CHAPITRE viii

or la diirércnticllc proposée renfermera en général : 1” des termes

rationnels en x auxquels on substituera sa valeur rationnelle ■

2“ le radical |/x* -t- 6x -i- c que l’on remplacera par sa valeur

jî c Iz — z^ — c

qui est aussi rationnelle; et â° la dilTcrentielle dx qui sera remplacée

par 2-

bz ■

-dz, qui est rationnelle en La transformée sera

donc rationnelle, et après avoir intégré, on substituera à z sa valeur j/x* -H 6x -t- c — X.

Prenons pour exemple 2rf:

on trouve pour transfor-

|/x* 6x -+- r , ^ qui a pour intégrale

— log (b — 2z) = — log (b — 2 j/x* -t- bx c -i- 2x).

On trouve de même

i' |/x* + bx c

que l'on intégrera par la méthode des fractions rationnelles. 2' cas. Soient o et «' les deux racines de l’équation

x’ — bx — c = O,

et par conséquent supposons que l’on ait

Faisons

j/(x — o) (o' — x) = z(o' — x) ; d’où l’on tire, en élevant au carré et différenciant ensuite,

, dx i

2{a' — a)zdz

CAI.CIII. II^TÉGRAl.

'ÏTS

Si l’on remplace dans la différcnliellc proposée, x par — ’ 2 (a' — a)zdz

dx par-

■ ■ et j/r -t- — X* par sq valeur, savoir :

cette dilTérentiellc deviendra rationnelle en et après l'intégration il faudra remettre pour z sa valeur

C’est ainsi que l’on trouve • dx

i' 'idz

=2 arc lang:-(- C=2arctang

, , „ h i/ td -t- 4c

dans laquelle a = ^ et d

qui devient

On intégrera de cette manière la différentielle —

° O* — sin’x

algébrique et irrationnelle en remplaçant sinx par une variable z. On

trouve ainsi, en remplaçant a par sia t (ce qui suppose a plus petit

que Tunité)

r dx I sin*e — sin *x

®^sin(x — sin*(x — e)J

Ü ftlll ti

Quand a est plus grand que l’unité, on posera a=— — ^ et l’intégrale devient

sin

, f dx sin*

J1 — sin *6 sin *x coS'

£ COt X ^

arc cot ►- C.

e cos e

On trouve de la même manière, si a est plus grand que 6, dx — \ 6 -f- O sin X „

■ 6 sin X

- arc cos

a b sin x

clumiu- Mil.

Si nu conirnirr,

h csl

plus

grand r[iie a, il vient en remplaçant-

par sin£,

h 3 siii £ -t- siii X \^cosi(e — x)J ® V^eos’|(x — e)J

Knfin jioiir inlcgrcr ■

(Ix

, . — > ünnosL‘x = v — arc long t) I -I- a cos x + b siii X •' ° b

(’c qui traiisfonnc lu difTi'i'cntidlc dans la suivante