CHAPITRE \m

iJ.ii

Qunnd m cl n sont entiers et positifs, on arrive souvent plus simplcincnt à rintdgriile, en rcinplaçunl sin^x cl cu$"x par leur dévcloppcinenl trouve au N“ 4'J du calcul différentiel, et l’on n’a plus alors qu’à intégrer des termes de la forme sin px cos qx clx ou eos ;>x eos f/xi/x, dont les intégrales sont

f sin px cos qx i/x = - /'sin [p + q) xdx ■+■ -J" sin (p — q) xdx

I [cOs(p-T-<jl)x COs(p — f/)x) ^

y'cos px COS qx dx = ^ y [P */) ^

i ( sin (p r/) X sin (p — q)^\

126. Intégration par parties. — Souvent dans le but de faciliter l’intégration , on fait usage d’une Iransforinution qui a l’avantage de faire dépendre l’intégrale chcrcliée d’une autre intégrale plus facile à obtenir. Celte méthode, fréqucnimcnt employée, et que l’on nomme intégration par parties, est fondée sur ce que, si u et u sont des fonctions de x, on a

d (iiv) s= udv ■+■ vdu, d’où l’on tire en intégrant,

i<e = J' udv ■*- J' vdu et J'udv = uv — J' vdu.

Cette dernière équation , qui est la formule pour l’intégration |>ar parties, fait évidemment dépendre l'intégration de udv, de l’intégralion de vdu. Pour en faire usage, il faut décomposer une différentielle donnée en deux facteurs « et dv, dont l’un soit une différciiliellc connue rfy, ayant y pour intégrale, l'autre facteur étant représenté par V. La différentielle donnée sera donc udv, dont l’intégrale sera connue si l’on parvient à intégrer vdu, c’ests'i-dirc, le produit de l’intégrale du facteur différentiel dv par 1a différentielle du facteur fini U.

Prenons pour exemple la différentielle x sin xdx cl remplaçons sin xdx par do et x par u. Il est visible que y sera cosx et il viendra

y X sin xdx = — x eus x — y — cos xdx = — x eos x sin x C.

CALCl'I.

Considérons encore la différentielle x"cosif/jc et supposons*» entier cl positif. Si l’on intègre succcssivcincnl jwir parties, en faisant d’aliord

n = x'“, (h — cos xdi,

puis, en posant

U = x"~', dv = sin xdx

et ainsi de suite, on trouve

f X" cos xdx ==x’‘ sin x — *w ,/" x'"" ' sin xdx

= x"" sin X «II""' cos X — mi (m — 1) J'x”^^ cos xdx = x" sin i

-t- iHx”~' cosx — *11 (mi — 1) x"^’ sin X -+- *ii (m — I) (mi — 2) y’x”“*sinxi/x

= sin X jx" — *11 (mi — 1) x"“’ -t- Ml (m — 1) (»i — 2) (m — 5)x"^* j

-I- cos X jMix"*"* — Ml (m — 1) (mi — 2) i"-» j.

127. Intégration des différentielles exponentielles. — L’intégrale de la différentielle a'(/x se déduit aussi d’une formule du calcul différentiel. On a vu que

rf . O* = a'dx log a, d’où l’on tire en intégrant les deux membres,

a’ = log a f a'dx, et f a‘dx = ; h C.

“ log «

Cette formule conduit sans peine aux intégrales suivantes, en effectuant les transformations indiquées,

.,1 dz i „ \

f e"“' dx = — /e* — = er + C = e~’“ -i- C.

■ arc tang (c) -t- C = arc tang (e*) -t- C.

On peut aussi intégrer toute différentielle de la forme x”a'dx, quand Ml est entier et positif ou plus généralement, AVdx dans laquelle AT est une fonction entière et rationnelle de x; en effet, si l’on intègre par parties au moyen de la formule

f udv = M» — J'vdu ,

e^dx r dz

ciuriTRE vni.

en faisant

M = -V, ilv = a’dx d'où r = ,

il vient

/ Xii'dx = A' — ? — ^ — f a'X'dx,

logo logo'

dans laquelle A"' représente • En intégrant suceessivemenl de la

meme manière et en représentant par X", A''", A’"”, ele., les dérivées

dKV dKX </‘A' , , , . ,

successives -r— i — 5 -r-r» dc-i 1 une de ces dérivées, et par conds* dx^ dx*

séquent toutes les suivantes seront nullcs si la fonction A' est entière, algébrique et rationnelle et on aura

fl' a' fl' a*

fXa’dx = A' , X' — — -H A'" A'"' etc. •+■ C.

logo log*o log*o lüg*0

Si A n’était pas entier et rationnel, le nombre de termes du second membre serait illimité, et l’intégrale serait exprimée en série infinie. Ainsi s’il s’agit d’intégrer x^a'dx, m étant entier et positif, on jiosera

X = X" , A'' == nix"'^' , A'" = in (wi — I ) x"~* ,

, . O' / mx”~' wifjii —

/ x-o'dx ==- ( X” j 1 j —

log O \ logo log’o

log’o log "O y

En effectuant l’intégration par parties dans un ordre différent, on est conduit à une autre expression de la même intégrale qui, dans ce cas, forme toujours une série infinie. Ainsi si on pose

O' = U , Xdx = dv , d’où v — J' Xdx ;

il vient

y A'o'rfx = a'A', — log O J' X, a’dx, dans laquelle X, tient lieu de / Xdx.

CALCIjI. I.NTKCIIAI..

'IVÛ

Si l’on continue à intégrer de I<i meme manière, en faisant

, \ ff, J \ ilx ^ etc.,

on trouvera

J a’ôx = A, a* — X„a‘ log a -i- A'„,«' log* n — A'„„o' log’n -t- etc. -t- C.

C Cl*

En appliquant cette formule à l’intégrale \ — «I vient, en supposant m entier,

{m — 1) (wi -

— (tii

et |iar

conséquent

dx-

log a

jx"

log* a

log"-

r a‘dx

On voit que, quelle que soit la valeur de l’exposant m, s’il est entier

et positif, on devra toujours arrivera la difTércntielIc^î^quc l’on

ne sait intégrer que d’une manière approchée, comme on le verra plus loin.

l'n procédé d’intégration analogue peut être appliqué à la différentielle -Ylog’jrfx; car si l’on intègre par parties, en représentant f Xdx par-V,, on trouve

,/' .Y log'ic/x = A', log» a; — n f X, log»-'.rr/ log x = A', log*x — « ^^log» 'xf/x.

cii.tmnË VIII.

On aura de même, en laisaiil

dx = A„, i dx = , clc.,

savoir : (1)

y A’log"xdx = X, log"x — «A'„ log”"'x -t- «(n — 1) A',„ log"-‘x — n(n — 1) (n — 5i)A'„,, log*-*x

On trouve de celle manière :

f log xdx = X log X — X C.

/X- log-x,/x j log-x - ^ log-- X + log-x....

.Si n était négatif dans (1), cette formule devrait être modifiée. Eu intégrant encore par parties, il vient, en remarquant que

r I </x fdz z"'"+‘ — 1 1

)log-x X 3 2-~ «— 1 ~ n — 1 log”-'x’

savoir ;

= ( Vx— î— — sVj 1 r d(A'x)

3 log-x 3 lüg-x X (m — IJ log"— X ^ — 1 3 log--'x’

et l’on voit que l’exposant n dans l’intégrale du second membre est diminué d’une unité. En changeant successivement dans cette formule, « en w — 1, n — 2, n — 3, etc., l’exposant de log x diminuera d’une unité à chaque opération , en sorte qu’on sera ncccssaircincnl

J Z (ix

dans laquelle Z représente

une fonction de x.

128. Fractions rationnelles. — Passons à l’intégration de dilfércntirllcs algébriques plus eoinpliqiiécs, et occupons-nous d’abord des

iliiïiTCiitiellc!) ralioniii'llcs. Leur forme In ]>lu$ générale e$l

.V el

-V'étaiil des fonctions de x, telles que a -*-bx -t- m’ ■+■ ilx^ ex* + etc.

On peut, sans diminuer la généralité de lu méthode , admettre que le polynôme A' est d’un degré moins élevé que A''; car si cela n’était pas, on circctuernit In division de A' par A'', Jusqu’à ce qu’un trouvât un reste A'" d’un degré inférieur à A' et en représentant par Q le quotient, on aurait

cl par conséquent

jŸ,</x=/Ch/x -V-

dans laquelle Q se compose de termes de la forme nx", el l’on voit que l'intégrale cherchée dépendrait de l’intégration de la fraction

rationnelle

dx dans laquelle le numérateur est un polynôme entier

et rationnel en x d’un degré moins élevé que le dénominateur. C'est ainsi que pour intégrer

- dx, on fera

ax* — Gx*-h 1 . 1 — 12x

.. = ax* -+- Gx -t

Ou peut aussi admettre que le coelTicient du terme de plus haute puissance de X au dénominateur est toujours l'unité; car si cela n’avait pas lieu, il sulliruil de diviser le numérateur et le dénominateur |iar le eoenicient de ce terme. De eette manière

2x* — 3ax* — u’

.■ix* — iia’x 2o*

serait mis sous la forme

fx* — ne’ — in-*

Knûn un peut admettre que la fraction rationnelle est de la forme

hx“~* -+- ex" X" ex“~* -+-■

px-s- r/

• -+- rx »

car si le degré du numérateur était inférieur de plusieurs unités à celui du dénominateur, il sulTirait de rendre nuis quelques-uns des eocllicicnts a, h, c

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CIIAPITIIE VIII.

Ü'J. Décumposilion des fruclions ratiunnellcs. — L’iiilégralion des Iraclioiis rationnelles étant entièrenicnl l’ondée sur la déconipusitioii de ecs l'raetions, nous nous oeeuperons d'abord de celte tliéorie.

-+- • ■ • • * JtX tl

Considérons la fraetion rationnelle ; î ' ■

X” ■+■ ex"“' rx -t- s

llcprésentons par a, p, y les racines de l’équation

ex”

Le tliéorèinc rondamental de la théorie des équations apprend que l'on a idcniiquenient

x“ ex”^* -4- rx -4- s = (x — a) (x — p){x — y)

et la fraetion rationnelle devient

aX"~‘ -4- /(X™"- -4- -4- pX -4- (f

Nous examinerons successivcnicnt ; I" le cas où toutes les racines a, p, y sont réelles cl inégales; “2" le cas où ipielques-uncs sont égales, cl enlin 3“ le cas où (pieb]ues racines sont imaginaires.

Si les racines sont réelles et inégales, la fraction rationnelle peut lonjonrs être dccoinposéc en fractions simples du premier degré, de manière que l'on ail

„x"-‘ -4- ùx" * -4- -I- i)x -4- « .1 yy C

^1, II, C étant des constantes à déterminer, c’est-à-dire qu’on peut

toujours assigner à A, li,C des valeurs constantes telles que le

second membre soit égal au premier pour toute valeur de x; en clfet, si on multiplie les deux membres de l’équation par le dénominateur du premier, il vient

„X’"-‘ -4- ÙX“~* -4- -4- px -4- 4/ = .1 (x — S) (x — y)

-4- yy (x — a) (x — y) -4- C(x — a) (x — S)

et il est visible <pie si le dénominalcur de la fraction rationnelle csl du degré m en x, e'est-à-dire, s’il renferme un nombre m de facteurs X — a, X — S, etc. les constantes .1, IJ, C, etc., dans l’équation précédente, seront en nombre m et .seront inultijiliées cbacnnc par un

CAI.CCL l.'iTKUltAI..

ÜC.l

iiuiiibrc m — 1 de fadeurs x — «, x — p, cle. ; par eonsc-qiicnt, en effectuant les mullipliealions du second incinhre, ou obtiendra nue fonction nitiounclle du degré m — 4. Cela posé, la possibilité d'effeetuer la décomposition de la fraction ralionnelle en fractions simples, déjiend de la possibilité d’assigner à A, II, C des valeurs constan-

tes qui renilent identi<]ues les deux membres de cette égalité; or, si l'on effectue les midtiplications, le second membre prend la forme

Mx"’ ' .'Vx““* -t- -4- J’x -t- Q.

Les coeflicicnts 3f, .V P, Q outre les racines a, S, y , renferment les constantes inconnues .1, H, C lesquelles restent évi-

demment à la première puissance et ne sont pas multipliées entre elles. Pour trouver les valeurs de A, B, C qui rendent identiques l’équa-

tion

ax” ' -i- bx"‘"* -4- ]ii + fj = .l/x"’~‘ -4- .Vx"“* -4 -4- Px -4- y

il suffit de poser les égalités

AI=u, ;V=6.. .. P = i>, Q = <i

dont le nombre est marqué par celui des coefficients «, h, c p, (j,

c’est-à-dire qu’il est égal à m. Ces équations étant en nombre m comme

celui des inconnues, et du premier degré en .1,/^, C donnent

pour ces quantités, des valeurs toujours réelles.

Prenons pour exemple En égalant le dénominateur à zéro,

pour avoir les racines, il vient

x' — c* = 0 , d’où X = ± c ;

les facteurs du premier degré du dénominateur sont donc x — c, x -t- r et l’on fera

«X — 1> ux — b .1 ü

En réduisant au même dénominateur cl égalant les numérateurs, il vient

(IX b — .1 (x -4- c) -4- B(x — c) = (.1 -4- Il)x -4- .Ic — lic ,

CIIAI'ITIIK VIII.

i|uc l’on rend idenlique en posnnt

d’oi’i l'un tire

a = A D , — b — Ac — Uc ,

(IC b

On fera de mèiiic sur l’exemple suivant, les Iransforinatioiis indiquées:

3r* — 2x -+- I üx* — 2x -V- 1

X* -1- 2x’ — ’.ix* — Gx I (x I ) (x — 2) (x 3)