CII.W’ITIIb: .VI

la projection île .MM'm'm sur le même plan est dxdy , ce quadrilatère a pour surl'ace

Or la surface de la bande M.NN'M' qui sc compose de tous les quadrilatères scinhiabics au précédent et correspondant à la même abscisse x et aux différeutcs valeurs de ij, est représentée par

et la surface entière, composée de la somme de toutes les bandes parallèles au plan des YZ correspondant aux diiïércntcs valeurs de x, est représentée par

L’ordre suivant lequel on eircctuc la double intégration est encore indifférent, comme on l’a vu plus haut, pourvu que le radical ne cesse pas d’être liiii et continu entre les limites des intégrations.

Dans les applications cette intégrale double doit être traitée de la même manière que dans le cas des cubaturcs. Si la surface est limitée par des plans |>arallèlcs aux plans des XZ et YZ, il faut tirer de

l’équation de la surface les valeurs de — et -7^ > les substituer dans

ax tiij

la formule précédente et intégrer d’abord par rapport à x, depuis X = x' jusqu’à X = i". On intégrera ensuite par rapport à y entre les limites

>J = y' et i/ = ÿ".

Prenons pour exemple la surface a3ant pour équation

dz V dz X

T-V -Xj-r-

il vient

CALCUL IMLCBAL.

et en intégrant siiccessivrinent entre les limites indiquées ci-dessus, on trouve

Si la surface NDQM était comptée depuis DN et DQ ou depuis les plans des XZ et des YZ, on ferait x' et y* nuis dans l'intégrale précédente.

Quand la surface FGC (fig. 39) est limitée par une courbe FG ayant DE pour projection, la valeur de y" ou la largeur P« de la bande MN ne sera plus constante pendant la seconde intégration, cl il faudra suivre une marche en tout point semblable à celle indiquée (N° 157) pour le cas de la cubaturc.

Prenons pour exemple la sphère dont l’équation est

cl proposons-nous d’étendre l’intégrale à toute la portion ABC de la sphère comprise dans l’angle trièdre AXYZ. La courbe qui limite celte surface est évidemment un grand cercle AB de la sphère ayant pour équation

X* -H y” = r* ; d’où l’on lire y' = f/r- — x*

dans laquelle On est x et ni*' est y; cl comme l’intégrale doit être prise entre les limites n cl F, c’est-à-dire, y' = O et y = nP' = j/r* — x*, il vient après une première intégration.

cl en prenant cette seconde intégrale depuis O jusqu’à A, ou depuis X = 0 jusqu’à x= r, on trouve

pour la surface d’un huitième de la sphère.

CHAPimE XI.

ICO. Cubatures et (fuadralures dann des cas particuliers. — Lorsqu’un corps ou une surface courbe est décomposablc en (ranclies ou cil bandes dpnt les volumes ou les surfaces sont connus, on trouve l’expression du volume ou de la surface du corps en n’effectuant qu’une seule intégration. Prenons pour exemple l’onglet cylindrique DCBED (fig. 41) formé par rinlcrsection du cylindre ADBEC'C" et d’un plan DCE. La surface convexe EBCDB peut être considérée comme composée de bandes infiniment étroites MwiNn dont l’aire est MN X Nn; or, si l’on mène un plan FMN perpendiculaire à l’intersection DE et que l’on pose

GN = x, OH = GF = a, OG = y, BC = 6, OB = r, en remarquant que les triangles FMN et HCB sont semblables, on aura