C .T*i/x lîi C x’(/x

l — : -H \ + ete. '

où chaque dilTércntielle du second membre est de la forme

x”dx |/ a‘ — X*

et peut être intégrée par les méthodes exposées plus haut.

Il est à remarquer que si le dévelop|iemcnt de A' suivant les puissances de X est convergent pour toutes les valeurs attribuées à cette variable, la série qui réprésentc l’intégrale J’Xdx sera aussi convergente, ainsi qu’on le verra au N" I Vü.

140. Construction géométrique d'une intégrale. — On peut aussi, à défaut de proeédé plus exact, construire géométriquement l'intégrale d’une diirércntiellc proposée, en déterminant graphiquement la courbe dont l'équation , si elle était connue , serait l’intégrale cherchée. Ce moyen n’est autre que celui qui a été employé au N" l:M jiour démontrer géométriquement l’existence de l'intégrale.

La connaissance de cette courbe, sans tenir lieu entièrement de l’intégrale, est cependant utile, parce qu’elle donne une idée assez exacte delà valcurdccctte intégrale pour les difTérentes valeurs de lu variable.

CIIAPITRK IX.

Délirminalion des coiislantes arbilraires. InlrBralos délitiies. — Signifieatinn aiialyliqiie d'une intégrale délinie. Conséquences de ecUe signiiicatiun. — Intégrales définies discontinues. — Applications. — Développement d’une fonelion suivant les eosinus des multiples de l'arc. — Intégrales déliiiies evprimées par des écries.

141. Détermination des constantes arbitraires. Intégrales définies. — Nous avons vu que pour compléter une intégrale, il fallait y ajouter une consluntc arbitraire. Tant que l’on ne considère une intégrale que comme étant la fonction qui jiar su différenciation reproduit la différentielle donnée, cette constante reste nécessairement indéterminée, puisqu’elle n’est soumise qu’à la seule condition de ne pas changer de valeurquand un fait croître ou diminuer la variable de la fonction. .Mais il n’en estpiusdeméinedans les applications du calcul intégral. Alors les conditions particulières de la question font ordinairement prendre à ces constantes des valeurs déterminées. Par c.xcmpic, on sait que la diffé-

renticllcdsd’unarcdecourbcplancs estdonnéc pardxy^/^ 4 -t-

ou Xdx; l’arc de courbe s lui-niéme, limité au point qui a pour abscisse x, est donc représenté par l’intégrale de Xdx, intégrale que nous désignerons par yx -4- C. Il est visible que jusqu’ici rien ne fixe le |)oint à partir duquel est mesuré cet arc. Lu seconde extrémité M (fig. 1) est seule déterminée par l’abscisse AP ou x. Aussi la longueur yx -+- rconlicnt-cllc une quantité C d’une valeur arbitraire.

citAriTnE IX.

Mais si l'on convient que les arcs seront coniplcs à partir d'un certain point fixe et detcrniiiié B, correspondant à x = AC = a, il est visible que l’arc, c’est-à-dire l’intégrale, devant commencer au point B, devra être nul pour x égal à a; on aura donc

yO -f- C = O , d’où C = fO,

fa étant ce que devient fX quand on y remplace x par a. L’intégrale, c’est-à-dire, la portion d’arc de courbe BM comprise entre les abscisses a et X, est doue fX — ^/o. Cette intégrale, dont le commencement se trouve ainsi fixé, se nomme intégrale indéfinie pour la distinguer de l'intégrale générale qui , à cause de l’indétermination de la constante arbitraire, présente une plus grande généralité. Si au lieu de prendre l’intégrale depuis une abscisse déterminée a jusqu’à une abscisse variable X, on prend pour limites deux abscisses déterminées a et b, l’intégrale devient — sa et se nomme intégrale définie; on la re- . . (-6 .

présente ainsi : i Adx, ou a cl 6 sont les limites de l’intégrale.

On peut obtenir la valeur d’une intégrale définie prise entre deux limites données, en remarquant que , puisque yx -t- C représente la valeur de l’intégrale depuis un point indéterminé jusqu’à l'abscisse x, il en résulte que yh -+- C et ya -i- C sont rcspcclivemcnl ces valeurs comptées depuis le même point in'déterminé jusqu’aux abscisses b et a, et par conséquent la différence (yb -s- C) — (^a C) = fb — ya est

l’intégrale prise entre les limites a et b ou 1 Adx. On voit qu’on ob-

• Ja

tient une intégrale définie en remplaçant successivement la variable par ses deux valeurs extrêmes dans l'intégrale générale et en prenant la différence des résultats.

142. Signification analgtigue d'une intégrale définie. Conséquences de cette signification. — Lu signification d’une intégrale générale a été suffisamment établie par la condition d'être la fonction reproduisant par la différenciation la différentielle proposée. Celte définition ne saurait s’appliquer aux intégrales définies, puisque celles-ci ont une valeur constante qui n’est plus susceptible de dérivation; mais il existe sur les intégrales définies un théorème important qui établit d’une manière générale leur signification analytique. Nous avons vu (N" 5), qu’en désignant par <px une certaine fonction de la va-

CALCiri. I.NTÉGIIAL.

riüblc I,

O (x h) — yx

est égal H la moyenne des valeurs par

lesquelles passe la dérivée y'i de »x quand on fait croître la variable d’une manière continue, ou par intervalles iiirinimeiil petits tlx, depuis une valeur quelconque x jusqu’à x /», c’est-à-dire, que l’on a, en désignant par n le nombre d’aceroissernenls dx contenus dans

h, on — 5 tlx

f{x-*-h) — ’ix <f'x -4- y' (x -f- tlx) -t- »' (x 2dx) (x h)

Si donc on remplace x par une valeur particulière a, x h par h, h .. .

et n par -r-i il vient

fh — va == j f'o -+- f ' (a -+- f/x) -♦- y'(a -t- ’îdx) -4- y'6 j dx,

dans laquelle le second membre représente la somme de toutes les valeurs jiar lesquelles passe la dilTércnticIlc ^’idx, tandis que la variable croit par intervalles égaux à dx, depuis x = a jusqu’à x = b. Le premier n’est autre chose que l’intégrale définie de f'xdx prise depuis a jusqu’à b. D’où il suit qu’i/ne intégrale définie représente la somme des valeurs par lesquelles passe la différentielle quand la variable croit d’une manière continue entre les deux limites de l’intégrale.

La formule du N“ 3 dont nous avons fait usage et par conséquent cette proposition, ne sont vraies que si la fonction y et sa dérivée y' restent finies et continues entre les limites a et 6 de la variable.

Ce qui précède donne lieu à plusieurs conséquences : f”, on vient de voir que

l y'xdx = yb — ya.

Si on change la lettre « en b et b en a, il vient l y'xdx == ya — yb,

d’où il résulte que

CIIAPITRi: IX.

2", il résiillc de In signiricnlion d’une inlcgrule définie que, si on divise l’intervalle b — a eompris entre ses limites, en plusieurs parties quelconques £, s', on a identiquement

.6 ,«-+-£ .0 -4- £ -V- £' Ji

f'j(lx—y fxdx f'xdx-\ — l fxdx,

Ju .ttl-£ Ja-V- £-!-£' h£‘*“"

puisque des deux côtés on ne fait que prendre la somme des valeurs de la difTércntielle entre les limites a et 6. 5“, si on désigne par n le nombre d’accroissements égaux à dx contenus dans 6 — a , on pourra b — a , rb

remplacer dx par dans l’expression de l fxdx, qui devient alors

./fa f{a -t- “)(.

dx) -t- f{a -t- 2(/.r)-"- fb\ «

et qui apprend qu’wne intégrale définie représente aussi le produit de la différence b — a des valeurs extrêmes de la variable, par la moijenne arithmétique des valeurs par lesquelles passe fx. Or si, eonune cela doit être, fx est continu entre les limites a et b, cette moyenne arithmétique correspond à une valeur de x comprise entre a et b, e’eslà-dire à o -t- 0 (6 — a), 0 étant compris entre 0 et l’unité ; on a donc,

l fxdx=^ (6 — n)f[n -4-0(6 — a)].

Ja

(•) Dps considératloiis rnipnintcps au calcul liilpgral l onduiscnt à une (Ipmnnstralion 1res simple de la série de Taylor. Intégrons par parties entre les limites 0 et h la diiïérentielle j"— *y'"* (r-4-A — z)rlz dons lai|uelle représente la dérivée nième de la fonction f. Il viendra

fl fl

t :• 4 -4- /, — z)dz= — II’ 4*x-4-(n — 1)1 ”(x -y- A — z)d:.

Jo J O

Si l'on continue ces intégrations par parties jusqu’à ce qu’on soit arrivé à la fonction 7, on trouve

l (x -4- A — z)dz — — A" * 4) J. — — t) A"' X

— (>i — I) (n — 2)...ô.2.l9x-4-(ii — 1) (n — 2)...3.2.ly(x-4- A),

CAIXL'I. I.MTKGBAI..

4°, si j'x reslo |)osiiir(laiis toute rétemluc île l’intégrale, celle-ci sera néeessaireinent positive et si, lursipie x change de signe, /'x change de signe sans changer de valeur, l’intcgralc sera la même au signe près, quand on la iircndra entre des limites positives ou entre les incincs limites négatives. !i", si f'x était |)ositif dc|)uis fa jiisqu’à fa. et négatif entre fa et fb, en supposant que la fonclioii change de signe en passant par zéro, il est évident que la diirérciitielle fxdx serait positive et négative dans ces mêmes intervalles, et que par con-

sequentl fxdx ne serait autre chose que la diiïérenec des valeurs

ahsolucs des intégrales prises entre ces mêmes limites, c’est-à-dire .a -b

l fxdx — \ fxdx.

145. Intétjrutes dé/inie.t discoiilinues. — Supposons enfin que la diiïércntielle dont on prend l'intégrale définie entre les limites a et b ou que l'intégrale même devienne infinie ou imaginaire pour une ou plusieurs valeurs de la variahlc comprises entre a et b; alors le théorème du .N° ,5 du calcul dilTércntiel, et par conséquent le théorème sur les intégrales définies que nous en avons déduit au .N“ 142, cessent d'être exacts et conduisent souvent à des résultats évidemment fautifs. Ainsi comme on a

f dx I

le théorème sur les intégrales définies donnerait

croù l’on tire

y (J- -t- /,) = yj -V- hfx -t- — y".r.... + (n __ 1 —

fjiii est la sérié de Taylor. Le reste de la série est ici rcprésriiié par une intégrale définie J innis on vient de voir que

le reste de la série est donc aii>isi représenté par h (OA)"-*

yM [3. ^ (I

CHAPITIIF. IX.

cc qui csl impossible, puisque élaiil luiijuurs positif, la suniiuc des

cléments diiïércntiels doit être une quantité positive. Celte erreur

évidente s’explique en remarquant que — devenant infini pour x égal

à zéro, compris entre -t- 4 et — 4 , il y a solution de continuité dans la différentielle cl par conséquent l’intégrale définie yft — ne représente plus nécessairement la somme des valeurs de la différentielle. Ces somincs s’obtiennent dans cc cas, en les divisant en trois parties prises, la première depuis la limite inférieure a de l'intégrale jusqu’à une valeur a — e peu différente de la valeur a qui rend la dérivée infinie, la seconde depuis a — e jusqu’à a e! un peu supérieure à a et la troisième, depuis a -i- e' jusqu'à la limite extrême 6

de l’intégrale, ce qui revient à prendre pour la somme S de fxtlx depuis a jusqu'à b,

^ f'xdx = ^ f'x(lx-\-'^ f'xdx -i- ^ fxdx.

Comme la première et la troisième somme sont continues dans toute leur étendue, on a pour leur valeur, en désignant par fx l’intégrale générale de fxdx, savoir :

dont la somme converge vers fb — fa lorsque e et e' convergent vers zéro. Quant au terme du milieu, si l’on fait converger e et e' vers zéro ou plutôt vers dx, il csl visible qu’à la limite, celle soinnic se réduira à deux cléments différentiels

tf{i — e) -+- S'f (a -4- e')

qu’il faudra ajouter à la somme des deux autres intégrales ou fh — fa, après y avoir fait converger £ et e* vers zéro cl la somme totale scr.i en général indéterminée, infinie ou finie, selon que tf{i — s) -+- E'/'(a -+- e') sera lui-mème indéterminé, infini ou fini à la limite. •Ainsi, pour avoir les sommes

* dx 4^’

dx

dx

sin-e — sin*x

tAixi'L i\ri!(;n\i.. 2‘J5

dont les deux premières sont discontinues pour x --:=0 et hi troisième pour x = e, on clierehcra les valeurs complémentaires suivantes :

sili'e — siii*(e — s) siii’e — sin*(e -a- e'J

Cette dernière valeur s’obtient en remarquant que quand s et e' s’évanouissent les deux fractions deviennent - dont la vraie valeur se

détermine par le procédé connu.

Comme la première valeur est inlinic et la seconde indéterminée, -f- 1 -♦- » t/x

les sommes ^ ^ et ^ —, > sont cllcs-nièincs l’iinc inlinic

et l’autre indéterminée. Quant à la troisième différentielle dont l’in-

!»jl) ie

on trouve pour vraie

)siii -Ir

tégralc indéfinie est log | îiüif.

\sin (x •

valeur de la sonnuc,

Si dans l’intégrale i f'xilx, f x était réel depuis la limite o jus- ' (1

qu’à * et restait imaginaire depuis a jusqu’à h, il est évident que la différentielle serait réelle dans la première partie et imaginaire dans la seconde, et que par conséquent les deux sommes ou intégrales seraient également réelles et imaginaires, du moins si les différentielles imaginaires ne changent pas de signes. EiiGn si la différentielle fxdx était continue depuis a jiisipi’à b et que pour x—b, fx devint infini, on prendrait pour la soniinc de fxdx depuis « jusqu’à b,

^ fxdx -t- ^ fxdx

r.iiApmiK i\.

el l’on fiTiiil converger i ven zéro on plutôt vers dx. La première somme convergera vers fh — fa et la seconde qui se réduit à un élément diirércuticl, sera la valeur limite de ef{b — '), laquelle se

présente sous la forme OXg=^et dont on cherchera la vraie

valeur par les méthodes connues. Quand fx est imaginaire à la limite b, le produit tf{b — 5) converge visiblement vers zéro et l’inté-

gralc l f'xdx se réduit à fb — fa.

Il est à remarquer (juc si dans une intégrale définie on remplace X par 9Z, on sera conduit à une diirérenticllc équivalente Fzdz et par suite à une intégi'ule équivalente f Fzdz dont les limites ne seront plus les mêmes que celles de l’intégrale primitive en x. Ou trouvera ces nouvelles limites eu déterminant les valeurs de : ipii rendent y; égal aux deux valeurs extrêmes de x, c’est-à-dire, en résolvant les deux éijuations

dans lesquelles a cl b sont les deux limites de l’intégrale primitive.

m. Applications. — D’après ce qu’on a vu (N“ 141), la recherche d'une intégrale définie, si la différentielle est continue, ne présente aucune difficulté lorsqu’on conuait son intégrale générale; car il suffit de substituer successivement à la variable, les deux limites dans l’intégrale générale et de |)rcndrc la différence des résultats. Les intégrales connues (.N’“* 124 et 1.3!t)

fx^dx =— -r- C, fa dx — —

m ri' b log U

i' dx I X

\ = -arc laug - -r-

Ç dx .X . .

l — • - 7-;^= arc sin H- f., / X SI

r sin xdx — x cos x -t- sin x -4- <•’,

f dx (I -4- i/o* -4- 6x — a*

\ -= — 2 arc tang - — C,

'l/a- -4- bx — x^ ■*

CALCUL INThClUL.

\ f ’ -4- X -4 X’ H X" H- X'-' ftl'..

,. , 1 sin(w-4-«)x I sin (» — q)x

/ cos tiX cos f/x(/x = 1 ' ' 4- (.,

• ' ' '■2 ji -f- Il 2 P — Il

l> — ij

conduisent donc niix intcigralcs definies suivantes, jiourvu que dans la première, m -+- 1 ne soit pas negalir cl que u soit supérieur à riinit»; dans la troisième,

\ x"*f/x= r» \ a~*'(/x=-7- 1 k a'^'(/x=-Ti >

Jq m-f-l J f O Jog rt Jq ologo

M' f/x * f/x r dx 77

î X siii xdx = TT, f X siii xf/x = ifr,

Jo - — ff

C ^ dx 15 f.'i f* dx

•Ol/I— X* L j/a* -4- èx-x'-

« et a étant les deux racines de x* — hx — rJ — O.

î cos px cos qxdx = - Jo X

1 sin (;) q)~ 1 sin {p — ij) ir

Si le coeflicient q converge vers p, le second terme converge vers-

et à la limite il vient

j cos*;,X4/x = --^-*--.

Quand 2p est un nombre entier, cette équation se réduit à

^ cos’pxrfx = ^*