t- « sin*Ÿ

1 cos 2y ■+■ 2b'* cos i-f -+- 26'* cos 6y ■+■ etc. ,

développement qu’on vérifie en remplaçant sin*y

en faisant disparaître ensuite le dénominateur et en remplaçant partout les produits de la forme cos 7Hf cos 2^ par

- eos (m 2) ip - cos {«i — 2) y.

On reconnaît ainsi que tous les termes se détruisent identiquement.

D’après ce qu’on a vu au N” 36, le développement précédent est toujours convergent.

En substituant ces deux développements dans la fonction kappa, 1 , , 1 , X

remplaçant cosptyeosvy par— cos (jx v)ij> -t- -cos (p — v)y et intégrant, il vient, en faisant eomincnecr l'intégrale avec l’amplitude

J (1 -t- » siii * f) y/ 1 — k* sin * ?

= A'tf -+- D' sin 2rf C sin 4y -i- lï sin 6» etc. dans laquelle on fait

/, = KJLZli: , fiA' = A Bb' -V- Cb’* -4- Z)6'* -7- etc.

hC'=.-^hA'^-^-,~A

hiy h A -4- -^A -4- —^B^—J^C

liE' — etc.

CALCUL INTÉCRAL.

171. Cas du paramètre négatif. — La fornmle du numéro précédent serait encore convergente si ti était négatif et très petit, puisqu’il

suffirait de remplaeer h par '

mais il n’en serait plus de

même si n étant négatif, était supérieur a l’unité ; car alors b' serait imaginaire et la série précédente cesserait d’étre convergente. On mettrait dans ce cas la diflércnliellc sous la forme suivante :

drf

' sin*Ÿ

1 — nsin’y

-sin*v)] ’

En dévelop-

(1 — nsin ’ÿ) (/^l — - /s’sir

dans laquelle e* représente — et m'* remplace —

pant ensuite le binôme

[e’ -t- (m'* — sin*',))] ’ = (e* -t- a) ’ ,

on est conduit à une série convergente, du moins lorsque e’ ou

■j^ est supérieur à o, ce qui a lieu lorsque e’ est supérieur à m'*,

c’est4-dirc lorsque n est plus grand que En s’arrêtant aux termes de 5° puissance de a et ordonnant suivant les puissances croissantes de sin O, puis intégrant, il vient,

, (" dv » /t 1.3 m'* i.s.sm'* 1.3.S.7 m'® 1.3. 5. 7.

km' kappa = \ r-i ; I r n T T

Jm * — siu’ÿ e* \* î.v e* i.A.s c* s. 4. 6. s e® *.4.6. s.

-( -4 \r sin’sa®

e* \9.4 *.4.6 e' *.4.0.8 e* *.4.c.s.io e“ y

( ——-4- — l7sin*c>dŸ

1 1 / sm“v«<ï>

Les intégrales indiquées s’obtiennent en remplaçant sin'j> (>ar x, ec qui leur fait prendre les formes

f dx f x'dx r x*dx

yr

etc.

r.tiAriiRE XII.

En substituant les valeurs de ces intégrales cl rcmplaeant dans la

première intégrale par sin r,, le facteur ni' ou — qui est moindre que

l'unité, il vient enfin, l’intégrale eommeneant avec l’amplitude f,

ketn* kappa log ^

2 sin 2/; ® \^sin (/) — f)J