CHAPITRE I

on a fait la remarque que l'on pouvait, sans changer les résultats , traiter drj et dx euinme îles grandeurs infiniment petites, susceptibles de toutes les operations de l’algèbre, ee qui a permis de considérer

non plus comme un simple signe, mais eomrae un véritable rapport entre raccroissement de la fonction et celui de la variable, ces accroissements étant iiifinimcut petits à la vérité, mais soumis à toutes les régies de la différenciation ; ainsi la difTérentielle de dy est d {dy) que l’on convient d’écrire ainsi et qu’on nomme différentielle seconde de y. De même la différentielle de d*y, est d (d^y), que l’on écrit d^y, c’est-à-dire, différentielle troisième de y. Il en est de même de dx] cependant comme x est la variable indépendante, c’csl-à-dirc, celle il laquelle un attribue un accroissement facultatif, on peut pour simplifier, admettre que x augmente toujours par intervalles égaux, ce qui rend dx constant et scs diffcreulicllcs successives nulles. Cela

posé, si on prend la différentielle de la fraction en supposant le dénominateur constant, un trouve

\dxj dx dx

et le coefficient différentiel qui s’obtient en divisant par dx, prendra

d*ii (/*!/ </*i/

la forme -r-r- On trouvera de mêinc-r^i ~ pour les coefficients dx* </x> dx-

différentiels du 3““' et du n"’* ordre.

Ces nutations auxquelles nous a conduit la considération en apparence peu rigoureuse des infiniment petits, ont été conservées dans la théorie des limites pour représenter les dérivées des différents

ordres, d’abord parce que la nutation indique claircmcul que cette

quantité s’obtient par n dérivations successives de y par rapport à x et en second lieu, parce que leur adoption présente cet avantage important que l’on peut à chaque instant transformer les résultats obtenus par la considération des infiniment petits, dans ceux qu’eut donnés la théorie des limites. Par exemple, les dérivées successives de la fonction x” trouvées plus haut, pourront aussi être obtenues de la manière suivante, en faisant usage des infiniment petits : une première difféicnciotion donne

dy = mx”"' dx.

CAIXOL DIFFÉRENTIEL.

Si on dilTcrcncic une seconde fois en traitant dy comme variable et dx comme constant, on trouve

dhj

d’où l’on tirera, quand on le voudra, la valeur de — ; et cette valeur

dx*

sera identiquement la meme que si l’on eut pris la dérivée de la dérivée du premier ordre. En dilTércnciant une troisième Cuis les deux incinlircs de l’équation précédente, il vient

d^y == m (m — 1 ) (m — 2) x""* <ix’

qui servira à déterminer » et ainsi de suite. dx*

22. Dérivées successives d’une fonction de fonction. — Les dérivées d^u d^u

successives d’une fonction de fonction donnée par le

système des deux équations

y=fu, u = Fx,

s’obtiennent comme suit : une première dérivation donne (N°8)

•hL^iy.'lü^ruF'x

dx du dx ' ’

cl si l’on prend une seconde fois la dérivée des deux membres par

rapporta x, en remarquant I" que la dérivée dc^cst-j-=jj 2" que

est une fonction de u tirée de y = fu

et que pur conséquent lu

dérivée de ^ par rapport à x est

du 'dx du*dx~'“

cl 3“ que la dérivée de -7- par rapport à x est -, — > dx dx*

on trouvera

dn\* djd^.^ rulF'x)*

dx* du* \^(/x / du dx* '

f'tiP'x.

CIIAPIIRK I.

En dérivant une troisième fois, on trouverait de même

d^y / du\^ ^ g d^y d*u du dy d^u dx’ du^\dxj du* dx* dx du dx^

Dans l’exemple suivant :

y = logsinx, ou bien y = \agu, « = sinx, on trouve

U ’ du* U* ’

du’

= eus X,

— =-s.nx,

et en substituant ,

dy cosx d*V cos'x sin x 1

— = = cotx, -r4= : 7~'

(IX U dx* tr U sm*x

d’y 2eos’x 3 sin x cosx

dx’ u’ U*

cosx

2 cosx sin ’x

^ 23. Dérivées successives , les deux variables étant données en fonc-

tion d'une troisième. — Sujiposons les deux variables y et x données en fonction d'une troisième, de manière que l'on ait

y = ft, x = Ft.

On sait (N“ 10) que la dérivée première est donnée par l’équation

dy f’I dt

dx F't dx

Pour trouver la dérivée seconde -r^>

dérivons les deux membres

de l’équation précédente par rapport à t, en observant que x étant fonction de t, on a

dt dx dt

dx* dt dx*

CALCUL DIFFEBENTIEL.

mais la dërivdc du second membre est

il vient donc

dx d*y dy d}x ^ Ftf 't — ftF’t dt"di'~'dt'di* dx* (FlY /dx\^

/dx\*

\Jt)

Une marche analogue fera connaître la valeur de — 'i ■ etc.

ox*

Prenons pour exemple

y = sint, x = cos(.

On trouve

f't = cos 1, f't = — sin (, Ft = — sin ( , F"t = — cos t ,

et par suite,

dy d’y sin cos

dx dx* ( — sin <)*

1 dhj 3 cos t sin*l dx’ sin’t

24. Dérivées successives des fonctions implicites. — Passons à la recherche des dérivées des différents ordres dans les équations implicites. On sait (N“ 20) que la dérivée du premier ordre de y dans /"(•^> y) = 0, est

dy dx

dx df

Le second membre est en générai une fonction de x et de y que nous représenterons par F(x, y) ; on a donc

ciupmiK I.

cl si OD prend la dérivée des deux incnibrcs par r.vpporl à jr, en obscr-

vant que la dérivée du premier membre est el que la dérivée du

second est

(IF tlF dy

dx dy dx

il viendra

(1^__(IF (IFdy dx* dx dy dx

ou, en rcmplaeanl par sa valeur

d*y dF dF

Le second membre est encore une fonetion de x et ÿ qu’on représentera par ÿ(x, y), de sorte que

qu’on (l<*rivcra de nouveau de la meme manière pour avoir — •

ax^

2Î). Equations dérivées successives. — Au lieu de chercher iniinc-

diatemenl les valeurs de , on préféré souvent suivre la

ax dx*

marche suivante : on sait que l'équation dérivée de

est, en représentant pour abréger la roiiclion jjar f cl la dérivée ~

par P,

P fs + A' = 0,

qui fera connailrc — quand on en aura besoin. Comme f, cl /"/ con-

CALCUL DIFFERENTIEL.

tiennent x et y et que p est une certaine fonction de i et y ou plutdt de X seul, puis(|u'on peut concevoir y renqilaeii par sa valeur eu x, on considérera le premier meinhre de celte é(|uation coinnic étant une foneliou de x variable indépendante, de y fonction de x et de p fonction de x. Si donc on convient de représenter par fJ\s, les

dérivées de f,' par rapport à la lettre y et par rapport à la lettre x, et par /y''y, les dérivées de /"/ par rapport à x cty, il viendra en prenant la dérivée totale des deux membres de cette équation par rapport à x,

pA':,== 0,

qui est Véqualion dérivée seconde de l’équation donnée, d’où l’on

tirera la valeur de ou tn representant par y, on consi- </x «X* dx ‘

dércra de même la fonction qui forme le premier membre de l’équation précédente comme contenant des x, des y fonction de x, des ^ lonclion de x et des y fonction de x, et si l’on prend la dérivée totale,

... rfy rf'y

on aura iequatwn denvee troisième contenant ^ou-y^ = r, qui

servira à déterminer

im*r — .

rfx*

Souvent au lieu de la notation fr",) qui indique le résultat d’une double dérivation, la première par rapport à 1a lettre x et la seconde

rfi/‘ ,

par rapport à la lettre y, on emploie la notation ^ à laquelle on est

conduit par la considération des infiniment petits. L'équation précédente devient alors

dij dx* rfyrfx rfx dij*\dxJ dx* dxdy dx Prenons pour exemple

xy - I = 0.

ciiArmiE I.

On lire de là

dy*

dH ^

dydx

dxdy

L’équation dérivée première est donc

Les équations dérivées seconde, troisième, etc., sont

. rf*w d^ij

2ü. Equaliotis dilférenlicUet successives d’une fonction implicite. — Les principes de In dilTérenciation conduisent d’une manière souvent plus commode aux équations dérivées successives d’une équation implicite donnée. La même équation nous servira d’exemple; sadifTcrcnticlle est

xdy -V- ydx — 0.

Si on différencie de nouveau eu traitant x, y, dy comme variables et dx comme constant, on trouve successivement,

xd*y -+- idydx = 0,

xd^y ôd^ydx — 0,

xd*y id^ydx = 0,

qui sont les équations différentielles seconde, troisième, etc., de l’équation implicite proposée. Elles reproduisent exactement les équations dérivées, en divisant les deux membres de la première par dx*, et par dx’, dx* les deux membres de la seconde, de la troi-

sième, etc.

CALCUL DIFFIÎHENTIEL.

Les mômes principes peuvent servir h déterminer les dérivées des

ordres supérieurs , quand la relation entre les variables

(Le* dx*

est donnée par un système de deux équations contenant, comme è la fin du N" 20, une troisième variable I,

car en prenant les équations dérivées successives de ces deux équations par rapport à la variable (, savoir

df dx df dy df dF dx dF dy dF

dx dt dy dl dl dx dl dy dt dt

dx dt* dx*\dt J dydx dt dt ’ dx dt*

dx dy d*x

on pourra déduire de ces équations les valeurs de — >

dt*

pour les substituer dans les formules du N° 23.

27. Changement de la variable indépendante. — Les dérivées suc-

dy d*y . . , ,

cessives -7-=^ tirées des équations

dx dx*

/"(•r. y) = 0 ou y=fx

ont été prises jusqu’ici en supposant x variable indépendante, ou, au point de vue de la considération des difTérenticllcs, en supposant dx

invariable. Si on voulait avoir les dérivées 4-^

dy dy* dy*

pour lesquelles x devient la variable dépendante et i/ la variable indépendante, il faudrait reprendre les dérivations successives de la fonction donnée, dans cette nouvelle liyputlièse ; mais il existe entre ces deux espèces de dérivées, des relations telles que, si les premières ont été calculées, on pourra immédiatement connaître les secondes. Pour trouver ces relations, remarquons que l’équation y = fr peut être remplacée pur le système des deux équations

et en prenant la nouvelle variable t pour variable inddpendante, on

t/x (l^JC (l^JC

a vu (N"* 10 et (iiic les dérivées -r-> -7—1 -r— etc., sont données

Jij. dif dtf

par les forinulcs

dx dtj d^x dx d*y

dl d*x (Ü (II* dt dt*

d(j (jji dy* dt

Or l’équation x — t donne -ft

dt*

et les formules deviennent, en observant que dt = dx.

dx 1 d*x dx

dx*

= etc.

([ui remplissent évidemment le but qu’on se proposait. En tirant de

et en

CCS équations les valeurs des anciennes dérivées

dx dx*

les substituant dans les équatiotis dérivées totales trouvées plus haut (X“* 20 et 2.’i), on obtiendra les équations dérivées prises dans l'iiypotbèse de y variable indépendante.

La première de ces éiiuations donne lieu à une remarque importante. Si on dérive l’équation

en prenant x pour variable indépendante, on a pour équation dérivée, dy'dx dx ’

et pour équation dilTérentiellc, eu multipliant pur dx,

df df -r-dy -V- dx = 0.

dy •’ dx

CALCUL DIFFI^nENTIEL.

En chanccanl-- en -r-> dx dx

on a pour équation dérivée, dans l’Iiypo-

llièse de y variable indé])cndante,

dy dx dx ’ dy dx dy

cl pour équation différentielle , en multipliant par dy.

dx = 0.

On voit donc que l’ér/ualion différentitlle première d'une équation à deux varitdtles reste la même quelle que soit celle des deux que l'un prenne pour variuhle indépendante. Celte remarque iic s’applique qu’aux équations différentielles premières.