MM'X'X = MM'P'P I- M'X'Q'P’ — XX'Q'Q — MXPQ

I4‘J. Quadrature des courbes polaires. — Si l’équation de la courbe était donnée en coordonnées imlaircs et qu’on voulût connaître faire comprise entre deux rayons vecteurs OA et OM cl l’arc AM (fig. Î6) de celte courbe, la formule pour la quadrature s’obtiendrait par une marche analogue à celle que l’on a employée pour le cas des coordonnées rcetangnlaircs. Nous nous bornerons à ebereher la formule de

CIIAPlinF.

ôh>

lu quadrature, eu employant la considération des inGiiiment petits. En désignant par u l’aire AOM, si ou donne à l’angle AOM ou t un accroissement MOM' ou dl, en observant que le secteur MOM' ou du étant infiniment petit, le secteur MOM' peut être considéré comme circulaire et sa surface a pour expression

du =ioM. arc MM' =- r*dt, d’où u f r’dl C.

En appliquant cette formule à la quadrature de la spirale d’Archimède qui a pour équation r = nt, un trouve

u = -fnU*dt= — + C,

et en prenant la surface depuis l’angle t' jusqu’à l’angle f", u - 1'>).

Pour la spirale logarithmique dont l’équation est r^aa"', il vient

u =— f d.*a^’"'dl = - — a}f a*"' 2mdl — — 1- C

2' 4m 4m Ing a

4m log a

150. Rectification des courbes planes. — On a vu (N» 59) que la différentielle d’un arc de courbe est donnée par l’équation

ds ~ [/ Ux'‘ -I- (/(/- = f/x 1 ;

on tire de là

Telle est la formule pour la rectification des courbes planes rapportées à des axes rectangulaires. Pour l’appliquer à des exemples, il suffit de du

remplacer^ par sa valeur en x tirée de l’équation de la courbe et d’effectuer l’inlégralinn indiquée.

CAI.Cl'L INTEI.I1AL.

1” Considérons d’aliord le cercle qui a pour équaliun x* »/* — r-. Il vient

I r arc siii — h C, r

ci SI l’on prend Tintcgrale entre les limites x = o cl x— />,

s = r arc sin r arc sin--

Pour la parabole, on trouve

tlx y'

= -fdy i/p* + !/’== /p* -+- y’ -+- P* Jog (y /p* y*)] -+■ .

ou l)ien, en prenant la eourbe depuis le sommet jusqu’à l’ordonnée y,

» = ~ (y i/p* P* log — .

3" L’ellipse donne

dy bx i , , .

dx ai/a‘-x* ' V «‘-a‘x‘

en remplaçant ^ — par e*. L'intégrale de celte dilTérenticIlc n'est

ciiAPirnE

pas exprimable en qiianlilés algébriques, trigunomélriques ou logarithmiques; mais on en trouve une valeur approchée en remplaçant

le radical

par la série

1 — — c’-ï :«*— r — de-

qui est toujours convergente, parce que e et — sont des fractions. On trouve ainsi

dont chaque terme est intégrable (N“ lôG).

4“ Pour la evcloïde, il vient

Si l’intégrale se prend depuis y = 0 jusqu’à y = 2a, c’est-à-dire, dans toute l’étendue de la demi evcloïde, on trouve s = 4a et par conséquent la evcloïde entière est égale à 8a ou à quatre diamètres du cercle générateur.

5° Pour l’iiypocj cloïdc traitée plus haut et qui a pour équation

on trouve

CALCUL IMÉr.RAL.

6“ Dans lu chaiiicUc dont oti s’est déjà occupé (N“ 148, C“), on trouve ,

<lx

On lire de l’équation de la chainette, comme au N“ 148, tî*’.

et CCS valeurs, sulislituécs dans l’expression de l’arc s, lui font prendre cette forme

11 résulte de celte valeur, con)parce à celle de l’aire u trouvée plus haut, que l’on a u = as.

131. Reclificalion des courbes gauches. — Si la courbe était à double courbure, la formule pour la rectilicalion serait

ds = = dz y/ 1 -+- (^~y +

d’après ce qu’on a vu {N'“ 80), et l’on attrait

d.tns laquelle on remplacerait ^ P***’ valeur en z tirée des

(letix équations de la courbe. Par exemple, potir la spirale dont les équations sont (N“ !)2)

a; = rsin — > g — rcos — >

•llfi

«IIAIMTIIK X.

on troiivv

. (/x 1 Z ilu I . î

— = - cos — -> -J- = siii —

il Z a ar az a in-

et par conséquent

g = [ i/z \ / 4-+- — ( cos*— sin * — )

J y a*\ ar itry

152. Recti/icalion des courbes polaires. — Considérons une courbe plane rapportée à des coordonnées polaires. Sa dérivée pourrait aussi être ohicnuc en imitant la roarebe suivie pour Ibs courbes rectangulaires (N° b'J); mais nous nous bornerons à lu démonlrcr par la considération des inrinimcnt petits. Soient donc A.M (lig. IG) cctie courbe et r = /’( son équation. Si on donne à t uu accroissement inrinimcnt petit MO.M' = (/<, l'arc AM ou s augmentera de = et en décrivant du point O comme centre l’arc de cercle .MP, le triangle MP.M' considéré comme rectiligne, donne

ds = /MP* -I- M i“.

ür, l’arc de cercle MP est égal à MO X angle MOM' = rdt et M'P étant raccndsscmenl du rayon vecteur MO, n’est autre chose epic dr; on a donc

du = i/r‘dl^ -I- lïr^, d’où ,s = ^ r/<

Pour la spirale d’.Archimcdc, on trouve r = ;il et «— y'(/f (/n*l*-t- /(* = 1^' t /t* I- 1 -e log(/-t-/t*-i- T) I -I- C. Pour la spirale logaritbmique,

r = aa"', s=^ f dt /«*(!*"' -s- a*»i*a*'"' log*u — a/ 1 -i-w*log*a /" «'“'(//

* 1/1 -c m* log*(f / 1 I- III* 102*0

III log a III log a

tMCL'L I.NTKCHAI..

Cubature des solides de révolution. — Soit 7 = fx l’équation d’une courbe BC (fig. 50). En tournant autour de l’axe des X, elle engendre une surface de révolution et nous nous proposons de déterminer le volume renfermé dans cette surface et limité pur deux plans perpendiculaires à l’axe X cl engendrés par les deux ordonnées BE et GE.

Prenons un point quelconque M ayant pour coordonnées (x, y) et désignons par V le volume engendré par BMPE. Si l’on donne à x un accroissement PP* — h = Ax, v sera augntenlé du volume Ar engendré par .MM'P'P. Or, quel que soit l’accroissement h, on conçoit qu’il est toujours possible de construire un rectangle QQ'P'P de manière que le volume qu'il engendrera en tournant autour de l’axe des soit équivalent au volume engendré par .MM’1*'P cl il est visible que Qtj' devra pour cela rencontrer l’arc MM' en un point M" situé entre M et M', puisque les deux volumes de révolution ne sont équivalents que si les volumes engendrés par M'.M"Q' et .MM"Q situés l’iin au-dessus et l’autre au-dessous de QQ', sont eux-mêmes équivalents; la distance PP" sera donc une portion de PP' ou b, cl pourra être exprimée par Ci/i, 0 étant compris entre zéro cl l’unité. Le volume engendré par le rectangle QQ'I*'P est exprimé par ^ . PP'.M"P"* = a-A [/’{x -t- &A)j* cl il viendra

Au

Ac = r:Ax [f{x -t- 0/i)]* OU — = 77 [f{x -t- 6/»)]*.

Comme celte relation doit subsister pour toute valeur de h, on peut faire converger h vers zéro, sans que 0 cesse d’etre inférieur à Eunité, cl il vient alors

dv

d’où l’on tire

(fp = ry*(/x, v = T! f y*dx.

On serait arrivé au même résultat par la considération des inliniment petits, en observant que si PI*' est égal à dx , le volume de la Iranclic inliniment mince engendrée par P.MM'P' est Tty‘‘dx.

Pour la parabole, on a

y* — 'Ipx, V = K f y*dx = 'ir.p J' xdx = ;ry7x* -t- C, et, en prenant l’intégrale depuis le sommet,

Trpx-