t- (/Tl* H- b* sin y

dont rinlégration rentre dans l'une de celles dont on vient de s’occuper.

iô3. liiléyration îles tUfférenlielles binômes. — Les fonctions irrationnelles qui renfernienl des radicaux du second degré cl que nous venons de considérer, sont les seules qui peuvent s’intégrer d’une manière générale; ec[iendanl nous nous occuperons encore d’une classe assez nombreuse de fonctions irrationnelles que l'on rencontre fréquemincnl dans les applications du calcul intégral, et qu’on peut souvent, par des transforinations, débarrasser de ses radicaux, ou du moins ramener à une forme plus simple. La forme de ces diiïérenticllcs est la t <,

suivante : i"(a /)x")»(/x qui revient à x” j/ (o -+- 6x")''f/x et qui est connue sous le nom de dilférentielle binôme. Les exposants m cl « peuvent toujours être rendus entiers, car s’ils avaient la forme

x’"'(o -i- fcx"'j’(/x, en faisant X = I/"'"', on trouverait la transformée

(a by"'''ydy, dans laquelle les exposants qui rem-

placent — cl — sont des nombres entiers. On peut aussi faire en m U

sorte que n soit |)ositif; car s’il ne l’était pas cl qu’il fut remplacé par — n , on ferait subir à la diiférenticlle les Iransformalions suivantes :

X” (o -4- hxr

-ydx = X*’ ^0 -4- -

■dx

’ (b -l- ox") ’ dx.

CALCUL INTi^GRAL. 27j

L’exposant ;i est renilu, <lc cette manière, pusitif. 11 est vrai que l’exposant m — — devient, en général, fractionnaire; mais parla première transformation, c’est-à-dire, en rcmplarant x par t/», on pourra rendre cet exposant entier. Cela posé, proposons-nous de chercher les conditions sous lesquelles cette fonction peut être rendue rationnelle et est par conséquent intégrable. Faisons

on trouve, toutes réductions faites, en remplaçant x par sa valeur en i/.

x"(a 6x")’dx = — (l/’ — “) " fib

expression qui est évidemment rationnelle quels que soient les signes , , . m 1

de l/l et de II, SI est un nombre entier, positif ou neiialif; car

il n’y aura plus d’exposant fractionnaire et par eonséquent de radicaux. Les dilTérenticllcs suivantes :

»/ s. l/^ a bx"

y {a — dx , x* {/ « -+- bx’ dx, dx

sont donc susceptibles de transformations ipii les rendront rationnelles.

• . l/« -I- bx*

Par exemple, pour intégrer — — — dx, on fera

U -t- bx- = y*

et l'on trouvera, en substituant,

[/a -4- bx‘

dx

ipic l’on intégrera par la méthode des fractions rationnelles.

On trouve une autre condition d’intégrabilité, en remarquant que l'on a

X" (« -4- bx") ’ dx :

CHAPmiË VIII.

«t que d'après la cuiidilion irintégrabililé prècédciile, cette dernière

expression peut être rendue rationnelle si -

' est un nombre

entier positif ou négatif; ce qui aura heu si les fractions et-

réunies forment un nombre entier. On pourra donc rendre rationnelles les difTérenticllcs

X — bx’ dx, i/(a bx* j‘ dx, x* l^a 6x’ dx.

Par exemple, mettons la première sous la forme

: dx = x' [/ — b -i- «X '' dx,

puis faisons

on trouvera

b ■+■ ax~^ — 1/’ ;

XV a — bx^dx== — a — f — .

(y" -s- bj*

que l'on intégrera ensuite par les niétiiodcs connues.

136. Formules de réduction des différentielles binômes. — On peut

aussi faire dépendre l’intégration de i” (a 6x")’ dx de l’intégration d'une dilTérenticllc de même forme, mais dans laquelle l’exposant ni

ou l’exposant -est rendu plus petit. Les formules auxquelles nous

allons être conduits, sont connues pour ce motif sous. le nom de formules de réduction des différentielles binômes.

Proposons-nous d’abord de faire diminuer l’exposant m; pour cela intégrons par parties la dilTércnticIle biudme; en faisant

U = x"^"''’' et dv — x"“' (a ■+■ bx") ’ dx et en remarquant que

f iidv — Ml' — f vdii,

CALCUL I^TÉÜHAL.

il vient

fx“{a-^hx")i dx ou fx’' -'^'X'-'{a-^-bx’')'<dx=x—*'

nb

nb

(m — n -A- 1) i"“" dx ■■

(o + bx")’

y X"*”" (a -+- bx")’ (ix;

mais on a évidemment

J'x--'{a bx")’ dx — f x“~"(a -t- bx") (a bx")» i/x

= a fx"'-'{a ■+■ bx')^dx + b f x“(a -a- bx")’dx; réqiialion précédente devient done par la substitution ,

y X" (a -A- bx")’</x :

nb

(a -A- bx")»

O Ly J»- (a -H bx») » (ix —

nb^^ -4-1^ «(--A-1

d'où l'on lire enfin en réunissant les intégrales semblables

y'x“(a -A- bx')»(fx =-

(a -A- bx")’

y x“"" (a + bx")’ (ix (1)

CHAPlinE Mil.

Celte équalioii fait dépendre rintcgralion de i”* {a 4- 6x") » dx, de l’intégration d’une difrérentielle liinôinc senihlalile, mais dans laquelle l’exposant m est diminué de n. Si m étant positif, contenait plusieurs fois le nomlirc n, on pourrait faire diminuer encore l’exposant m — n d’un nombre n d’unités; en effet, cliangeons m en ni — n dans la formule (1), elle devient

y x"~" (a 4- lue'') 1 dx =

■bx”)^^'

■ J (o 4- bx’')i dx,

et en substituant, on trouve

y I" (a 4- 6x") ’’ dx =

blm+n^ 4- 1)

(a 4- bi')

(a 4- fix")*

•y’x'*-*" (a 4- ix") ' dx.

Il est évident que l'on pourra, de cette manière, diminuer l’exposant ni jusqu’à ce qu’il devienne plus petit que n.

Si rcxjiosant m éUiit négatif, l’équation (1) ne serait ]diis une formule de réduction, puisqu’elle fait dépendre l’inlégralion de la

- £ différentielle x““ (n /ix")’ dx, de l'iiilégration de x""“" (n -t- bx")’ dx

dans laquelle l’exposaiil négatif — iii devient — m — ;i ou — (m -t- «)

et SC trouve par conséipiciit augmenté nuinériquciiicnt de valeur. Dans

n’ II» — 7» 1

CALCUL l.'ITtl.llAL. 279

ce cas, si l’on tire de (1) la valeur de l’intégrale du second membre, il vient, en écrivant — m au lieu de m,

r J-XI- « (q (Ix — — (fl -t- bx') ’

/’ x-" (a -4- 6x") ’ dx,

ou bien, en faisant m -4- ii = ni' ou m = ni' — «,

f X”"' (a -4- bx")i dx^ — ; T- (a ■+■ tx")’

1 ^ y x‘ (a -4- fcx")'' dx (2)

dans laquelle l’exposant — ni' -4- « du second membre est numériquement plus petit que l’exposant — m' du premier membre.

Si ni' contenait plusieurs fois le nombre n, on pourrait, par un moven semblable à celui employé plus haut, faire diminuer de nouveau l’exposant d’une quantité « jusqu’à ce que cet exposant devienne numériquement inférieur à n.

On peut aussi réduire l’exposant- qui affecte le binôme a -4- 6x"; en effet, si l’on intègre par parties la différentielle binôme, en faisant

X" dx = dv et (a -4- ôx")’ = «,

il vient

— — P iiô ——1

/(a -4- bx’Y x"‘dx= r (a-4- bx'Y -/x"+"(tt-4-6x")» dx;

mais si dans la formule ^l) on change m en wi -4- n fl-c"

ciikPniiE VIII.

il vient

I , 3:"+' (a -4- bx’)i

J (a -4- bx’Y dx —

a wi -4- 1

y’x~ (a -4- 6x")’' dx;

l'équation précédente devient donc par la substitution,

f x“ (o + 6x")'' dx ■■

■ (a -4- bx'Y

/’x"' (n H-bx")* dx (5)

au moyen de laquelle, l'intégration de x" (o -4- 6x")’ dx est ramenée à l’intégration d’une différentielle toute semblable, mais dans laquelle

l’exposant - est diminué d’une unité.

En y changeant -en - — 1, l'intégrale de son second membre dépen-

dra d’une nouvelle intégrale dans laquelle l’exposant dubinéme a -hbx’

sera- — 2. On parviendra de cette manière à une dernière intégrale

dans laquelle l’exposant sera compris entre 0 et l’unité.

Si l’exposant- était négatif, la formule (3) devrait être motlifiéc;

car l’exposant — 1 serait numcriqiienient plus grand que — -•

Tirons en la valeur de l’intégrale du second membre et chan-

cAi.cn. iM^cnAi..