DC
Celle nouvelle formule de réduction fait déjicndrc l’intégrale cherebée de trois intégrales semblables, mais dans lesquelles l’exposant n est réduit à n — 1, n — 2, n — 3. Elle peut donc servir à exprimer l’intégrale cherchée en fonction d’intégrales de plus en plus simples. Quand n sera réduit à 2, C est nul et l’intégrale de
ne dépendra plus que des deux intégrales suivantes :
CAI.Ct’I. IMTÉGRAI,. 5^3
Les (leux premières sont deux des intégrales imiduetiblcs; la troisième peut SC mettre sous la forme
f {z*-^-b)dz r bdz f z^dz
J /l — Î* (/l— c‘i* 3 |/t —Z* j/l — c*s* 3 ^/l — z‘ (/l — eV
c’est-à-dire, qu’elle sc calculera au moyen de la première intégrale irréductible et d’une intégrale dont on s’est occupé au N” lüb pour la ramener aux deux premières intégrales irréductibles.
Il est à observer que l’on ne peut faire diminuer « jusqu’à devenir égal à l’unitc, parce qu’il résulte des valeurs trouvées pour A, que ce cocflîcicnt serait nul et la valeur de l’intégrale, composée de termes infinis.
On peut déduire d’une manière plus simple l’intégrale de
dz
de la valeur supposée connue, de l’intégrale irréductible
en effet si l’on désigne celle-ci par ij> (z, b), on aura en dérivant successivement les deux membres par rapport à b,
f dz d<f
3 (z* 6)* l/l — Z* j/n^ c’z» db '
r dz 1 (f’y
3 (z* -f- 6)* l/l — Z* l/l — c*z* 1.2 db*’
et ainsi de suite. On peut donc poser cette formule générale
dz
(z* -A- b)" i/l — z* l/l — c*z* < .2.3.... (n — 1) db-'
lf>7. Troisième formule de réduction. — Considérons enfin la différentielle
dz
5ri4 ciiAriTRE XII.
On peut In mcllrc sous la forme
(î-i- li)’ ilz
(ï* — fc-)" >/l — s* ^/^ =F
et si l’on développe le numérateur, on aura à intégrer une suite <lc termes de la forme
(;1 6‘)- p/l — Z* |/i zp
Quand «i est impair, en remplaçant s’ par «, la différentielle est intégrable par les fonetions élémentaires. Si m est pair et égal à 2i«,
en posants* — b* = ii, on pourra remplacer P***' ’
qui, en développant le bindine, se compose de termes de la forme — parce que 2m <[ n.
La différentielle se décomposera donc en d’autres de la forme
aàz
{z^ — b^Y /l— s* l/lrpc*s*
qui est du genre de celle dont on s’est occupé plus haut.
168. Transformation des trois dilférentieltes irréductibles, en transcendantes elliptiques. — Les trois différentielles irréductibles aux-
Pdx
quelles nous venons de ramener toute différentielle-^» savoir;
dz
dz
prennent la forme
rf; |/l ± c*s
etc., lorsque z est égal l’i
y i -I- s'* (/ 1 zp c'^z!*
z! [/ — 1 ou lorsque a® est négatif dans s* = de la fin du 163. Si le terme en x* sous le radical R était négatif, il suffirait de
multiplier le dénominateur i>ar — 1 et les trois différentielles
prendraient l’iinc des formes * * — , etc., etc., ou
|/î* — i [/ i zp c^z*
