CHAPITRE IX
En cliangc.'int cos*;)x en I — sin*y)x, on trouve aussi, 'ip éliinl entier,
l sin’wxi/x = -^ et par consLMiuciil l sin’xrfx )o - -O
et comme sin*x passe par les mêmes valeurs entre x = 0, x = ?r et entre x = n, x = 2^, on a aussi
\ sin*x(/x = r-.
Enfin SX P ci q sont des nombres entiers im'gaux, l’intégrale est visiblement nulle.
Les intégrales de la fin du 136 donnent de même, si m est pair,
r* x-dx 1.3.o.7.<l (m — 1)
et si m est impair,
Joj7ï^ J~'3.!i.7.1) ...m
Ces deux dernières conduisent à une expression remarquable de n- due au géomètre anglais Wallis. Si dans la première on prend pour m un nombre pair inlininient grand et dans l'autre le nombre impair eonsceutif, les exposants tous deux infinis et ne dilTérant que d'une unité, seront égaux à la limite ainsi que les deux intégrales définies, et l’on aura
(*) Cetli’ forimilc se démoniro d’une manière plus rigmireuse en olisersant i|uc
eominc X est Imijoiirs eonipris entre zéro et I unité, la dilTerenlielle
J*" rfj* a”*itr .r"»+îrf.r
= x- — ■ rnsU* comprise entre — — et — =rrx ■ — |i en
est donc de même des sommes ou intéar.sles; or si m est un noinlii’e impair, il en
CALCUL INTL!gHAL.
lin rciiiarqunnt que ^ est nul pour c = 0 et pour î = x
quand P est un nombre positif supérieur à l'unité, les intégrales successives trouvées au N" lôô deviennent :
dz 2« — ô C dz
f” dz 2« — bf* dz
r* dz 1 r* c/z îr
pourvu que ti soit un nombre entier. Il résulte de h'i que
r* dz Z 1.3. b. 7 2h — 5
Proposons-nous encore de trouver l’intégrale définie suivante ;
I*” dx
m et n étant deux nombres entiers et positifs, le premier plus petit (|uc le second, ce qui fait que — ^ ^ reste fini et nul pour x = x .
(2i'-»-l)rj/— 1
Comme les racines de — 1 sont e “ , en donnant
à 1 toutes les valeurs entières depuis 0 jusqu’à n — 1, il est visible
sera de même de wi-a-2 et en représentant par .V l’iiuégrale correspondant à i«, celle qui répond à m-t-2 est visiblement X ^ ^ ^ qui converge vers X quand m eimvcrgc vers l'inlini; ces deux intégrales tendent donc vers une même valeur qui
, fl d.T
est par conséquent celle de I intégrale intermediaire l — - •
CIIAPI1RE IX.
que si l’on désigne ptir e'”, e'*’, e'°' les valeurs successives
de c " , la fraction rationnelle
peut être décomposée en fractions simples de la manière suivante (N° 129; attendu que m < n,
+ l (gl5q~-« + l fj(SAm-n + l
et par conséquent on a, en changeant y en x’,
rx’"(/x 1 U («'*’)"“"+* dx f (e'*')"~"+Mx f (Ix j
jx*"-i-l w X* — e"’ ) X* — e'” "*” ) i’ — eii»-o |
Mais on sait que
{ dx 1 ar „
1 = - arc tang - C
et, en changeant a* en — e'" on bien a en ^/ — 1 e* ,
Ç dx -+- 1/
1/— I Xl/^
arc tang— H
11) jCII
Si donc on prend l’intégrale définie entre les limites -i- « et — x ,
ce qui est permis puisque e<" étant imaginaire, — — î ne de-
vient infini pour aucune valeur réelle attribuée à x, il viendra
dx 2 1/ — 1 g
arccot
2/ — 1 7Zl/-\
-arccotO= — r— — ’
et par conséquent r* X*’
X*" dx r y' — 1 J (e'*’) (*’*’) ^ )
CALCUL IJITÉUIIAL.
qui, fl cause des valeurs connues suivanlcs :
(e'")" = e’"^ * = — I, («<»>)" — 1,ctc.,
prend la forme
x*“dx jr/ITTt -â^3frl/in
f X*"* dx TT y — I 3 acX*”-4-l~ n
ou bien
"'dx aTry'—l 3oîrV/-
i ^ ^SaTT^/rr
(2n— l)aîrj/— I |
dans laquelle — ^ remplacé par a. Le polynôme compris entre les parenthèses fonne une progression géométrique dont la somme est
(2« -f- 1 ) «TT l/— I «:rj/— I (2m -I- 1 ) s J/ — 1
2o;rl/“ . 2offl/iri
— t ^ — I j/ — I sill 07
ce qui réduit la valeur de l’intégrale &
x*" dx
n sm- 7
CIIAPITHE l\.
Cuinnic la dilTércnticIlc conserve le incinc signe quand on cliaiige celui de x, l’inlégrale depuis — oo jusqu’à zdro a la niénic valeur que depuis zéro jusqu’à -t- ac ; on a donc aussi
2/1 sin 77
On en déduit, en faisant x*" = s et o :
2in -+- 1
dans laquelle o est quelconque mais eotnpris entre O et 1, puisque h est plus grand que m.
En remplaçant i par t/f, on est aussi conduit à l’intégrale déüuic suivante :
P sin ar
et cil posant pa = r/ ,
dans laquelle- ou a ne peut pas dépasser l’unité positive.
145. Développement d'une fonction suivant les cosinus des arcs inutliples. — Une des intégrales définies précédentes eonduit d’une manière fort simple an développement d’une fonction fX, suivant les cosinus des arcs multiples de la variable; car si l’on pose
yx = - a b cos X c cos 2x -t- d cos 3x -+- h cos nx -h
et qu’on multiplie les deux membres par cos ni (ix, n étant un
CALCUL IMÊCRAL.
nombre entier ijucleomiiie, on trouve, en intégrant les deux membres depuis zéro jusqu'à ir et remarquant que, il'après ce qui précède, les intégrales de cos nxdx, cosx cosnxdx, cos 2x cosnxrfx, etc. sont
nullcs, tandis que l’intégrale de cos* nxdx est- pour toute valeur de
jt
n autre que zéro, savoir :
yx eos ILZ dx.
.Si l’on fait sueccssivcmcnt n égal à 1, 2, 3, 4 , il vient
)yxcos«xdx = ^/» d’où /t = -f 0 ^
«=-l yxdx, b = -k yxcosxdx, c = -l sxcos2x(/x,
’*Jo ''Jq
d = - 1 yx eos 3idx etc.
qui déterminent les coelTicients a, b, c, d.... au moyen d’intégrales délinies. Une marche semblable conduira au développement de yx suivant les sinus des multiples de x. Avant de luire usage de cette série, il est nécessaire de s’assurer de sa convergence. En remplaeani yx par X, il vient :
dont le second membre est convergent. En dérivant on trouve cetU! série convergente remarquable
sm ox siu 5x sin 7x ir
sin X H = 1 n ' = — ■ de. = -
Cette dérivation ne pourrait pas être ré|)étée, parce que la dérivée
1 si» «-c ... . , . .
lie — - — ou eos nx est indéterminée quand n est intini, tandis que
, , . . , , sin nx , . ,,
la (Jerivcc de : — était nulle.
CIIAI’ITIIK l\.
Pour ’^x = 6“', il vient
1 — er^ 1 -A- c" 1 — e~* 1 c ~
; tr’ == : — H - ; r-i;tis x ■+■ :-cos 2x -t- — ; — eos ox
2>-v I cos 4x -+- etc.
14C. Intégrales définies exprimées par des séries. — Nous verrous dans la seconde partie du calcul intégral, comment on parvient à trouver les intégrales déCnics de certaines différentielles dont on ne coiinait pas les intégrales générales; mais le nombre des fonctions auxquelles ces procédés sont applicables est fort borné et il faut le plus souvent avoir recours à des- méthodes d’approximation. Le théorème du (N° 142) en fournit une fort simple. Divisons en n par-
tics égales l'intervalle b — o des deux limites de l’intégrale 1 fxdx;
en représentant par i chaque division, on aura rigoureusement, quand n atteindra la limite des valeurs croissantes ou quand i atteindra la limite des valeurs décroissantes,
l fxdx ==^fu f{a + i] f[a 2») -t- f{a ôi) -t- f{b — i) j i ;
mais comme on doit se borner à prendre i suflisammcnl petit, cette somme ne sera j>liis qu’une valeur approchée de l’intégrale déGnic. On trouve, de cette manière, en faisant n = lü,
IfH 1/ lîiA
lUÜ lUU
l^üï 10
lüu
l^'^'TülO l’^ÏÔÏÔ l>^10')0 1>Ï8I0
Les différents moyens employés pour trouver une intégrale indéfinie développée en série, peuvent aussi servir à trouver la valeur approchée d’une intégrale déGnic; ainsi, de ce que la formule de Maclaurin donne
yx = (x — a)<f'a -*■ -/'n + etc.,
CALCUL IMT^UHAL.
il résulte que l’on a, en remplaçant fx par y fxdx cl par conséquent •»'x par fx, cl <fu qui reste indéterminé par une constante C,
f fxdx = C -+- (i — a) /il f"a -t- de.
On a donc aussi
\ fxdx={tt-m)fa i— — i Lf'n
Jtn 1.^
TiTs /^“-^cic.
dans laquelle on peut disposer de a pour rendre la série convergente. La série de Jean Bernoully donne aussi
Enfin, de la formule (N° 138)
fyxdx = C — y*x — - -l- etc.
dans laquelle a est une racine de l’équation y(x) = 0, on lire »
\ fxdx = 5-7- (?‘« — y’»») — = tt: (?’" — '/»') ^ «'■‘c- .
pourvu que a soit la seule racine de yx := 0 comprise entre tu et n. Si m est égal à a, il vient
\ siox = - — 7- — ■•=-rr”î'’«
Il est souvent plus expéditif de développer directemciil fx en série suivant les puissances ascendantes de x, de multiplier ensuite la série par dx et d’intégrer clinque terme entre les limites fixées. On trouve
ciiAPnnE IX.
iiinsi, en suppoiniiit que le dcvclu|ipcnicnt de fx soit o + 6x -h f x* -+- ci’ -H etc., savoir
fx(lx = a(ti — ni) - («* — - (n’ — ni’) -(»»* — ni*) -t- etc.
Remarquons que si le dcvcloppcmenl de fx est convergent pour toutes les valeurs de x comprises entre m et n, 1a série qui fonne l'intégrale sera aussi convergente, puisqu’une moyenne arithmétique entre plusieurs séries convergentes est évidemment une série convergente, et qu’une intégrale définie n’est autre chose qu’une moyenne arithmétique (N° 142).
CHAPITRK X.
QuiKirnlurr des siirfaers planes. — Signilîcutinii d'iine intégrale dérinir. — Qiindrature des courbes polaires. — Kretifiralion des courbes planes. — nectiOcation des courbes gauches. — Kectifieation des courbes polaires. — Cubature des solides de révolution. — Quadrature des surfaces de révolution. — Problèmes divers.
147. Quadrature des surfaces planes. — Le calcul intégral apprend à remonter d’une dilTércntielle donnée à sa fonction primitive. Il résulte de là que lorsqu’une quantité est connue par sa différentielle, la rcchcrclic de la valeur même de cette quantité n'csl plus qu’un problème de calcul intégral; ainsi la détermination de l’aire d’une courbe ou d’une portion de son arc, et la détermination de la surface ou du volume d’un corps terminé par une surface courbe, sera ramenée à une intégration, dès que l’on aura trouvé l’expression de la différentielle de l’aire ou de l’arc de celte courbe et de la surface ou du volume de ce corps. Proposons-nous donc de trouver ces différentielles.
Soit y = fx l’équation d’une courbe BC (fig. 50) rapportée à des axes rectangulaires, et u l’aire comprise entre la courbe BM, l’axe desX, l’ordonnée variable MP correspondant à l’abscisse x et une ordonnée quelconque fixe BE. m augmentant et diminuant avec l’abscisse AP ou I, est nécessairement une fonction de cette variable. En donnant à X un accroissement PP'=A = Ax, u prend un accroissement A« = M.M'PP', cl si on construit un rectangle QQ'P'P équivalent à MM'P'P, il est visible que QQ' devra couper la courbe en M" placé
CIUPITRK X.
entre les points ^1 et M', puisqu’il doit y avoir compensation entre les surfaces extérieures et intérieures QM"M et Q'M"M'; PP" est donc une fraction de PP' ou h, représentée par Qh, et l'ordonnée F'M" sera exprimée ]>ar f(x + O/i) et par conséquent on a pour toute valeur de h,
Ml = ^xf[x -s- Cl/l), ou ■ fi^ ^/')i
6 étant compris entre zéro et I, et il vient à la limite, en observant que, puisque 0 reste compris entre O cl I , O/i s’évanouit avec k,
^==/x = y, d’où ilu=yilx cl u — f ydx C = f fxdx -!■ C.
Telle est l’expression de l’aire comprise entre une courbe, l’axe des X et deux ordonnées dont l’une correspond Jt une abscisse variable x et l’autre, à une abscisse fixe mais indéterminée. On y serait arrivé iminédiatciucnl jiar la considération des inriniment petits en remarquant que si PP'=da-, la surface PP'.M'M sera raccroissemenl ou la différentielle du de « ; cl comme PP'.M'.M ne diffère pas sensiblement du rectangle PP'XM dont l’aire est ydx, on aura, comme précédemment,
du — ydx cl u—f ydx -t- C.
Celte valeur de M est indéterminée puisqu’elle renferme une constante arbitraire C. Elle ne sera déterminée que lorsqu’on aura fixé le commencement de l’intégrale, c’est-à-dire, la limite de la surface opposée à MP. Si l’aire h s’étend depuis l’ordonnée fixe DE jusqu’à MP, en représentant l’abscisse AE par a, on voit que jiour x — a, on doit avoir u — 0; eu représentant donc par ox l’intégrale f (xdx, on aura
ü = yn -4- C (l 'où K = ydx — yn = »x — yn ,
pour rcx[>ression de l’aire comptée depuis l’abscisse .\E = a jusqu’à une abscisse quelconque .\E = x. Si l’aire devait cire prise entre les deux ordonnées fixes DE et FG correspondant aux abscisses AE = o et AG = 6, il suffirait de faire x = t cl il viendrait
CALCUI. INTtcnAI..
On appelle quadrature l'opération par laquelle un détermine l'aire d'une courbe, parce que l'un eberchait autrefois le carré équivalent. Toute intégrale de la forme /'/rdx pouvant être considérée comme devant servir à la <|uadraturc d'une certaine courbe ayant pour équation on dit qu'un problème est ramené à une quadrature,
lorsque lu solution nu dépend plus que d'une semblable intégration. Si les axes au lieu d'être rectangulaires, étaient obliques, il est visible que l'aire du parallélogramme l’P'QQ' serait hf(x -v- O/i) sin a, a étant l’angle des axes et l'un trouverait
U = sin a l fx dx.
148. Signilication d'une intégrale définie. — L'expression précédente de l’aire d'une portion do courbe comprise entre deux ordonnées peut servir à démontrer géométriquement le théorème du .N° 142 sur lu valeur d’une intégrale définie; en effet, l’intégrale J' fxdx, quelle que soit la quantité qu’elle est destinée à représenter, peutétre considérée comme exprimant l’aire d’une portion de la courbe
qui a pour équation y — fx, et l'intégrale délinic l fxdx est l’aire de
Ja
la courbe comprise entre les ordonnées correspondantes aux abscisses X = a et X = 6. Si donc DF (fig. 31) est cette courbe, et si AG = 6 et AE = O, l'intégrale déHnie sera Faire DEGF ; or en divisant EG en un nombre infini de parties infiniment petites Eu, ab, bc... représentant les valeurs successives de dx, et en élevant les ordonnées ao', 66', cc', etc., les rectangles DEan', abb'a', bcc’b' etc., dont les aires sont données |iar le produit de chaque ordonnée par dx, représenteront toutes les valeurs que peut prendre la différentielle fxdx entre les limites x— a, et x = 6; comme la surface EGFD est la somme de tous ces rectangles, si la courbe est continue entre ces limites, l’intcgrale définie es! aussi la somme de toutes les valeurs que prend la différentielle entre les limites de l'intégrale.
Il est à remarquer qu’il résulte du N° 142 que l’intégrale et par conséquent Faire UEGF est aussi représentée par le produit de EG par line moyenne entre toutes les ordonnées équidistantes DE, aa', 66',
cc' GF. On voit aussi que si entre les limites x=o = .AE et
X = 6 = AG (fig. 32) 1a courbe passait au-dessous de l’axe des X ,
CIIAriTRE X.
coiimiu les ordunnées ou /x devicndroienl iicgali\cs, l fxdx seruit la
Ja
différence des aires UBE et GBF, ainsi qu’on l'a vu au N° 142. Pour avoir chacune de ces aires, il faudrait chercher l’x du point B ou AB et prendre successivement l’intégrale entre les limites AE et AB puis AB et AG.
Appliquons la formule des quadratures à quelques courbes.
1° Pour la parabole dont l'équation est
I/* == 2pi,
on trouve
M = l yi{x = \ J/ 2 px (/x = (/ 2/j l X* dx = ; |/2p(6* — o’). Jo Ju Ja ^
Si l’aire se compte & partir du sommet, a est nul et il vient, en remplaçant b par X,
H =- l/2l<x* =::|/ 2nx x=-xy.
2" Pour l’ellipse dont l’équation est
il vient
r* dx ■■
1».+. a, csin-! C
Si on compte cette aire à partir de l’axe des Y, x et o doivent être nuis en même temps et l’on a
En faisant x
1/ a* — X* -+- (1* arc siu -) = -xit h — ab are sin - •
= n, ou a pour l’aire du quart de 1 ellipse,
ab
CALCUL IXTÙURAL.
ÔO'J
3° Pour l’hyperbole ëquilutèrc, rapportée à ses asymptotes, dont l'équation est xy = a*, il vient
r dx
« = y ydx = a* V — = a* log x V..
Si on compte Faire à partir de l'ordonnée du sommet de la courbe, pour lequel l’x est o, on trouve
En faisant a égal à l'unité, u devient égal à log x, ce qui apprend que dans celle hyperbole équilalère, la porlion de l’aire comprise enlre la courbe el l’asymptote représente le logarithme népérien de l'abscisse. C'est pour ce inutif que ces logarithmes ont été aussi nommés logarithmes hyperboliques. En considérant une bypcrbolc quelconque au lieu de l’hyperbole éqiiilatèrc, et en la rapportant à ses asymptotes qui formeront un système d’axes obliques, ou trouve que la propriété précédente subsiste encore, mais les logarithmes ne sont plus pris dans le système népérien; la valeur de la base dépend de l’angle formé par les deux asymptotes.
4” Pour trouver Faire d’une porlion de la cycloïde qui a pour équation différentielle
y/'2ay — ,f
transportons, pour faciliter l’intégration, l'origine des euordunuées de A en E {fig. 9), en prenant EK. et EF pour axes des X' et Y'. On fera pour cela
X = -A- x', y =‘ia — y'
et l’équation de la courbe deviendra
± yüatf’
En observant que pour l’are EA',
dx'
est positif et que par coiiséipieiil
CIIAPITHE X.
il fuut prendre le signe plus, l’aire K.\'L eomprise entre la courbe et l’axe (les X' est
('2 a — ij‘) y' di,' i/2ay' — y*
fi/2ay’-y'Uly'
y-l/2uy^-
— arc siii ^
Si l’on prend l’intégrale depuis t/' = 0 juscpi’à y = A'K=:2a, un
aura pour l’aire EA'K. On sait (pic l'A — -a cl par conséqucnl
l'aire du rectangle EFA'K est doninic par 7ui.2a ou 2-(t*. En rctran-
eliant l'aire EA'K exprinnie purw — > il rcstc-ro* pour l’aire de lu
dcnii-cyeloïde EE'A'; l’aire de la cyeloïde est donc (igale à trois lois l'aire du cercle giincraleur.
5" E’hypocvcloïde du N" liîJ et (]ui a pour (-quation
donne pour le ipiarl de su surface u, en rcinplu(;ant x pur Iz^ et en faisant usage de l'inti'grale diilinie trüuv(3e au N" l-H,
' z^dz
z^'dz
■’ül/l
0“ La cliuinette, lorsipi’nn la rapporte à un axe des Y vertical passant par le point le plus bas et à un axe horizontal des X placé ù une distance « au-dessous de ce point, a pour éipiation
(.Mcri. INTKI'.nAI..
■'Il
r( fn complanl Tnirc ti à partir de l’a\c des Y, nn Iroiivr
Si l'on remplace e“ par sa valeur tirée de l’éqiiatioii de la courbe mise sous la forme
il vient
Il — a 1/'^ — a’.
Enfui pour avoir l'uire comprise cotre deux courbes MM', .Y.\' et deux ordounces MP, M'F (lig. 33), il suffit évidemment de déterminer par la méthode précédente, les aires MM'FP et .NX'P'P, et d’en prendre la différence; mais on peut quelquefois arriver à l'expression clierchée d’une manière plus facile, en observant que, si Y = /x et ÿ = ®x sont les équations des deux courbes MM' et NX', Yi/s et ydx seront les aires des rectangles élémentaires mm'p'p et uii'p’p, et par conséquent (Y' — y)dx est faire de la iranebe mm'ii'ii, et comme la surface MM'N'N SC compose <le la somme des Iranches leiles que mm'n'n^ on aura
Il = ^ (Y — ij) Jx {fx — »x) ilx.
L’aire comprise entre quatre courbes MM', NX', MX et M'X' (fig. 34) s'obtiendrait en déterminant successivement les aires MM'P'P, M'X'Q'P', X.N't/Q et MXPQ, et en observant que
