CHAPITRE XII
DiiïérciUiolles clliptir|U(*s. Transformation du radical cii deux radicaux binômes du second degré. — Le facteur r* est toujours réel et plus petit que l'unité. — Traiisfoniiatiuii des difféieiuielles elliptiques en trois difTérenticlIes irrédiic- (i|)|os. — Première formule de réduction. — Seconde formule de réduction. — Troisième formule de réduction. — • Traiisformation des trois ditrércnliclles irréductibles en transcendantes elliptiques. — Développement en séries dos transcendantes elliptiques des deux premières espèces. — Construction des tables. — Dcveloppcmcnl en série de la fonction elliptique de troisième espèce, le paramètre étant positif. — (ias du paramètre négatif.
162. Différentielles elliptiques. Transformation du radical en deux radicaux du second degré. — Il existe une classe nombreuse (le diiTércnticlIcs dont l'intégration en termes finis est impossible, mais qui peuvent toutes, par des transformations, être ramenées a un petit nombre de formes générales conduisant à des séries très convergentes. Ces diirércnticllcs sont comprises dans l’expression générale
P'dx Pdx
■ - ou :r-
j/a' -4- b'x -4- c'a* -4- d'x* -t- e'x* j/a -4- 6x -4- ex* -4- dx* x*
dans laquelle P représente une fonction rationnelle quelconque de x. On les appelle d'une manière générale différentielles elliptiques , parce que le problème de la rectification de l’ellipse conduit à des dilTércntieilcs de cette forme. On peut toujours faire en sorte que le polynôme placé sous le radical soit remplacé par un produit de la
CIIAriTHR XII.
fiirme {p + çi/*) (p' ■+■ ; en cITet si l'on décompose le pol) nônie
en deux faeleurs trindmes du sceond degré, de manière que l'on ail
U ■+■ Ux ex* -+- dx’ -4- I* = (a -f- ,Sx -4- X*) (a' -4- p’x -4- X*) , qu’on rcmplaee dans ehaque trinùmc x par m -4- — ” — et qu’après
avoir réduit au même dénominateur, on égale à zéro les ooclïicients des premières puissanecs de y, les constantes indéterminées m et h seront données par les deux équations
2a -4- 2[3I» -4- 2m* pn -4- 2mn = O
et les deux facteurs trinômes seront remplaces par cl —
dans lesquels les constantes représentent
p = a -4- pm -4- m* H- p/l -4- 2m n -4- n*, y = a -4- pm -4- m*, p' = a' -4- p'm -4- m* -4- p'n -h ‘iiiin ■+■ /»*, y* = a' -4- p'm -4- i/i*. Ilepréscntons par r, r' et r", r"' les racines des équations a -4- |5X -4- X* = O, a' -4- p'x -4- x*= Il c’est-à-dire les quatre racines de
Il -4- hx -4- ex* -4- i/x-’ -4- x‘ = 0.
On sait que l’on a
Kn substituant ces valeurs dans les équations préccdcnlcs, on trouve en résolvant et convenant de rcpréscnler par r — r".r — r"', le produit des deux binômes r — r" et r — r"', (1)
rr' — r"r"' — i/r — r". r — r'". r' — r". r' — r"'
CAI.C17L INTEGIIAL.
et le grand radical se trouve remplacé par
l/Zrr^r — r".r — — r"./ — r"' (r-4-r' — r" — r"')»(l-+-y)‘
qui, en faisant
devient (3)
p/ITï p/7^'. r — r"'. r' — r". r'— r"'
V * ( p/r^T?/ i/r^—r"./— r"' (p/j/^'T?— ?' + /"rr'^r")
(p/r— r".r — r"'-Hp//
11 suit de là que la dilTcrcnticllc
dx
f/a -t- bx -h ex* -4- dx* r*
3'i-6 ' ciiAPitni: xii.
pnut être Iransformcc dans la suivante (4)
dz
que l’on peut mettre sous celte autre forme, en effectuant la multiplication sous le radical,. ...(ü)
^ r"'. r'— r" H- j/r— r"' (Iz
ou bien encore, en multipliant par — r". r' — j/ r — r'". r' — r"
les deux termes de la fraction sous le radical dans l’expression précédente et par j/r — r" . r' — r" — |/r — — r"' les deux termes
de la fraction hors du radical, ....(6)
»■" — /r — r’'Tr — ?^' + j/r'— r" . r' — r'"
[2^/-^- 2r"r"' — (r -h r') (r"-+- r"') -t- 2 i/r—r".r—r'".r' — r".r'—r'"] ’ c’est-à-dire qu’on peut dans tous les cas lui donner la forme
fidz
fl et c’ étant deux constantes connues.
CALCUL INTÉCRAL.
163. Le fadeur c* est toujours réel et plus petit que l'unité. —
Avant d'introduire la fonction rationnelle P qui multiplie la différentielle générale elliptique, constatons que le coefficient c’ est toujours réel et plus petit que l'unité.
Si les quatre raeincs r, H, r", »•"' sont réelles , la valeur de c’ est évidemment réelle, puisque, eu les rangeant dans l’ordre r, r', r", r'" d'après leur grandeur algébrique, tous les facteurs placés sous les radicaux dans la transformée (5) seront positifs. Quant à p il sera de
la forme n j/ — 1 .
Si deux racines eonjuguées, r et r' par exemple, sont imaginaires
et de la forme a 6 j/ — 1 et a — 6 j/ — 1 , en employant la transformée (C), il est visible que l’on aura
(r — r')* = (26 [/ — 1 )* = — 46*, rr' = a’ 6’, r-i-r' = 2a,
et par conséquent c’ sera eneore réel, mais il change de signe à cause
de la valeur de (r — r')* qui est (26 — 1 )* = — 46*.
Si les deux couples de racines conjuguées r, r' et r", r"' sont imaginaires et de la forme a±b[/ — 1 et a' ± 6' j/ — 1, les facteurs (r — r')* et (r" — r"')* dans la transformée (6) deviennent (26 (/ — I)* = — 46*, (26' j/ — I)* = — 46'* et comme on a aussi
= — n' -*- (<| — — t ) (n — rt' -H (6 -+- 4') 4/ — I) (a — o' — (fc — — l)(o — o' — (ii I)
il est visible que c* est encore réel et positif.
Enfin, le coefficient c* est dans tous les cas plus petit que l'uuité.
ClltriTHE Ml.
puisque la lransformde(5) apprend que ce facteur est de la forme
11 résulte aussi de cette discussion que les valeurs de m et n sont toujours réelles et qu'il en est de môme de la valeur de exprimée en y*, car en multipliant les deux membres de la fraction par j/r — r'' . r — r"' f/r' — i-" . r' — r'", on trouve
, [(r-t- r')*— (r-4- r')(r"-i- r"') -t- 2r"r"'- 2rr'— 2/r — r" . r- r"' . r' — r". r' — r"' |’ ^ [r- r" — r"')^ ^
ou
et l’on vient de voir que cette fraction a’ positive ou négative se compose de termes toujours réels dans toute hypothèse faite sur les valeurs des racines r, r', r", r"'.
164. Transformation des différentielles elliptiques en trois différentielles irréductibles. — Considérons maintenant la fonction rati innclle P qui multiplie la dilTércnticlIc dont on vient de s’occuper. Si
l’on y remplace, comme plus haut, x par m-
on obtiendra
évidemment pour P une nouvelle fonction rationnelle en y, ne contenant que des facteurs réels, puisque ni et n sont réels, et qui dans sa plus grande généralité ne peut être qu’une fraction rationnelle décomposablc par la division, dans sa partie entière et sa partie fractionnaire. Celle-ci sc décomposera ensuite, par la méthode des fractions rationnelles, en fractions simples. Le développement de P sc composera donc d’une suite de termes ayant les formes suivantes :
ay’
a ttij -t- « y — b y* -+- b
ay a a
dans lesquels a, a', b sont réels, et ces dilîércnticllcs deviennent,
en remplaçant y par sa valeur - = *':,
’ ’ a'z — b a’*z^ + b (a":’* /j)- (a'î — hj"
, l’ilx
L’intégration complété de la dilfcrcntiellc ^ - , It désignant le
CALCl’L IMKGRAL.
radical |/ a ix -h ex'* -a- dx’ x*, sera donc ramenée aux intégra-
tions des dilTcrentielIcs suivantes dans lesquelles fi est un facteur constant,
fiJ: fiz^i/z uilz
|/r^* |/T^*x* ’ i/t—z*i/l=FC*z*' {z — h) i/'i — z*[/lzfc*z^' fi(az -t- a')(iz fi{az a')dz y-ilz
(:*-»-&) ^/l — z*]/lqic^z* — z*^lzf.c*z* (s — fc)" (/T— ipe’r’
Parmi ces différentielles, les unes sont irréductibles et leur intégrale ne s’obtient que par les méthodes d’approximation dont nous parlerons pins loin. Telles sont les deux suivantes ;
dz dz
auxquelles nous joignons la différentielle
j/l =p c-z* dz
Nous allons voir que les autres s’intégrent d’une manière eompicte par les méthodes connues ou sont réductibles à Tune de ees trois dernières formes.
465. Première formule de réduction. — Occupons-nous d’abord de la différentielle
z”dz
Lorsque »i est impair ou de la forme !2n-»- 1, l’inlégralion peut se faire d’une manière complète, car en remplaeant z* par «, la différentielle devient
u'du u'du
'2\/i — « |/ 1 — cfu '2 l/l — (c* -A- 1) « -H c*tP
qu’on sait être intégrable (N" 134).
Supposons mpairetégal à 2/i. Si on différencie z*»-* i/r:?i/i-c*zs on trouve
