AU C D

3x* — 2x I = .1 (x’ -1- 2x* — îix — G) -+- Z? (x’ -+- x’ — (ix) C(x’ -I- 4x* ■+■ 3x) -V- fl(x’ — X* — 2x), équation que l’on rend identique en posant

A -I- n C ^ D = 0, ^A ^ R -i- iC — D =

— ÎJ.I — 6//-I-3C — 2Z) = — 2, — G.^=1,

d’où l’on tire

Les valeurs de ces constantes peuvent être obtenues d’une inaiiière benueoup plus expéditive. Si l’on représente jiar Fx et par /x les doux termes de la fraction rationnelle et qu’on multiplie par fx les deux membres de l’équation (I), il vient

Fx = A

X — fi

Celte équation devant exister quelle que soit la valeur de x, on pourra y faire suceessivcnienl x = *, x = ^, etc. Pourx = a, il vient

CAixri. iMÉi;iiAi..

itiô

el comme a est une ruciiie du dénuminnteur de In rraclion rationnelle, on doit avoir /« = Ü, ee qui fait disparaître tous les termes à l’exeeption du premier, qui se réduit à On obtient la vraie valeur de la fx

fraetion A — en prenant les dérivées des deux termes, et il vient

/l/'a, en représentant par fa la dérivée de fx dans laquelle on remplace X par a; on a donc

Fa = A fa ou

On trouve de même, en faisant x=p et en observant que /"p = 0,

iôO. Cas des racines égales. — Si parmi les racines a, p, 7 du

dénominateur il y en avait quelques unes d’égales entre elles, ce mode de décomposition ne serait plus possible; car en supposant a = p dans (I) du (N" 129), il vient

ax”*“* ■+■ »x -H (/ A' C

la constante A' tenant lieu de d

Or, en eberebant à déterminer les constantes A’, C ainsi qu’on

l’a fait au (N" 129), on obtiendrait encore un nombre ni d’équations,

tandis que celui des inconnues A', C serait réduit à m — 1. Cette

impossibilité cesse si l’on efTcctuc la décomposition de la fraction rationnelle de celte manière :

ax~"' 6x“"* d B C D

(x — a)* (x — 7) (JC — S) (^ — *)* ^ — ® ^ — ^

car on pourra faire tous les calculs indiqués pour le cas des racines

inégales cl l’on obtiendra pour déterminer d , B, C un nombre

d’équations égal à celui de ces inconnues.

ly 5 I ^

Prenons pour exemple — — ; » dont le dénominateur a

pour racines x = 0, x= — 1 deux fois, x = 1 deux fois. On posera

d'où, en réduisant au inèinc dénuininatcur cl égalant les niimcrateiirs,

X»-f-xSH-2=/l (x— l)*(x + l)'* -4- /lx(x + 1)*+- Cx(x — 1)*(x+ I)*

^-/Jx(x — l)*-4- /;x{x — l)*(x-4- 1),

é<|unlion qu’on rend identique en égalant les cocITieiciils des mêmes puissances de x dans les deux membres. Késolvant ensuite ces équations par ra])porl a A, B, C on trouve

S’il y avait un nombre r de racines égales, on ferait

ux“~' -4- -4- yx -4- q .1 B

et s’il y avait plusieurs groupes de racines égales, la décomposition se ferait de cette manière :

ox""* -4- -4- ;>x -4- q .1 B E

h G KL

jr5 , I ___ J

l'ar e.xcmple pour — — ^ , „„ posera

(x — l)»(x-4- 2)^(x-4- 1J""(x— Ijs'*'(x— |)»'^x — i

On peut aussi, en employant le calcul dilférentiel , arriver auv valeurs de ces constantes inconnues, d’une manière souvent plus expéditive. Représentons encore par Fx et fx les deux termes de la fraction

CALCUL I.NTLUHAL. .

rationnelle et par a, y les racines dti 'lénuniinalciir. Supposons

que a soit r fois racine de fx = ü, de sorte que

fx = {x — ay [x — p)(x — y) = (x — a)' fX;

fX ne renfermera plus de racines égales à « et l’on aura

Fx A B C E

(x — ®)’’yX (x — a)' (x — (x — a)'“* I — a

d’où

. Fx , , . , ,

Représentons — par }x; il vient en dérivant l’équation précédente,

dix

ou yx = /f -+- 2C(x — a) -I- (r — l)£'(x— a)*~* -+- etc.

dx^

ou -;.''x = 2C-t- -f- (r

1 ) (r — -2)E{x~ «)■“’ etc.

ou ■{<'“* x=(r' — i) (r — 2) (r — 5).

..5.2.1£' H- etc.

puis faisant x = a dans ces équations et observant que tous les termes, les premiers exceptés, conservent le foctcur x — a et disparaissent par conséquent quand x = a, il vient

Quant aux constantes F, G, H qui se rapportent aux autres raci-

nes, on les déterminera comme plus haut, c’est-à-dire qu’on posera

etc.

151. Cas (les racines imaçiinaires. — Supposons enfin que parmi las l'acincs *, p, y, «In dénoininalciir de la Iraclion rationnelle, il se trouve des raeincs imaginaires; on pourrait encore poser

Fx A II C D

H H ; -t- etc.

fx .r — a X — P X -- y X — o

et dcicrmincr A, 11, C, D.... par les méthodes précédentes; mais les équations qui doivent servira déterminer ces valeurs, renfermant les imaginaires *, p, y, S etc., conduiraient à des expressions imaginaires ]ionr ces coenieients. On peut éviter cet inconvénient en observant ([u’il résulte de la théorie des équations : 1“ que la racine imaginaire

a doit avoir la forme a h [/ — 1 , 2" que si a f> j/ — 1 est une

racine de fx, a — 1> i/ — 1 est nécessairement nne deuxieme racine; d’où il résulte que /x sera généralement décomposable en facteurs du premier degré de la forme

£, étant des racines réelles; ou bien, en observant que

fx pourra être décomposé ainsi

/x = [(X - «y -V- l,^] [(x - ar -*■ 6'*].... (X - s) (X - 0

i|ui ne renferme plus de traces d’imaginaires et dans laquelle les facteurs du premier degré corrcsimndcnl aux racines réelles, et les facteurs du second degré, aux différents couples de racines imaginaires

conjuguées. Cela jiosé, on décomposera-— de la manière suivante :

Fx .Ix -i- B d'x -4- ir C I)

fx (x — a)* -t- ù* "* (x — o'J- -+•6'-'*' ”*^x — e”*"x — r"*"

l.a possibilité d’une semblable décomposition résulte de ce que les cocflicients A, B, A', B', — sont visiblement en nombre m et qu’on peut, en suivant la marche indiquée précédemment (N“ 129), trouver pour CCS eocificients des valeurs constantes.

CALCUL t.NTÉCnAL.

132. Cas lies racines iminjinaires cijates. — Si fx rcnrcniuiil «les racines imaginaires égales, si, par exemple, on avait a = b — b', la (léeoinpusition précédente devrait être modifiée, car il viendrait sans cela,

Fx (.1 -t- l')x -4- // + //' C I)

fx (x — «)'*-+- 6* X — e X -t- ï

ou bien, en observant (|iic A -v- d' et fl ff forment deux constantes .l"ct/r,

Fx J"x-L-fl" C n

fx (x — a)* -+- 6* X — 6 X — ç

et le nombre des cocflicients indéterminés A", fl", I) n’étant

plus égal au degré m du dénominateur, un ne pourrait |)liis déterminer leur valeur comme on l'a fait au N° 12'J. L’analogie conduit dans ce cas à un mode de décomposition semblable .à celui adopté pour le cas des racines réelles égales. Supposons que le facteur du second degré (x — a)* -f- b^ soit contenu r fois dans fx ; on fera

£x .1x1- fl A'x-^ir

fx [(x — (j)* -I- /)-]’■ [(x — a)* -4- b-]' '

,l"x -4- fl" (x — a]- -4- IA

où le nombre de cocflicients .1, fl. A', fl' est visibfement égal à

celui des racines de fx. Pour déterminer ces cocflicients, on multiplie les deux membres par fx ou

[(x — itf -4- 6*]" (x — s) (x — Ç) ,

et il vient

Fx = (.Ix -4- fl) (x — e) (x — )

-4- {.l'x -4- fl') [(x a)* -4- 6*] (x s) (x — ') -4-

dont les deux membres devront cire rendus identiques, comme au N" 12D.

Prenons pour exemple , -- -, dont le dénoini-

Cll*rlTI\E VIII.

nulcur a pour racines — 2, l-4-j/^l, 1 — |/ — I, 1 -i- i

cl 1 — ^ — i. On a

Ax + D

A'x ■+■ lï

d'uù l’on lire, en rendant les deux membres identiques,

’ÏÔü’

Tôt)’

ir.

Toô’

Observons que si l’on peut décomposer les fractions rationnelles par plusieurs procédés, un doit cependant arriver au meme résultat, quelle que suit la marche suivie; ear si l’on avait

,1 n c A' ir c