Intégrales logarithmiques. — La forinulc
est eu défaiil lorsque m est égal à — 1, car il vient alors
(Iz ou
f (Iz Z"
intégrale à laquelle la présence du symbole de l’iiinui die tout sens saisissabic. Celle difliculté provient de ce que riulégralc de — est d’une iialurc toute différcnle de celle de z^tlz; ou a vu eu effet que la différentielle de log z est— > d’où il résulte que l’intégrale deest log Z ou, plus géucralcnicut, log z -t- C. L’inlégralc générale n’était
pas cependant fautive pour »ii = — 1, car en incllant
C sous
la forme -
. . . . , . C' qui devient - -4- C
|)our m égal à — 1, on trouve log z pour vraie valeur de la fraction
correspondant à m — — I .
Celle formule permet de trouver l’intégrale d’une différentielle fractionnaire dans laquelle le numérateur est la différentielle du dénomiiiatenr; car en reiirésentanl ce dernier, (|ucl qu’il soit, par z, le
numérateur sera tlz cl l’intégrale de— est log z -i- C. On trouve île
celle mamere
(Ix
= log (.T — a) •+■ C,
i' 3ox- dx , , ,
i («ilz-
3) (Ix
log (2x‘ — 3x — 1 ) -)- C.
CALCII. INTU^RAI..
On peut ubicnir, par le même procédé, rinlégralc d’une différentielle fractionnaire dont le numérateur est la différentielle du dénominateur, à un facteur constant près; car si l'on représente le dénominateur par Z, le numérateur sera de la forme ndz et l’on aura
f 7kIz ( (h
\ = « i — ~ /i lüg Z -h C
C’est ainsi qu’on trouve
= ~loff (ax a
;j^l0g(5jC« — 1)-+- C.
On obtiendrait aussi sans peine l’intégrale d’une différentielle de ^ fi «X
la forme — ■ — ; — > lorsque m est un nombre entier et positif; car (o -h bx]' ^ ’
en faisant a + bx — z, il vient
r" Ar^dx f A (z — a)” ^
} (o H- 6jc)" "~J '
Z" — mai’" *
VI [m — 1)
vihn — l)(m — 2)
— - ’-a^z’'--' -A- etc.
= -^ — ) f z^^^dz — via r z”'"“'f/z H ^ — f z"“"”*rfz -+■ etc.
o*mf»n — 1)
Souvent, au lieu d’ajouter simplement une constante arbitraire C pour compléter l’intégrale, il est plus commode d’ajouter log C ou a log C, qui sont aussi des constantes; ainsi on posera
= log r+ log C= log(Cz), ^ = log (jr— a)-*- log C= log C(x— o).
Celte intégrale se met aussi sous la forme - log C* (x — o)’ pour que le logarithme soit réel , même lorsque C ou x — a sont négatifs.
fix
71 logz -f- n log C ==n log (Cz) log (Cz)*.
CilAPITRr VIII.
j ax — b — g '«g ^'=- jlog C{ax—b) = ^ log C*{ax— b)'.
( axhlx a, ,
124. Intégrales circulaires et trigonomêtriques, — On n vu dans le calcul difTércnlicI (N° 17) que
d.arc sin x-.
dx
dx
— > d . arc (ang X = •;
Il résiiUc de là que l'on a
Ç dx ,, r dx
\ — r - = arc sin x et r= arc tang x C.
Ces formules servent à intégrer toutes les dilTérenticllcs réductildes
, dx dx . . dx
.aux formes — — et t- ri ainsi nour , on fer.i les
transformations suivantes :
dx
É* dx
arc sin Z = arc sin -• a
On obtient de même les intégrales suivantes :
adx af dz a .s n . x l/ c
r — — rare sin — - — b
ex'
a r az a . z a
= — \ -7=i=- = — arc sin j- = —
|/cJ|/6* — Z* |/c " \/ c
$axdx a( dz a . z a i*
~7- ~ — si - - 3 arc sin — = - arc sin 7- •
dx
i' dx
lia 1 r dz 1 I X
= -J-^=-)^=-arctangz-HC=-arctang-+C.
CALCUI. IMÉGIIAL.
ilx C tl~ t
r dx __ f dx f dz 1
‘iSI
urc laiig -H t.
La différentielle
d.are eos x =
eundiiit aussi à l’intégrale r dx
■ are eus x h- C,
qui SC prèle à tuiiles les Iransfonnalions précédentes. De la valeur de la différentielle suivante
d .arc sin verse x -
dx
il résulte que
r dx
i arc sin verse x C.
Celle foriniilc eonduilà plusieurs autres; on a par exemple, dx
Un a de même
dx
l/ax — 6x*
(ix
|/6 ^ ^Ja'x — X*
= — nûi’c sin verse— -+- C = arc siii verse — 4-
