P , P .PP

gpons 1 on et pnr consouiienl-en — - -t- I, oii luirn

m — n - Il -+- 1

-y X" (o -4- /jx") ’ dx

dans laquclie l’exposant — - -4- 1 de l’intégrale du second membre

sera numériquement moindre que l’exposant — -du premier.

En changeant — - en — - -4- 1 dans la rormule précédente, on fera 7 7

encore baisser numériquement d’une unité l’exposant de la parenthèse que l’on réduira de cette manière jusqu’à ce qu’il soit compris entre 0 et — I.

Appliquons la formule (1) à l’intégration de — ou

X" (1 — X*) * dx, tn étant entier et positif.

On trouve en changeant successivement m en ni- — 2, m — i, in — 0 etc.

x"dx

x""' f/l X* tu — 1

^ x"~* dx

Jf/l-x*

■ x"~* dx

yi-— X* m — 5 (

■ a"”* dx

x"“* dx

vt — 4 J

et ainsi de suite. L'exposant m de x étant suecessivement diminué de 2, 4, 6 unités, il est évident que l’on finira par arriver à l’une

ou l’autre des deux intégrales ( — , i — . selon que m

Jf/l — x’ •'j/l — JC*

ôo

CIIAPITnF. VIII.

srra un nombrr iiiipair ou un nombre pair. Dans Je .second cas on Irouve par des subslilutions successives :

r x-tlx

J/fïr"

ar î H — : ^ are sin x -+-

(m— 2)(m— 4)(m— Ü)...2 ) «ï(m— 2)(m— 4)(wi— C)...2

Si m était impair, il viendrait

J __ r» ( wi — 2 (m— 2Hm — 41

^ (»i — 1)(m — .3) (m — li) 2|

(m — 2)(m — 4) (ni — 0) IJ

Ces deux formules servent à trouver les intégrales suivantes ; di

r dx

= arc siii x -i- C,

Vi-^- Vï

f x*rfx X /- 1