C.U.CUI, I.MtCRAI

Or, si le? deux branclics CI) et C'I)' sont syiiiétriqucs des deux côtés d’une droite AH parallèle à l’axe des X, il est évident que PM PM'

on )■ -1- 1/ sera constant et éjçal au double de la distance PN = l de la droite à l’axe, et l’expression du volume devient

nii plutôt d’après ce qu’on a vu à la fin du X" 148,

en désignant jiar u l’aire comprise entre les deux courbes. Il résulte de là que le volume d'un semblable corps est représente par le ]irodoit de l’aire CC'DD' de la surl'ace génératrice, par la circonférence ayant pour rayon la distance de l’axe de rotation à la droite qui sépare faire en deux parties symétriques. Ainsi le volume engendré par un cercle tournant autour d’une droite est égal au produit de faire du cercle par la circonférence décrite par son centre.

Le tbéorcrac subsisterait encore si la courbe supérieure était inversement symétrique à la branche inférieure, comme cela aurait lieu pour une clli|)se; car on pourrait, sans changer le volume, tourner la branche inférieure de manière à la rendre directement symétrique à la branche supérieure. Le volume engendré a donc la même expression que celui du cercle.

154. Quadrature des surfaces de révolution. — Soit y = fx l’équation d’une courbe .AB (fig. 30) qui, en tournant autour de faxe des X, engendre une surface de révolution. Représentons par u la surface engendrée par l’arc AM = s et par (x, y) les coordonnées du jioint .M. Si l’on donne à x un accroissement Pl*' = /» = Ax, assez petit pour que MM' soit concave ou convexe dans toute son étendue, on sait que la surface Au engendrée par M.M' est comprise entre celle qu’engendre la corde MM' et celle qu’engendre un [lolygone enveloppant MNM', que nous formerons en menant au point M la tangente MN. On trouve facilement pour les surfaces ironcconiques engendrées par MN et MM',

tr ^ h'- -V- /.* 00 > - V -• ^<J' + A.v),

CIIAPIIIIK

'.io

cl pour la surface annulaire engendrée par NM',

on est donc conduit aux deux inégalités suivantes, en divisant les deux membres par h ou ^x,

qui doivent subsister quel que petit que soit h, cl par conséquent pour

la limite de ses valeurs décroissantes ou pour /»=(). A cette limite, les

•in A'/ , . ilu du , , , . ,

rannorts — cl --deviennent — cl —> les seconds membres des ueux " Ax Ar dx di

inégalités se réduisent à 1 -+■ *'

dx

d’où l’on lire

que l’on peut mettre sous la forme

itr='2-fydn.

résultat auquel conduit immédiatement la tbéoric des inlinimeni petits, puisque si l’on prend PP' égal à dx, la surface troncconiquc engendrée

par MM' ou du est égale à :2a-t/.(/s = 2-t/ (/ dx* ■+• dy*.

CALCUL IISTÉGnAL.

Puur le paraboloïdc de rdvolulion, on a

Si la surface commence au sommet du paraboloïdc, il vient

2 ÎT

Pour l’ellipsoïde, on trouve

et en représentant — par e*,

a* . ex — arcsm — e a

En prenant l’intégrale dans toute l’étendue de l’ellipsoïde de révolution, c’est-à-dire, depuis x = — a jusqu’à x = -h o, on trouve

arc SI II e ;

= 2ara* (I — e*) -H 2jra’ [/ i — e’

arc sin e

Si a était plus petit que b, la forme de l’intégrale serait différente et l’on aurait en posant {/ b* — = be' ,

Si on suppose e et e' nuis dans ces deux valeurs, l ellipsoïdc devient une spbère, et on trouve u = ijia*.

ciiAPmiË X.

Pour l’hypocycloïde tournanl autour de l’axe des X, on a

dSî). Problèmes divers. — Dans les applications du calcul intégral qui précèdent, nous avons cherché certaines propriétés de courbes données, relatives aux aires, aux arcs, etc.; mais on peut aussi se proposer de déterminer ces courbes par la condition que les aires, les arcs, etc., jouissent de certaines propriétés déterminées. Supposons, par exemple, que l'on demande l’équation de la courbe dans laquelle l’aire comprise entre celle-ci, une abscisse et une ordonnée, est proportionnelle au cube de l’ubseisse. En désignant cette aire par u et l’abscisse par x, on a pour équation de condition

U = ax’‘.

Or, en dérivant les deux membres, il vient

du

dx

= ÔHJC’,

et comme on sait que — est égal i y , on trouve pour équation de la dx

courbe,

y = 3ax’

qui appartient à une parabole.

Si l’aire u devait être proportionnelle au logarithme de l’abscisse, on aurait

, du a

u = a log X, -y.- = - ou xu = a dx X

qui appartient à une hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes. Proposons-nous encore de trouver la courbe dans laquelle le carré de l’arc est proportionnel à l’abscisse, c’est-à-dire, dans laquelle on a

.s* = 8rtx ou s ■= 2 j/2ax.

CAl.CL’L INTÉtiHAL

Eli dérivant et rciiiiilacant par dx

on trouve

/7^ /'/ÿX* /^a l'ia — x

V \di J y X Y X

et en intégrant depuis (x = 0, y = 0), il vient

i/ 2ax — X*

y = a arc sin 1-

l/'2ax — x‘ ,

qui appartient à une cycloïde. Enfin pour trouver la courbe dans la quelle l'aire u est proportionnelle à l'arc s, ou dans laquelle on a

U = as,

on dérivera par rapport à x les deux membres de cette équation , et

vient

en rem