CHAPITRE Mil
12Î). Intégration des différentielles trigonométriques. — Les fonctions trigonuinctriques monômes les plus simples sont :
. . I si" ,
cos xax, sin xax, langxux, * colxax,
cos I
cos xdx dx dx dx
» SinXCOSXftX, ■» -■
siii X siiixcosx sinx cosx
Les (leux premières s'intégrent iinnicdiatcmcnl en remarquant que puisque l’on a (N° 14)
(/ .sin x = cosx(/x et d.cosx= — siiixrfx,
on a aussi
y ens xdx — sin x C et f sin xdx = — cos x -i- C,
/’ cos uxdx — f cos s — — - sin I -f- C = - sin ax C.
La troisième et la quatrième s’intégrent en remarquant que le nuinëratcur étant la différentielle du déiioiniiiateiir, on a
r sin xfljc 1
y lang xdx == l — — = — log cos X — log C = — - log (C* cos ‘x)
, , l' cos xdx , . , ^ ^ ^
y cot xdx = ^ —p ^ log SUT X + log C = - log [<y sin • x)
Pour avoir l'intégrale de la cinquième différentielle, faisons siiix = i et cosxf/x = d;; il vient alors
y sin X cos xdx = y zdz
sin * X
L'intégrale suivante s’obtient en remarquant que l’on peut multiplier cette différentielle par sin’x -r- cos*x sans changer sa valeur; on a donc
$dx f (sin *x -+- cos’x) (/x fsiiixf/x r cas xdx
sinx cosx J sinx cosx ) cosx ) sinx
sin X 1
= — log cos I log sin X -T- log C =• log C — — = - log (C* tang *x).
CALCUL l^iTLGUAL.
Pour les (Jeux différenliclles suivaiilcs, oii fera ces transfuriiialions :
= — ^ log C» tang* 1 (5 — •
Passons à la différentielle plus cumpliqucc sin"x cos"x</x. En représentant sin x par r, on trouve
cos X = i/ï — s* et f/x = — ,
et par conséquent en sulistitiiant,
y'sin"x cos’xdx =yr" (I — :*) * dz.
On voit donc que la différentielle proposée se ramène toujours à une différentielle algébrique d’une forme particulière dont on s’occupera plus loin (N" 155). Une transformation semblable rendra algébrique toute différentielle qui ne contient que des lignes trigonométriques.
Dans cette différentielle, m et n sont quelconques, positifs ou négatifs. La transformée précédente s’ap|iliqiie donc, comme cas particuliers et en faisant successivement m et n négatifs, m = n, m = 0, » — 0, aux différentielles suivantes :
fcos’xrfx Csin”xdx (■sin"x(/r „ . fcos'xdj
\ — : 1 \- •' l =/ lang’"x(/x, \ — -
1 sin"x J cos'x J cos“x J sin"x
. ( dx î dx
= / cot’xax, /’cos'xox, / sin*xf/x, 1 j \
^ - Jsin~.r Jcos”x
(■sin"x(/r
\ = / lang^xf/x,
J cos-x
