CHAPITRE I

en représentant par /"/ (i, y) la dérivée de f[x, y) prise par rap- .port à la seule variable y. Quant au terme f,' (x -+- 6/i, y), représentons par Vk son accroissement; il deviendra

/■,' {x -H (ih, y) -t- Vk

comme /(x, y) est devenu

f(x, y) -t- kf; (x, y -i- 6'A)

et le résultat de la double substitution de x -h /i à x et de y -+- ka y prendra la forme

f(x, y) -+■ kf; (x, y ■+■ O'k) hf/ (x Oh, y) -+- Vhk = O,

ou bien , en supprimant le premier terme qui est nul ,

I /■/ y ■+■ 0'*) + fr (x -H OA, y) -s- Vk = 0.

Si l’on passe h la limite en faisant h nul, ec qui fait évanouir k, - dc- 1 ^1/

viendra et on aura

Yx y) y) =

d’où l’on tire

dy f;{x, y) ^

dx f/(x, y)

qui apprend que pour une fonction de deux variables (x, y) égale à zéro, la dérivée de la variable dépendante y est représentée par le quotient de la division de la dérivée de la fonction par rapport à x, par sa dérivée par rapport à y, en changeant le signe du quotient. Ordinairement on laisse cette équation sous la forme

que l’on nomme équation dérivée de

Le premier membre de cette équation se compose de deux parties dont la première est visiblement la dérivée de la fonction f[x, y) par

CALCUL DIFFÉREKTIEL.

rapport à y considéré comme fonction de x, et la seconde, la dérivée par rapport à x considérée comme variable indépendante. Ces deux parties se nomment dérivées partielles et la somme forme la dérivée totale. Ainsi, dans l’exemple suivant,

J/’ — ’àxy* — 3x*ÿ -t- X* 1 = O ,

on trouve

f;{x, y) => — Sy> — Cxy -t- 3x*, f;{x, y) = ôif — \0xy — 3x»

et l’équation dérivée prend la forme

(5y* — lOxy — 3x’) ^ — (Sy* -i- Cxy — 3x*) = 0.

Elle conduit k une valeur de ^ exprimée en fonction de x et de y.

Pour avoir cetle dérivée en fonction de x seul, il faudrait éliminer y entre cette dernière équation et l’équation primitive donnée.

Les dérivées de f(x, y) par rapport à x et y, que nous sommes convenus de désigner par f,{x, y) et /"y'(x, y), sont souvent représentées

par

— v’— — ; la valeur de ^ prend alors la forme «y dx

dfjx, y)

df{x, y)

Cetle équation peut aussi être mise sous la forme suivante, en faisant disparaitre les dénomiiialcurs et en traitant dx et dy comme des quantités ordinaires.

. df{x,y) dy dx

dx = 0.

Telle est l’éyuation di/férentielle de /"(x, y) = O. Le premier membre se compose de deux parties, dont la première est évidemment 1a différentielle de f{x, y), en traitant y seul eomnic variable, et la seconde est la dilTérentiellc de f{x, y) prise en faisant varier x seul. Chacune de ces parties se nomme différentielle partielle de f{x, y), l’une par rapport i y et l’autre par rapport à x. La somme forme

CliAlMTRE

la différentielle totale. Connaissant l’éqiiation dilTi-rentielle totale , on pourra toujours par une simple division rcraonlcr à la valeur de dy

Soit par exemple — a = 0. Ou trouve

df{x, y)

dy = X» log x.dy.

df(x, y)

dx = y xi-' dx.

et en additionnant,

X» log x.dy -H yx»”' dx = 0,

qui est l’équation diiïéreiitielle de l’équation donnée. On en tire

dy y y*

dx X log X X log a

Observons que la différentielle d’une équation implicite à deux variables aurait pu se déduire de la règle démontree (N“ 9) pour la différeneiation d’une fonction de fonction. .Soit en effet u — f(x, y), y étant une fonction de x; on a vu que l’on a

dx dy dx

et comme u est nul, du l’est aussi; on a donc, en supprimant le facteur commun dx,

df{x, y) df{x, y) dy

dx dy dx^ '

Si la relation entre (x, y) était donnée au moyen de deux équations

, , dy

et qu on voulut trouver^) on remarquerait que celles-ci pouvant

être conçues résolues par rapport à x et y , ces variables doivent être considérées comme des fonctions de 1. Dérivons doue f[x,y,l) par rapport à la variable indépendante t (N° 9). On trouve en désignant cette fonction par f.

dx dl dy dt dt ’

parce que la fonction f(x,rj, l) étant constamment nulle, sa dérivée doit l’étre aussi. La seconde équation donne de même

(iF dx dF du dF

dx dl dtj dl dt

dx du

Si l’on tire de ces deux équations les valeurs de-^ et de les substituer dans la formule (N° 10)

il suffira

!hL

di dx

21 . Dérivées des ordres supérieurs des fonctions explicites. — La dérivée f'x d’une fonction donnée de x étant elle-même, en général, une fonction dei, peut être soumise au procédé de la dérivation et a par conséquent une dérivée que nous représenterons par f"x. Cette fonction, obtenue par deux dérivations suecessives, se nomme dérivée ou coefficient différentiel du second ordre de fx. De même, la dérivée de f'x que nous désignerons par f"x, est la dérivée du troisième ordre, etc.

Les valeurs de ces dérivées successives s’obtiennent par les procédés ordinaires de la dérivation; ainsi pour la fonction x", on trouve

fx = «II"'* , f'x = III (lit — l)x"“* , f'x = m (ni — 1) (m — 2) x"~*.

Pour y

-y il Vient

fx = —

etc.

La considération des inffnimcnt petits conduit à une autre notation

simple et commode pour représenter les difTércnlcs dérivées. On a vu plus haut (N“ 6) que ^ doit être considéré, non comme une fraction

ordinaire, mais comme une notation ou un signe servant à rappeler clairement l’origine et la signirication de cctlc quantité. Ensuite