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eus y

iiiipossihie.

Ô.'iG

CIIAPITKK Ml.

En cfTcctuant cc$ substitutions, on rcconnnit sans peine que toutes les dilTcTcntielles se ramènent h l'une des trois formes,

, dy ^ 1 — A'* si II ^ y ,

j/T — /î'sin’y (sin * y 6) (/l — fc*sin*y

k étant toujours plus petit que l'unité. Prenons pour exemple le eas 9°. La première dilTérentiellË devient

idy

dy

y^cos*y-h^ + l-^^^sin>y

La seconde prend la forme dy

(sin^y — l)dy

I 1% / 1 sin’y I sin’y 7— — Iv / 1 — -siri

\ e^cosVV ® V /V

dy

dy

La troisième dilTércnticIlc devient sin’ydy

— sin’y) y/

,____^sin’y dy

dy

(sin’y— 1)^/ 1— —^sin’yj

et l'on voit que les düTércnticllcs transformées ont toutes l’une des trois formes indiquées.

Il suit de 16 que rintégralion de la dilTércnticIlc elliptique la plus compliquée dépend dans tous les cas des trois intégrales suivantes.

CALCl'L I.NTÉCIIAL.

d.ins lesquelles k* csl réel et plus petit que l’unité, et >i est réel, positif ou négatif, savoir :

^ l/ i — k* sin’ y

f f/y (/ 1 — A* sin* y ,

i(l -t- n sin*

(iy

y) ^ I — A* siu*y

Elles ont été appelées fonctions elliptiques ou transcendantes elliptiques fie première, de seconde et de troisième espèce. Cumme elles sont des fonctions déterminées de y et de k pour les deux premières, et de y, k et n pour la troisième , Legendre les a désignées par Fy ou F (y,A) pour la première, par Ey ou E (y, A} pour la seconde et par Ily ou n (y. A, n) pour la troisième. Verliulst dans son Traité des fonctions elliptiques, leur donne les noms de digamma, de epsilon et de kappa, et les désigne par

d'g- (?.A). eps- (î.A), kap. (y. A, n).

A SC nomme module, n paramètre, cl y amplitude de la fonction.

De meme que certaines intégrales ne sont exprimables qu’en logarithmes cl en lignes trigonomélriqucs, de même les intégrales des

düTércnticllcs de la forme ne sont exprimables qu’en digamma.

epsilon et kappa. Ces dernières fonctions sont donc introduites dans l’analyse au même titre que les logarillirocs et les lignes trigonométriques, y servent A peu près aux mêmes usages et jouissent de propriétés analogues, dont la démonstration fait plus particulièrement l’objet de la théorie des fonctions elliptiques.

16!). Développement en séries des transcendantes elliptiques des deux premières espèces. Construction des taUes. — Les valeurs fie CCS nouvelles fonctions peuvent être représentées par des séries convergentes inrtnics qui permettent de calculer ce qu’elles deviennent pour toute valeur du paramètre et du module et pour des valeurs de l’amplitude croissant de minute en minute, comme les valeurs des logarithmes et des lignes trigonométriques l’ont été pour tous les nombres et pour tous les arcs fie cercle. Ces valeurs consignées dans des tables forment ce qu’on appelle des tables des fonctions digamma, epsilon ou kappa qui servent au même usage que les tables de logarithmes ou de sinus.

Si dans la fonction dig (y. A) on remplace sin y par g, elle reprend la forme

tli

ig (1 - A*,*)- .

J l/l — .y*/l — A*</* J l/l — ly*