CHAPITRE XllI

Equations (JilTén'nlicIles implicites. Diiïcrcntiellcs iimiiédiates et médiales. Intégrales immédiales et médiates. — Toute équation dirTérenticlle implicite a une intégrale. — Condition d'iiitcgrabilité immédiate des diiïérentielles implicites.

— Intégration des fonctions qui satisfont à la condition d^intégrabilité immédiate.

— Existence d’un facteur propre à rendre difTérciUielle exacte une dilTéreniielle donnée. ~ Détermination de ce facteur. — Séparation des variables. Equations homogènes. Thcorèine sur les différentielles homogènes. — Second théorème sur les différentielles liomugènes. — Procédés divers d’intégration. Problèmes divers. Prublèiiie des trajectoires.

172. Eqnaiiom différentielles implicites. Différentielles immédiates et médiales. Intégrales immédiates et médiates. — Dans les chopitres prcnédenls, ou iuî s’est occupé que de Tinlégralion des différentielles d'une seule variable ^xdx, ou des équations différentielles explicites h deux variables

considérons maintcnanl les équations implicites à deux variables

Ou ne peut pas aflirnier d priori, comme dans le cas précédent, que cette équation est une différentielle exacte, c’est-à-dire, qu’elle peut cire obtenue parla seule opération de la différenciation d’une certaine fonction primitive

CALCUL I.NTÉGIIAL. 3Gü

ciir si en différenciant celte dernière, on obtient In différentielle exacte mdy -t- ndx = 0,

en effectuant sur cette dernière équation une opération légitime qui n’en change pas la signification, par exemple, en multipliant ses deux membres par une fonction quelconque de {x,y) nu en combinant cette différentielle avec f(x, y) = 0, soit pour éliminer une constante, soit pour y faire quelque réduction , on sera dans tous les cas conduit à une équation différentielle

Mdy -Wx = 0

différente de la précédente, quoique restant une déduction et par (tonséqucnl une différentielle de l'équation primitive

mais elle ne se déduira plus de cellc-ci par le seul procédé de la différenciation. De là résulte la nécessité de distinguer deux espèces d’équations différentielles à deux variables, les équations différentielles immédiates qui sont obtenues par la seule différenciation et qui par conséquent sont toujours des équations différentielles exactes, et les équations différentielles médiales qui résultent de la différenciation d’une fonction primitive combinée avec des opérations algébriques, cl qui par conséquent ne deviennent équations différentielles exactes qu’après avoir subi ccrlaiiics transformations; ainsi

est la différentielle immédiate de

tandis que

ydx — xdy = 0,

ipii est une conséquence de l’équation différentielle précédente, n’en est plus que la différentielle médiate et ne deviendra différentielle

cnxmriE xiii.

cxnclc que lorsqu’on aura rétabli le dénoniinaleur en mulliplianl les deux luciiibres pur le facteur — - De même

rj* — 'iax = 0

a pour (KlTércMtiellc immédiate

— ''iadx — 0;

mais si l’on élimine a entre ces deux équations, eette dernière prendra la forme

'2xdy — ydx = O,

qui ne sera plus que la difTérentielIc médiate de l’équation primitive. Les deux équations

"iijdij — '■Jadx = 0, î2x(/i/ — ydx = 0,

pouvant toutes deux se déduire par la diiïércnciation combinée avec d’autres opérations légitimes, de l’équation primitive

cette dernière est ajipeléc intégrale de l’une et de l’autre, ce qui exige que la définition donnée précédemment, d’une intégrale, soit un peu modifiée; nous appellerons donc en général intégrale ou équation intégrale d’une équation différentielle donnée, toute équation primitive île laquelle on peut déduire cette diiïércnticlle. Si la seule opération de la difTércuciation suffit pour cela, l’intégrulc est dite à son tour immédiate, et si certaines transformations dans cette différentielle immédiate sont nécessaires pour retrouver la différentielle donnée, cette intégrale est dite alors médiale.

175. Tonte équation différentielle implicite a une intégrale. — A une équation différentielle quelconque ù deux variables correspond toujours une équation primitive eu (x, g) contenant une constante arbi-

l’équation donnée, en posant

C\LCl'L IMTKCII\1..

cl qil’on (Idrivc siicccssivcinenl pur rapport ù x les deux membres de celte éqiialiuii, en remplaçanl ehuquc fuis dans le second membre,

•—par sa valeur en (i, y), on parviendra ù exprimer Imites les déri-

'Jy, ‘}ll.

dx dx*

en fonction de ces deux variables. Cela posé, dans la

formule de Jean Bernonlly (N“ 158), remplaçons-^ par f(x, y) et les

dérivées supérieures par leur valeur en {x, y) dont il vient d’élre

question, valeurs que nous désignerons jiar /-'(x, y), y (x, y) , celte

formule deviendra

y = C -4- (x — a) /•(x, y) — ^ F{x, y) -t- -^ “-?(x, y) — etc.

qui ne contient plus de trace de dérivée et forme par conséquent Vtitlégrale de la proiioséc. Comme a est une quantité dont on peut disposer à volonté, on pourra faire en sorte que, entre certaines limites des valeurs de x, x — o soit assez petit pour que la série soit convergente.

L’intégrale se présente ici avec la constante arbitraire C isolée; mais il peut arriver, quand on emploie d’autres procédés, que C soit multiplié par une fonction de x ou de y, ce qui a lieu d’ailleurs dans l'intégrale précédente si l’on multiplie les deux membres par une fonction quelconque, ou qu'on élève les deux membres à une certaine puissance, etc. Lorsque la constante arbitraire C n’est pas isolée, en dérivant l’intégrale, cette constante ne disparait pas par le seul effet de la dérivation et l’on ne retrouve pas immédiatement la dérivée donnée, puisque celle-ci ne contient pas C. Pour la reproduire, il faut éliminer celle quantité C entre l’intégrale et sa dérivée. On est ainsi conduit ù une équation qui ne contient plus que des x, des y

ct^i laquelle doit donner jiour ^ une valeur identiquement la

meme que l’équation dérivée proposée, puisque si elle en différait.

on pourrait égaler les valeurs de — tirées de ces deux équations, ce

qui conduirait ù une équation en x cl y qui, étant jointe ù l'intégrale, laquelle forme une équation distincte de la précédente puisqu'elle contient C, donnerait pour (i, y) des valeurs constantes, résultat absurde. 174. Condition d’intéyrahililé immédiate des différentielles impli-