ax" — lix’'-e-c]edx, axi^bx" — ex" — e)cdx, (ix»(6x" -r-ry(«x" -*-/)■■ i/x,
pourvu que les exposants p, r soient des nombres entiers et positifs; car si on développe ces puissances de polynômes au moyen du liinôinc (le Newton et qu’on cflecluc les mulliplicutions indiquées, on réduira
CALCl'I.
ces différcnliclles à une stiitc limitée de termes monûmes, tels que vlx^r/xquc l’on sait intégrer. C’est ainsi que l’on trouve
fr{ax* — bfdx = f{a'x^ — 2u6i’ + b^x) ilx = — 2ai — 6* — C.
Dans certains cas, les dilTérenticllcs de cette dernière forme peuvent s’intégrer d’une manière plus expéditive et sans effectuer le développement du polymline, et par conséquent, quelle que soit la valeur de l’exposant. Soit, par exemple, à intégrer (ux — by dx. En faisant ax — b égal à 2, il vient
et en substituant, on trouve
dz \ ^ i(ax — 6)r + ' „
J'[ax — bYdx= fzf — = -/ z>'dz = -t- C= k C.
Pour (4i’ — i]ex*dx, on représentera 4x’ — 1 par 2 et il viendra en différenciant,
xUlx:
dz 1 2r + *
et en substituant,
fUx^— iy'x’«ix=/2e^ = -^-;^ = -r7^ -(4x’— 1V' + *.
Enfin pour {ax- -k by x*^' dx, on posera
as- -k b — Z, x"“‘ dx =
et on trouve en substituant,
dz I 2»*^ ' „ (nx" -k b)e*'
f{„x--^byx-^> ,/x=./2r-=- — - '-= ^
C’est ainsi encore que l’on trouve, en faisant 1 — x* égal ii 2*,
C xdx
:f — dzt= — z-*- C — — [/\ — X* -s- C.
cil M'ITHE VIII.
Il est visiiilc qiie celle Iransforniation n’esl possible que lorsque la (lilTcreiiliellc de In l'oueliuii comprise cuire piirenlhcse ou sous le rndical, représcule, à un coellicienl conslaiit près, le fadeur placé eu dehors de la parcnlhèse du radical.
