MN
ct en a|ipelant u la surface convexe EMN, il viendra, en remarquant que Nn est l’élément ds de l’are EN, que nous supposons être un cercle.
u=fb-
-ds;
mais l’équation du cercle EN donne
et en prenant l’intégrale depuis x = — a jusqu’à x=-r, on trouve pour la surface EBC,
a arc cos ^ -t- — a* >
arc cos
étant l’are qui a pour cosinus Une marche
CALCl'L I.NTÉUIUl..
analogue fera connaître le volume de col onglet (|ue l'on considérera comme composé de tranches perpendiculaires à Hll et ayant la forme de rectangles. On trouve facilement pour ce volume,
ah
r’ arc cos
Pour avoir la surface d’une voûte à arc de cloitrc EABDC (fig. 42) qui se projette verticalement suivant le demi cercle AMIi, on considérera chaque face AEC comme composée de bandes parallèles mm'n'n qui ont pour surface mn X MM'; or, il est facile de voir que «iw= ma = MN, et si l’on fait MP = x et OP = i/, l’équation du cercle AUB établit entre x et y la relation
En appelant u la surface AEC, et prenant l’intégrale depuis x = t» jusqu’à X = r, il vient
■2xih = 2 f x(/x ■^0
= y mil X MM
On obtiendra de même le volume renfermé entre le plan horizontal ABDC et les quatre faces AEC, AEB, BED et DEC, en considérant ce volume comme compose de tranches horizontales mnbam'n’h'a' qui ont toutes la forme de carrés et dont le volume est m«*.PP'. On trouve
U = l 4x- (/y — I 4 (r* — y*) rfy = -
ICI. Transformation des intégrales doubles, — La recherche de la valeur d’une intégrale double est souvent facilitée par des transformations qui consistent à substituer aux coordonnées rectangulaires (x, y, s), de nouvelles coordonnées (p, y, r) convenablement choisies. Supposons qu'il e.xiste entre les anciennes variables indépendantes (x, y) et les nouvelles (p, y), les relations
CIIAPITRR XI.
comme les variables (x, tj) sont indépendantes, on peut différencier ces deux équations par rapport à y en laissant x constant, c’est-à-dire, en posant dx = 0, ou par rapport à x, en posant dy = 0. Dans le premier cas il vient
d’où
df , df ,
dp
dF
dy,
dy =
l dF dF dy l dy dp df
V dp
Dans le second cas, on trouve
dx
df , df
Cette différentielle est prise dans l’hypotlièsc de y constant ou dc</y==0, ce qui n'est possible, à cause de l'équation (2), que si <iq = 0; cette dernière équation se réduit donc à
dx=^dp.
dp
Les formules pour les cubalures et les quadratures
deviennent en remplaçant ^par leur valeur en {x,y), puis
en remplaçant ces variables par leur valeur donnée en {p, y),
Jf»'
La valeur de '^{p, y) se détermine immédiatement, si l’on connaît
CALCUL IXTKCnAL. 339
l'cquation de la surface eu coordonnées reelaugulaires ainsi que les valeurs de (x, i/) eu (;», 7), c’est-à-dire, si on a
puisque, en désignant pour abréger, par f cl F les valeurs de x et de y, il vient
2 = ?(/■- f) = Hp> fj)-
Pour ce qui est de 7) ou ^
, ou verra
bientôt comment on peut trouver sa valeur d’une manière générale, en fonction des dérivées partielles des fonctions f cl f’ et des nouvelles coordonnées; mais il est visible qu’on pourra dans tous les cas, cberchcr d’abord sa valeur en (x, y) cl remplacer ensuite ces coordonnées par leur valeur en {p, 7).
Si l'on prend pour (j), 7, r) les coordonnées polaires dans l’espace, c’est-à-dire, la distance r d’un point à l’origine, l’angle p formé par ce rayon vecteur avec l’axe des X et l’angle 7 formé par le plan des XY avec le plan passant pur le rayon vecteur et l’axe des X, on a les relations suivantes :
X = r cos y — r sin f) cos 7, i == r sin p sin 7
et les intégrales prennent la forme
u = 7)^r’sin’;isin 7 — r ^ cospsinpsin 7 — r^cosq^ <ip<ly,
M = ffy(«, 7)^r’sin’psin7 — r —cos ;j sin/) sin 7 — r—cns(j\(lp(lt/
dans lesquelles ^ dérivées partielles tirées de l’équa-
tion de la surface mise sous la forme r = F'{p, 7).
En prenant pour p, 7, r les distances d’un point de la surface aux trois axes coordonnés, c’est-à-dire, en posant
r.lIAPIIHK M.
