CHAPITRE XII

d’où l’on lire en intégrant les deux membres cl en divisant par c* (2n — 1),

z^"ilz ji»-’ |/l — |/l —

(I ^-f*) (2/1—2) (■ z*"-*(/r 2/J — 3 Ç z^-^ilz

c*(2//-l) J/Ïi::?,/Ï3^ c‘(2n-l) 3 ■

Celle formule de réduction fait dépendre l’intégration de la différenlielle contenant z*", de l’intégration de deux différentielles entièrement semblables, mais dans lesquelles 2/» est remplacé par 2/» — 2 et 2/1 — 4. On pourra donc, par des substitutions successives, ramener cette différentielle aux deux suivantes

dz z^dz

La première est une des trois différentielles irréductibles. La seconde mise sous la rorme

‘ c* 1 l/ 1 - c’z^ ^ 1^ dz

y/l —-ty/\ZZc^i ~ C* y/ \ j/

est ramenée à deux des trois différentielles irréductibles. Ce qu’on vient de dire subsisterait encore si au lieu de — c* on écrivait + c*. Passons à la différentielle

dz

On peut la mettre sous la forme

(z -+- II) dz zdz

(z* - ù*) y/l-z*y/i —cV (z^ — b^) y/\ — z’ y/l — c-z*

bdz

CAIXCI, IMKGHAt..

r>;ii

Ln première partie devient, en remplneant s* par u,

dn

qui est intégrable. La seconde partie se confond avec la deiixicnie dilTérentielIc irréductible mentionnée plus baut. 11 en serait de meme si H- c* était remplacé par — c*.

1G6. Seconde formule de réduction. — Considérons la dilTércnticlle (az -+■ a'} dz

dans laquelle le coelTlcient c’ peut être pris indilTéremment avec le

signe plus ou avec le signe moins. Elle se décompose en deux par-

azdz a'dz , ,

tics ^ H — ; i — . dont la première s intégré

[z- -t- b)" V/^ (Z* -A- 6)- VA ®

immédiatement en remplaçant z^ par u. 11 ne reste donc h intégrer

- l/j -* l/j ji-i

que lu seconde. Si l’on différencie la fonction — — -- *

on est conduit à l’identité.

fe -t- 2* [I — 2 (n — 1) — 26 ( 1 -4- e*)] -h z‘ j 56c* (1 -i- c*) (2« — *) j - c*2« (2n — S)

dz.

Remplaçons dans le second membre z* + b par m ou z- par « — 6; le numérateur étant développé, prendra la forme

A -+- Bu -4- Cw* ■+■ Du^

dans laquelle les coefficients ont les valeurs suivantes :

A == (2n — 2) [6 -t- 6* (i c*) -h 6®c*] fl = — 12« — â) [1 H- 26 (1 -4- c*) -4- 56‘c*] C = -4- (2n — 4) (1 -4- c* -4- 56c*) i) =■ - (2« — b) c*.

ClIAPimt Ml.

valeurs qui obéissent à celte loi :

2« — 5rf.< i ‘in — UtdKi 2»— S d\i

2;» — 2 db' 1.2 2» — 2 </b* ’ 1.2.3 2>i — 2 db^

Le second membre de l’cqualion différentielle (1) devient en substituant,

c’est-à-dire,

et après avoir divisé les deux membres par — z’ (/ 1 — c’z’ et

intégré, on trouve

r d: zy i — Z* y i — c’z’

fl r rfz c r dz