CHAPITRE I
Telle csl donc la valeur de la dilTércnticllc de Log x, qui subsiste quand x est négatif ainsi qu’on le reconnaît en reprenant les raisonncuients précédents. Ou le rcconnait encore en observant que si x est négatif, Log ( — x) sc transforme en
y = Log (— 1 • x) = Log X -f- Log (— 1 )
et comme Log ( — 1) est invariable, on voit que la difrérenlicllc de Log X est la meme que celle de Log ( — x).
La diiïérentiellc du logarithme d'une variable dépend du système dans lequel est pris ce logarithme, puisque Log (2, 71828 — ) chniige avec la base du système. S’il s’agit d’un logarithme vulgaire, on aura
t/ . Log X = Log (2,71 828) = 0,43429 •
Dans le système de logarithmes, qui a pour hase e, la diirércnticlle prend une forme très simple. Les logarithmes sc nomnicnt alors logarithmes Xépériens du nom de Néper, inventeur des logarithmes. Comme dans tout système, le logarithme de la base est égal à l’unité, on a, en employant la notation log pour représenter les logarithmes Népériens,
log c = 1 et tly ==■ a log x = — •
Si l’on avait
y = log(/x),
en remplaçant /x par une variable r, on aurait à dériver le système des deux équations
1/ = log Z, Z = /x
dans lequel y est une fonction de fonction. D’après le N° 8, il vient
tly^d(\oÿ >)dz^l f. f'x (Ix (Iz dx z' /x ’
c’est-à-dire, gue la dérivée du logarithme Xépérien d'une fonction est égale à la dérivée de cette fonction divisée par la jonction elle-même.
On emploie de préférence les logarithmes Népériens dans le calcul dilTércnticI et le calcul intégral, à cause de la simplicité de leur différentiellc; c’est pourquoi ce seront toujours ceux-ci que l’on désignera dans la suite, à inoiiis qu’on ne dise expressément le contraire.
CALCUL DIFFliHENTIEL. 'Ï1
U. üévi wîc de sin x. — Pussons à la rcclierdie ilc la dérivée de siii X. On a évidemment
sin (x -4- h) — sin x Ax h
qui SC transforme au moyen de la formule
sin a — sin b — ~ sin^(a — b) cos ^ (a 6),
dans la suivante
Al/ SsiujA Ax r A
Avant de passer à la limite de ce rapport, remarquons que l’are AB (fig. 4) que nous supposerons plus petit qu’un quart de cercle, est toujours compris, quant il sa longueur, entre le sinus l)C cl la tangente Al). En effet, en menant la corde AB, il est visible que l’aire du secteur OAB est comprise entre les aires des triangles OBA cl OL)A, ce qui donne lieu aux deux inégalités
OA.arcBA ^OA.AD OA . arc BA ^ OA.BC
ce qui vériCe la proposition , puisqu’on lire de ces inégalités ,
are BA < AD, arc BA > BC.
Il suit de là que, a étant cet arc de cercle, on a toujours
sin a tang a
sin a .... ,
OU bien, en remplaçant tang a parr — ^ct multipliant par cos a les deux membres de la seconde inégalité,
sin a , . sin a cos a
On voit que pour toute valeur de a, le rapport est compris
CIIM'IIRE I.
. COS a COS a . .
entre 1 et , et eoiiimc pour a = 0, devient l unile, il en
résulte que — est égal à 4 quand a s’évanouit.
Aty
Reprenons la valeur de-^. Si l’on passe à
1 limite, c’est-à-dire, si
l'on fait évanouir h, il résulte de ce qui précède que égal à l’unité, et on trouve
sin^h
ir
devient
dy cos X dx r
ou bien quand le rayon est égal à l’unité,
~ => cos X ,
c’est-à-dire que ta dérivée du sinus de x est égale au cosinus du même arc.
Si l’on fait usage des inriniment petits ou des dilTércntielles, cette équation peut être écrite sous la forme
dy = cos xdx ;
cos xdx est donc la différentielle de sin x.
15. Dérivée de x“. — Les dérivées des autres fonctions se déduisent sans peine des deux que nous venons de déterminer. Soit d’abord y = x“, m étant un nombre réel quelconque. Égalons les logarillimcs Népériens des deux membres ainsi que leurs dérivées (fin du N“ 12) en observant que y est fonction de x ; il vient
log »/ = mlogi.
1 du 1 „ , dy
- -^= m - »1 ou ~= mx”
y dx X dx
en remplaçant y par sa valeur x”.
On voit par là que la dérivée de x" s'obtient en diminuant l’exposant d’une unité et en multipliant par l'exposant.
Pour introduire les différentielles, on multiplie les deux membres par dx, ce qui donne
dy, c’est-à-dire, d ■ (x") = mx"‘ ‘ dx.
CALCUL DIFFÉREMICL.
La règle précédente suffit pour dériver toute fonction de la forme
— 1 — rr» ou ar’,
Par exemple, pour {/x, on trouve
dy «
Pour 1/ = [/Jx qu’on peut transformer en y = l/l, z = fx,
il vient
dy^dydz \ f’x
dx dzdx 2p/z 2|//ï’
c’est-à-dire, que la dérivée de la racine carrée d’une fonction est égale à la dérivée de cette fonction divisée par le double du radical.
16. Dérivée de la fonction espouentielle a*. — Proposons-nous de dériver la fonction exponentielle a‘ = y, dans laquelle a est une constante. En prenant les logarilltmcs des deux membres et dérivant, il vient
logy = xloga.
1 d>/ , dy , , ,
-^=logo, yloga =o*logu.
On tire aussi de là
dy , c’est-à-dire, d • a* = a^dx log a.
Pour y = a-, z = ft, on trouve de même
Èl
dx
dy dz
^-=«-/xloga =
cd'f'x log a.
On voit donc que la dérivée d'une constante élevée n une puissance fonction de x s’obtient en multipliant la fonction exponentielle par la dérivée de l’exposant et par le logarithme népérien de la constante.
fîiiAPirnB I.
Si a est égal à la base e des logarithmes né])ériens, la dérivée se sim|)lific, parce que log e est l’unité et il vient pour y = e' et y = e/*,
-f-=e* ou de‘ = e‘dx, tix
^ = e^' px ou d-ef‘ = e^'/’xdx.
17. Dérivées des fonctions trigonomélriques. — Revenons aux ronctions trigonométriques. Ou a déjà vu que la dérivée de sin x est cos X. Pour dériver cos x, remarquons que si l’on fait x égal à 1'* — s, il vient
y = cos(l'' — s) = sinr, ï = l‘' — x; et en dérivant le système de ces deux équations, on trouve
dg dy dz dz
dx dz dx * dx
qui devient, à cause de 2 =
X et
— cos (1 — ï) = — sin X , dx
c’est-à-dire, que la dérivée du cosinus d’un arc est égale au sinus précédé du signe moins.
sin X
Pour dériver tang x, on remplacera tang x par sa valeur et en
cos X
SC rappelant la forme de la dérivée d’une fraction, on trouve
sin X dy cos *x sin *x 1
dx
cos *x
On dérivera de même cot x en substituant 1'^ ■ vera pour dérivée
•2 à X et on trou-
sin’x
Des transformations du même genre feront connaitre les dérivées des autres lignes trigonométriques; ainsi pour sec x , on substituera
sa valeur — ^ — cl on trouvera pour dérivée eus X
sin X cos'*x
CALCUL DIFF^.RENTIEL.
Pour coscc X qui osl egnl u •- — > on trouve :
sin X sin*x
On désigne par arc sin x, l’arc de cercle dont le sinus est égal à x. Pour dériver celte fonction Irignnoinétrique inverse, remarquons qu’il résulte de sa délinition iiièinc , qu’en lu représentant par y, on doit avoir x = sin ij. Si on dérive les deux incnilircs , en remarquant que le second est une fonction de fonction de x, il vient
: cûs y
llx ’
d’où l’on tire
ily i 1 1
(/x cos y — sin*i/ j/1 — x‘
On trouve de même pour la dérivée de arc tang x,
y = aretangx, tangy = x, ~ -^=*.
<ly , 1 1
e= COS*V = = *
cix 1 laiig*y 1 -f- X*
Enfin les fondions
y = sin(/x), y == tang (/x), y = arc lang (/x),
conduisent aux dérivées suivantes , en se rappelant le théorème sur la dérivation d’une fonction de fonction ,
cos (/x) • fx,
dij fx dy fx dx cos * (fx) ' dx 1 -+- (fx)*
18. Dérivation des fonctions compliquées. — Ce qui précède siiflit pour dériver les fonctions explicites algébriques ou Iransccn-
danlcs compliquées. Ainsi, pour avoir la dérivée de \ -h 2x x* ,
on posera
z = l-h2x — X*, y==V^=zv,
dy dy dz 1 ^ . 2 1 — x
dx dz dx 3 '"l/Xl -I- 2x- X»)’
CIIAFITRE I.
On ti'onvcrn de même les dérivées .suivantes, en cITcettmnl les transriimialions indiquées :
y = log(x-r-(/ 1 -4-x*)=logz, ± = = :( 1-+- — =rr )=- .
■V = loK yX log
dx
y = iog
j/ 1 -+- X + f/l — X dy
dx
, du du du dudv du . dv
y =/x?*= J T"== T- + M" log U ^ •
' dx dudx dvdx dx ° dx
dy dz dz dx
a- log a . fc* log 6
log a log b a‘* 6’.
Si l’on avait
y = cos t, X = sin t,
la dérivée de y par rapport à x se trouverait en posant (N° 10)
'lï
dy dt — sin t dx dx cos t dt
tnng ( ‘
19. Dérivation des fonctions imaginaires. — Les fonctions que nous venons de dériver ne contenaient aucune trace d’imaginaires; et en effet, si elles avaient été imaginaires, des accroisscincnts ou des diminutions attribuées à de semblables Ibnclions n’auraient eu aucun sens intelligible. Cependant, quoiqu’on ne puisse pas plus se rendre compte d’un accroissement d’une quantité imaginaire que de la nature de la quantité imaginaire ellc-mcme, on est souvent conduit i'i généraliser les transformations effectuées sur des quantités réelles; ainsi si une fonction de x contient soit eu cociricieiil soit en exposant le symbole imaginaire f/ — 1 , on dérivera d’après toutes les règles préi-édcntcs, en considérant f/— 1 comme une quantité invariable. Les fonctions
: cos X -t- f/ — 1 sin X, y =- a'^ *
nALCUI. DIFFKRENTIEL.
donneront donc
— = — sinx-t-l/ — Icosx, *\oea.
dx dx '' ®
On aura de même quand i est négatif dans les fonctions
^=logx et y = j/x qui alors deviennent imaginaires,
et
dx X dx 2|/x
20. Dérivation des fonctions implicites. Équation dirix'ie. — Jusqu’ici on ne s’est occupé que de la dérivation de la fonetion explicite y = fx. Considérons maintenant l’équation implicite
dans laquelle la fonction y est liée à x par une équation non résolue et est dite implicite pour ce motif.
La valeur de la dérivée de la variable dépendante ou pourrait
quelquefois s’obtenir en résolvant cette équation par rapport à y et en dérivant ensuite d’après les règles précédentes; mais outre que cette résolution est souvent impossible, il importe encore de pouvoir trouver cette dérivée sans passer par celte opération préliminaire. Soit donc k raccroissement que fait prendre è y un accroissement h donné a X. Ces deux accroissements sont liés entre eux de telle manière que si l’on remplace x par x -+- A et y par y -F- k, l’équation doit encore être satisfaite, c’est-à-dire, que l’on doit avoir
Celle double substitution , au lieu d’être faite s mullanément, peut se faire successivement de celle manière : donnons aux x l’accroisseinenl h sans toucher aux y; la fonetion f{x, y) devient alors
/■/(x, y) représentant, comme au (N® 9), la dérivée de eeltc fonction prise par rapport à la lettre x considérée comme seule variable. Donnons ensuite dans ce résultat un accroissement k aux y sans toucher aux X. Le premier terme /"(x, y) devient
f{x, y) -F- kf,' {x, y -f- 07.-),
