cle. == ; H —H ; -4- CtC
comme le premier membre devient infini pour x = a, il faut que l’un des termes du second membre devienne aussi infini, ee qui exige que a', par exemple, soit égal à «. En multipliant ensuite les deux membres par X — a, il vient
etc. = .1' -4- B"-
-4- etc.
qui SC réduit, pour x = a, à /I = A', cl ainsi de suite.
13â. Intégration des fractions rationnelles. — Revenons à l’inlégratiun des dilférentielles algébriques et rationnelles. 11 est évident qu’après avoir effectué les décompositions indiquées dans les articles précédents, on n’aura plus qu’à intégrer des différentielles de la forme
Adx Adx [.4x-i-B)dx {Ax-t-B)dx X — a’ (x — «)'■’ (x — [(x — a)*-4-p*]'
La première intégrale se trouve iminédintcmciU; elle est A log (x — i). Pour obtenir la seconde, on fera
et il viendra
X — a = Æ, d’où dx = <iz,
Çdz A{x — «)-''+*
f Adx |l”*
La troisième s’obtient de même en faisant
X — t — z, dx= dz,
d’où
■(.1x -t- fl) t/x f Az-i-Aa-hli
f(.1x-t-fl)t/x fdz-4-.4a-4-fl , zdz dz
.^log(z* + ?*)-
arc tang ^ ^ log [ (x - a)» -H P*]
A'x -i- li X — a
H arc tang-
F.nlin la (|ualrièine intégrale peut être transformée de la manière suivante :
r /1x-»-fl f/lz-+-da-»-fl df 2zdz
dz
[A. + fl) (
jk A (z^ -4- ^ -4-
A (z* -4- 13»)-'^+' /la -4- fl C dz!
- itr dz'
Pour obtenir cette dernière intégrale, observons que
CIIAPmiE VIII.
mais cil intcgrant par parties, il vient
r -J*, h' r z’dz' 1
) (:'* IK“K {^- 2(r-^ (:'* + l)-^-'
et en subslitiiaiit dans la précédente, celle-ci devient
é dz^ i z' ‘ir — 5 r dz!
3 (:'* -f-iy "" 2 (r ^f) (;'* 1)’-' !)-■’
qui fait dépendre la première intégrale d’une autre toute seuililulile, mais ilans laquelle r est remplacé par r — 1. Le nombre r étant quelconque mais entier, peut être rem|ilacé sueecssivcmeiit par r — 1, r — 2, r — 3, etc., et il vient
f dz’ 1 z' 2r — ;i é dzf
3 (î'i -H “ ^11^2) (ï'i -V- 'fpî 2(r — 2) 3 (7* -a- 1)-* ’
r i/z' 1 z' 2r — 7 r dz'
3 (7*~71p» "" 2(r — 3) (r'* -i- 1)-^-= 2{r — Sjj ^
et comme r, nombre entier et positif, diminue d’une unité ii cliaqiic opération, on sera nécessairement conduit à l’intégrale | ^ qui
est connue et égale ti arc tang zf.
La tbéoric des fractions rationnelles conduit sans peine aux intégrales suivantes ;
J* dx i I C(a-f-x) f(2 — >tx)dx , C 3 rtî ii""2il (I — X ’ 3 i* - "°{7'-^“2)*’
134. fnti'(jratinn dea funclions algébriijiies irrationneUes. — Pour intégrer des fonctions algébriques qui renferment des radicaux, le
cAi.cn. ivrKf.itAi.. 2/1
moyen le jiliis sin>|ile con^islc ii les transformer en «l’aiitres (|iii soient Hébarrassées de ees radieanx et qni puissent par conséquent être intégrées par la méthode des fractions rationnelles. Ces transformations sont tmijmirs possibles, lorsque les quantités |dacées sous les radicaux
.. a l/jc* — fj i/^x‘ . , .
sont toutes monuincs; ainsi — — j «x devient rationnel en
c j/x* ex’
faisant x = 2", pourvu que l’on prenne pour « un nombre tel que l’on jiuisse extraire de z" la racine carrée, la racine cubique et la racine quatrième; on fera à cet cITcl n égal à 5.4 ou 12, cl la Iraiisforinée devient
az" —
fî'"!'' ez
a — àz’
Après avoir intégré par la méthode des fractions rationnelles, on remplae.era z par j/x.
Lorsque les radicaux affectent des polynômes, ces transfuriiiations ne sont plus possibles en général ; cependant on parvient encore à rendre rationnelle toute différentielle qui renferme une ou plusieurs
fois le radical p/.lx* -t- Dx -v- C. Pour le faire voir, nous distinguerons deux cas, celui on .1 est positif et celui où il est négatif. Kemarquons d’abord que puisque
j/3[x* -4- Ux -i- C => (/7t \/ X* H — X + -
f/c -t- Ux — dx* = j/d * / ^ -4- — a*,
il suffira de considérer les radicaux de la forme i/c -*- ùx -i- a* et
'c -i- bx — X*.
1'''' cas. Faisons
[/ c -¥■ ùx -4- X* = I -4- X ,
Z étant la nouvelle variable que l’on substitue à x. On tire de là, en élevant au carré.
bx -4- e = s* -t- 2xi, X =
d’où dx = 2-
