CHAPITRE XII

Développons (i — ’cn série; eclle-ci sera toujours convergente,

puisque y et A'* sont inférieurs à l'unité, et le calcul de la fonction (lig (ÿ, k) SC réduira à l'intégrulion d'une suite de termes de la

forme — • On trouve ainsi, après avoir remis pour y sa valeur

sin y, et en faisant commencer l'intégrale avec l'amplitude y,

dig (y , A) = y j I H- A> + /:* __ A- + etc. j

- sin ï eos ? [1 . i A» -s- ^ A* (^isin^y +

Cette série est d'autant plus convergente que le module k est plus petit. On trouve de la même manière pour la fonction epxUon,

cps. (ï. A) = ¥ j 1 ^ ™ -

-GA*' — etc.

-A- Sin ? eos ? A* + A*

A- , . A'' I - sin *9 -A- -—sin *9 -a- — — 1 -h etc. • 2.4.G \6 G. 4 ^ G. 4. 2/ J

I/O. Développement en série, de la fonction elliptiyiie de troisième espèce, le paramètre étant positif. — Le développement eu série convergente, de la fonction kappa est plus coni|diqué, parce qu'elle contient, outre le module A’ toujours réel et fractionnaire, un paramètre n dont la valeur n'est pas limitée. Lorsque n est positif on y parvient de la manière suivante : posons

^ =n — A’ siu’»l ' = 1 -A- - A’ sin*9 -A- .Î-C A* sin *9

j/1 — A- sin *9

■*- --- — ; A* Sin'’» -A- etc.

Cette série est toujours convergente, puisque A et sin y sont plus [tetits

CAIXL'I. INTÉGRAI..

qiifi l'iinilé. Itcinpliiçons sin*iî>, siii*y, sin'''y par leur valeur en

eus 2?, eus ty, cos fiy donnée au N" 4'J ; on trouve

— — — ^ ~ 1 ■'* -+- /? eos 2y C cos 4y D cos (îy -t- etc. ! (1 -t- h)

y i — i* sin*y ( (

dans laquelle b et les eoeflicienls B, C.... ont les valeurs suivantes ;

+ fco ^ ete.

n = — % (l^-.—b^+— -~b^ ctc.^

E == etc.

Ces dernières valeurs sont toujours convergentes, parce que 6 est plus petit que runité et la série A -+- B cos 2y -+- etc. est aussi convergente, meme si l’on prend tous les termes positivement et i plus forte raison si on leur laisse leurs signes, car les valeurs de A, B, C, etc. sont visiblement inférieures h