CHAPITRE VIII

du premier fa qui (icndra lieu de la coiislantc arliilraire C. Il est à remarquer que a ne peut être considère comme une seconde conslante arbitraire entrant dans l'expression de rinlcgralc, car si on développait en séries les fonctions ?'o, f"a.... ainsi que les binômes (i — a)’,

(x — a)’ la lettre a disparaîtrait de l’équation, comme il est facile

de s’en assurer.

138. On peut aussi déduire de la formule de Taylor une autre expression de l’intégrale J' Xdx, car on a

et si Ton fait h== — x, en remarquant que f(x — x) = fo se réduit à une conslante C, il viendra

il*y X* (l^y x’

Or, si on représente par y l’intégrale Xdx, on aura

dy d*y dX d^y d*X

dx ’ f/x’ dx dx^ dx*

et la valeur de l’intégrale en série devient

, , ^ ... dX X* d^-X X-

^ dx 1.2 dx* 1.2.3

Cette expression est duc à Jean Bernoully.

Si l’on avait remplacé h par a — x, la formule de Taylor aurait pris la forme

y ou y Xdx = C

dx

cl aurait donné l’intégrale développée suivant les puissances de x — a. Comme a est arbitraire on peut en disposer pour rendre la série convergente pour des valeurs de x comprises entre certaines limites.

La formule démontrée au (N” 43),

f'x = A -h S(fx) -H C(yx)* -H D[fxY -+- etc.

Fa -i — r- SX fa

1 f’aF"a

F'afa

etc.,

dans laquelle a csl une racine de yx==0 et x une variable quelconque, mais telle, que entre x et a il n’y ait pas de racine, fournit une autre expression de l’intcgrale en série. Si l’on fait égal à la dérivée F'x de la fonction Fx, celle-ci sera l’intégrale de fxdx et il viendra, en désignant par C une constante arbitraire,

/,xdx=C-L---(?x)>-=— (yx^-i-^

3 — ?'ay"'o

(çx)* — etc.

Il est bien entendu qu’avant de faire usage de cette formule, il est nécessaire de s’assurer de sa convergence.

139. Il est souvent plus expéditif, pour intégrer Xdx, de développer X en série suivant les puissances ascendantes de x, soit au moyen du binôme de Newton, soit par la division, soit de toute autre mahière, de multiplier ensuite tous les termes par dx et de les intégrer .

Par exemple, pour intégrer la différentielle

dx

— > on fera

yn

— X*’ -4- etc.

-t- etc. Wx H- c

etc.

On a de même

r e‘dx

-dx = logx -t- X -4-

, lit -h 1

etc.

6x")’ (ix

-4- ClC.

Ocltc dernière intégrale s’obtient en dévcloitpanl (o fcx")’.

ciiAPirnE VIII.

Suuveiil il sulfil de (lévelupper en série l’iiii des facteurs de -V; pre-

nous pour exemple — - ■■■■qui ii est pas iiitej;ralile sous

forme finie; faisons

elc.^,

et il vient

xdx