C.AI.Cl'I. IMTKGUAL

zr.)

sur lu niùme liasc; comme il doil y avoir com|>ciisation cnlre les volumes placés au-ilcssus et au-dessous du plan Rll'rr' et com|iris entre ce plan et la surface MM'mm', il en résidtc nécessairement que ce plan doit couper la surface .MM'wim' dans l’intérieur du quadrilatère curviligne MM'mm'; donc si z* est lu hauteur de ce parallélipipède , z' sera une ordonnée de la surface, correspondant à des coordonnées (x -V- h') et {y -i- k'j, W et k' étant moindres (pie h et k\ on pourra donc poser

z' = f(x ■+■ h', y k^)= f(x ■+■ Oh, y -f- O'k) ,

0 et 0' restant compris entre zéro et l'unité. Eu égalant les volumes du prisme et du parallélipipède et en observant que z = f {x, y), il vient

d*ii

dxdy

hk -H

cl’e h^k dx*dy 1.2

-+- etc. ~hk.('{x -H Oh, y -t- O'k).

Si l’on supprime le facteur commun hk et si on observe que cette égalité doit subsister pour toute valeur de h et A-, y compris zéro, sans que û et 0' cessent d’être compris entre zéro et l’unité, il vient en passant à la limite.

fi*r

dtdy

d’on

dxdy

dxdy = zdxdy.

Or le premier membre représente la différentielle deuxième de n prise smreessivement par rapport h (x, y); on aura donc, en intégrant deux fois et successivement par rapport à ces deux variables indépendantes, entre les limites O et x, pour la jircmière, et O et y pour la seconde,

V = // zdxdy = // f[x, y) dxdy ,

l’iin des signes d’intégration se rapportant à la variable x, y étant traité comme constant, et l’autre à la variable y. L’ordre suivant lequel on effectue la double opération indiquée par cette intvyrale double est indifférent; car si on avait donné aux deux variables indépendantes les accroissements h et k dans un ordre inverse, on aurait trouvé

dydx

an lieu de

dxdy

cl il est visible que pour remonter à la valeur de v, il eut fallu intégrer dans un ordre inverse. Cette proposition ne cesse d’etre vraie que

ciiArniiK \i.

lorsqu’il y a solution de continuilc dans In fonction:, c’est-à-dire, lorsque celle-ci devient infinie pour des valeurs des variables comprises entre les limites des intégrations.

On serait arrive au même résultat par la considération des infiniincnl petits, eu remarquant que le volume QMNDc/PnA (fig. 37) peut être considéré comme composé de tranches QM»iQV/Pp^' infiniment minces, parallèles au plan des XZ, et que chaque tranche est composée de prismes MM'm'mPP'/>'p infiniment étroits. Or le volume d’un prisme est zdxdij', le volume d’une tranche parallèle à XZ est donc 1a somme de toutes les valeurs de zdxdy , c’est-à-dire dtj f zdx qui est formé du produit de l’épaisseur dy par J’ zdx ou la surfaec QMPgr, et le volume total ou la somme des tranches est f dy f zdx, que l’on écrit ordinairement de cette manière :

Jf zdxdy,

pourvu, bien entendu, que la fonction : reste finie et continue dans les limites des intégrations, sans quoi les sommes ne seraient plus représentées pur les intégrales.

Les deux intégrations succtessivcs introduisent deux constantes arbitraires, et si l'on se place nu point de vue purement analytique, lu première intégration ayant lieu par rapport à y, sans que x varie, la première constante arbitraire pourra contenir des x d’une manière quelconque, puis(]u’on traite ccllc-ci comme invuriahic pendant la première opération, et lu seconde constante pourra être une fonction arbitraire de y pour le même motif. Mais dans les applications, ces constantes prennent des valeurs déterininées ; en effet, il résulte de ce qu’on vient de voir, que la première intégration est destinée à donner le volume de l’une des tranches dont se compose le corps, c’est-à-dire, l’aire de la section, multipliée par l’épaisseur dy de la tranche; il faut donc déterminer la constante de manière à embrasser l'aire entière de la section QMPy. La seconde intégration, destinée à prendre la somme de CCS tranches, devra être étendue entre les deux limites du cor])s dans le sens de l’axe des Y, ce (|ui fixera la valeur de la deuxième constante arbitraire.

Si le volume au lieu d’être limité jiostéricuremcnt par les plans des XZ et des YZ, l'était |)ar des plans parallèles à ccux-ci et distants de a/' et y", les deux intégrations, au lieu de se faire entre les limites zéro et x', zéro et y', devraient visiblement être faites entre les limites (a/, x"), (y’, y").

CALCTL i.NfKGIUl..

Si le rorps était compris, Hans le sens de l’aNC des Z, entre deux surfaces ayant |>our équations

X=F{x,y) c» z=rf(x,y),

il est évident que les prismes MM'mm'PP'/);/, dont se compose le volume total, devraient être remplacés par la différence des denx prismes terminés aux deux surfaces, et qn’on aurait par conséquent

» = // (■^ — =) dxdy = ff j F{x, y) — f(x, y) j dxdy.

157. Applications. — La détermination des constantes arLiilraircs ne présente aucune dilFiculté lorsque le corps est terminé, comme dans le numéro précédent, dans le sens des axes des X et des Y par des plans parallèles aux plans des YZ et des XZ; si, par exemple, il s’agit de déterminer le volume AqPwDQ.MN limité par des plans QP et XP parallèles aux plans coordonnés et distants de ceux-ci dcÿ'etx', la surface QDXM étant celle d’un ellipsoïde rapporté à ses diamètres principaux, on aura pour équation de la surface

et en intégrant d’abord par rapport à y, depuis y — OJusqu’à y = y\ il viendra

dans laquelle !/' est constant, et l’on n’aura plus qu’à intégrer une différentielle de lu forme yxf/x, depuis x = 0 jusqu’à x = i'.

Considérons encore le paraboloïde hyperbolique qui a pour équation

z = axy,

et cberchons le volume compris entre cette surface, le plan des XY, deux plans parallèles à XZ et distants de i/' et y", et enlin deux plans parallèles à YZ et distants de x'ctx"; la première intégration devra

ciiAi’iint M.

SC filire entre les limites lixes tj' et <j" et la seconde entre les limites fixes a/ et i". On trouvera

ay + x'f -4- X",/ ^ x'Y J > 4

En désignant par z', s", z'", z'"' les quatre ordonnées de la surface qui correspondent aux quatre sommets de la base rectangulaire et observant que l’on a, à cause de l’équation de la surface,

z' = aiy, z"=oa'y", z'" = aa/'y' , z""=ur'y', cette valeur de v devient

. .m . .tm

dans laquelle {i" — ar') (y" — y') est l’aire de la base rectangulaire de

notre prisme, et est une moyenne arithmétique

entre ses quatre arêtes.

Si le volume n’était pas termine par des plans parallèles aux plans coordonnés, s’il était par exemple, limité dans le sens de l’axe des Y par un cylindre Ul’.ME (fig. 3'.)) ayant scs génératrices parallèles à Taxe des Z, et dans le sens de l’axe des -X, par un jdau l'/iNM parallèle au plan des YZ, l’ordonnée y' du numéro précédent, qui représente la largeur totale Pn de la section MN/iP ne serait plus la même pour toutes les Iranelics cl i>ar conséquent ne serait plus constante pendant la seconde intégration; mais comme l’équaliou de la base DE du cylindre est donnée, on ronuailra la valeur de P« ou y' eu fonction de On 011 x, valeur qu’il faudra substituer avant d’effectuer la seconde intégration. Quant aux limites de cette seconde quadrature, on les prendra de manière à embrasser toutes les tranches parallèles à YZ.

Lorsque la limite latérale du volume, au lieu d’être uti cylindre, est une surface quclcomiiic donnée, la règle à suivre reste encore la même. On détermine en fonction de x l’aire d’une section parollèle au plan des YZ cl distant d’une quantité x, un multiplie celte aire par dx ou par l’épaisseur de la tranche, cl on intègre de nouveau entre les limites extrêmes du volume dans le sens de l’axe des .\, de manière à embrasser le volume entier.

CALCUL tXTLCHAL.

Qilund dans une intégrale double f f zdxdi/, la fonction : reste continue dans toute l’clcndue de In double intégration, l'ordre des intégrations est diiïérent. C’est ce qui a lieu, par exemple, lorsque les limites sont des plans parallèles aux plans coordonnés. Cela ne serait plus vrai s’il y avait solution de continuité. Qu’il s’agis.sc, par exemple, d’évaluer le volume DPnOFMNC; une première intégration faite par rapport aux y conduit à l’aire de la section MNnP, et la seconde intégration a pour effet de prendre la somme des tranches depuis FC jusqu’à MN, ce qui embrasse le corps entier. Si, au contraire, on commence par intégrer par rapport à x, on déterminera Faire de la tranche QQ'RR', mais la seconde intégration n’aura plus pour effet de prendre la somme de toutes les tranches parallèles à XZ depuis CN Jusqu’à F.M, car jusqu’au point M la largeur des tranches est égale à Oh, tandis que depuis M jusqu’à F oette largeur est continuellement variable, c’est-à-dire qu’il y a en M solution de continuité dans la largeur des tranches.

Proposons-nous, par exemple, de trouver le volume d’un cylindre élevé perpendiculairement au plan des XY, ayant pour base un cercle du rayon r dont le centre soit placé au point qui a pour coordonnées m, n et limité supérieurement par un paraboloïdc elliptique qui a pour équation

Z = ax‘ h<j‘.

En désignant ce volume par u, il vient V = f f zdxdy= f dx J'{ax^ -i- fci/*) dy = J dx ^ax*// r Or, l’équation de la base du cylindre étant

on en tire

cl les deux valeurs de y représentent les deux limites de eette première intégrale qui devient, en substituant,

fidxÿ'r* — (X — «i)*

ax* — - (x — in)* 6«* -4-— r’ • O a

CUAPJTRE M.

Une seconde intégration prise entre les valeurs extrêmes de x, c’est-àdire, depuis x = m — r jusqu’à x — m-*-r, donne enfin

' ï= «■’ I am* -t- bn* -i- 7 ar’ -♦- 76e’ \

Pour interpréter cette lalctir, remarquons que si au centre du cercle on élève une ordonnée / jusqu’à la surface, cl si l’on élève une seconde ordonnée l' au point pour lequel on a x = r et y = r, il vient, à cause de l’équation de la surface,

/ «= am* -4- 6n*, t' ar* -t- 6r*

cl par conséquent

le volume clicrché est donc équivalent à un cylindre à base circulaire

ayant r pour rayon de la base et / -t- - pour hauteur.

158. Projection d'une surface plane. — Avant de nous occuper du problème de la quadrature des surfaces courbes, commençons par chercher le rapport qui existe entre une surface plane et sa projection orthogonale sur un plan donné; soit ABCD (fig. 40) une surface plane renfermée dans le plan XY et terminée par deux courbes quelconques Bl), AC cl deux ordonnées BF, DG. Projctons-la orlbogonalcmcnt sur le plan .\Y' et soit A'B'C'D' sa projection. En désignant par o l'angle YOY' que forment les deux plans, par Y cl y les deux ordonnées P.M et PX, cl par Y' et y' les deux ordonnées PM' et PN', les aires ABDC et A'B'C'D' seront représentées par

les deux intégrales étant prises entre les incracs limites OF et OG; or les triangles rectangles P.M.M' et PNN' donnent

d’où

y' — y cos a. Y' = Y cos o,

Y' — y' = (Y — y) cos a.

CALCUL INTLURAL. Ô3I

cl par conséquent, eu rcpréseulant par S et s les aires ABCD et A'B'C'D', il vient

s =>y’lV' — u') <lx= cos U y (Y — ÿ) dx = s cos a.

Ainsi, pour avoir la projection d'une aire plane sur un plan donné, il suflit de la multiplier par le cosinus de l'angle que forment les deux plans.

Il suit de là, que si l'on projette une surface plane sur trois plans formant un système de plans rcclangulaires, le carré de la surface plane sera égale à la somme des carrés des trois projections, puisque la somme des carrés des trois cosinus est égale à l'unité.

139. Quadrature d’une surface quelconque. Applications. — Considérons maintenant une surface M.NDQjfig. 37) limitée par deux sections MN et MQ parallèles aux plans YZ et .\Z. Soient (x, ij, z) les coordonnées du point M, et u celle surface; u sera dans tous les cas une fonction de (x, y), et si on y donne à x un accroissement nn' = h, celte surface prendra un accroissement exprimé par

du d'u h-

-+- etc..

représcntaitl la surface de 1a liande .M.M'.NN'. Si dans cette dernière expression on donne aux y uu uccroissemciit qq' = k, celle-ci sera, comme on l'a vu quand on s'est occupé de la série de Taylor étendue aux fonctions de deux variables, augmentée de

d*ii d'^ii h*!:

- — j~ldi t- '7—7-, — : — : + etc.

didy dx*dy I .'2

qui est la surface du quadrilatère courbe MM'm'/n. Or, je dis qu'il existe nécessairement sur cctlc surface et dans l’intérieur du quadrilatère un point tel que si on y mène un plan langent, celui-ci formera avec les faces latérales du prisme prolongées, un parallélogramme éi|uivalcnl au quadrilatère curviligne; en cfTet, concevons la projection PP'/jp'duquadrilalèrc courbe MM'oim', ilivisée d'une manière

quelconque eu n parties s, s', s" corrcspomlanl à n divisions du

quadrilatère. Si en un point quelconque pris dans chacune de ces dernières divisions on mène des plans tangents à 1a surface, les portions de CCS plans comprises dans les plans projetlants des contours de cesdivi-

CIIAI-nilK M.

sions seront l'eprésenlées par 1 -> ou s secs, s' sec e'

cos s eos f

E, e' désignant leurs inclinaisons sur le plan des XY.

Si toutes les projections s, s', s” sont équivalentes, en désignant

1 1 1- 1. •• PP'///) Itk

par II leur iioinure, 1 une délies sera — '—ou — et la somme des

laeeUes tangentes à la surface sera donnée par

s (sec £ sec t sec e” ) = lik ^

SCC £ sec £ -A- SCC £

c’est-à-dire, qu’elle sera égale à l’aire du rectangle PP'p'p multipliée par une moyenne arithmétique entre les sécantes des inclinaisons des fuecltcs sur la base. Ce résultat étant indépendant du nombre de faces, sera encore vrai à la limite, c’est-à-dire, lorsque rcnsemble des facettes deviendra la surface courbe MM'm'//i elle-même; et alors les inclinaisons des faces du polyèdre sur la buse ne sont autres que les inclinaisons des plans tangents aux dillércnts jioints du quadrilatère courbe; on voit donc que la surface du quadrilatère courbe est donnée pur le produit /iA'sccti, de la projection PP'p'p ou lik, par une moyenne arithniéti(|uc sec /; entre les sécantes des inclinaisons sur la base des plans tangents menés aux ditTérents points de cette surface. Si cette surface est continue dans l’étendue du quadrilatère, ces inclinaisons doivent varier d’une manière continue depuis la plus grande jusqu’à la plus petite et par conséquent il doit exister dans l’intérieur un certain point auquel correspond celte valeur moyenne sec»; et en y menant un plan langent prolongé jusqu’aux faces du prisme, l’aire du parallélogramme que l’on formera, avant aussi pour projection le

rectangle PP'/)/), aura egalement pour mesure = /iK sec »i, ce

qui vérifie la proposition énoncée plus haut.

Si les coordonnées du point en question étaient (x, ij, z), cos y; serait

égal à * - — et par conséquent sec); serait donné

par* / 1-A-I-— I -A-(— I; mais ce point étant un de ceux du

‘ V W K'hJ '

ipiadi'ilatèrc curviligne, a pour coordonnées x -+- O/i cl i/ -a- Vk, en

CALCUL lATLCIlAL.

désignant par 0 cl 0' des cocIIiciciiLs incunnns dont les valeurs sont comprises entre O et 1 ; les dérivées sous le radical devront donc être remplacées par

dz ,d*z >i*h*d-^z

dz ,,d*z ry^kUi'z

et il vient, en égalant les deux expressions de la surface du quadrilalère, et supprimant le faeteur commun hk,

dUi d''u h -h

dxd>j dx*d)j 1 .2

elc.

Cette égalité existe, quelque petits que soient h et k. A la limite on trouve

dxd^j V \d^J \'h)

dxd>j

cl par conséquent, en intégrant deux fois par rapport aux deux variables indépendantes.

l.a considération des iurmimenl petits conduit à celle formule d’une manière fort expéditive; en cfTct, si h et k sont infiniment petits et égaux à dx et dy, la surface MM'm'm sera sensiblement plane et sera comprise dans le plan tangent en M. Le cosinus de l'inclinaison du

plan langent sur le plan XY est et comme