CHAPITRE Mil
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indiqué plus haut, le numcrateur étant évidcraincnl d’un degré moins élevé d’une unité que le dénominateur, dans la fraction homogène Mdy -A- Ndx ihj -t- .Vx
181. Procédés divers d’intégration. Problèmes divers. Problème des trajectoires. — Quelquefois nu peut, par un changement de variable, ou pur une transformulioii, rendre intégrable une équation différent ticlle qui primitivement ne l’était pas; ainsi
(ax -V- b y -t- c)" dy (a'x -i- b' y -t- </)' dx = O deviendra homogène si l’on fait
ax -V- by c = Z, a'x -v- b' y d = u
et pourra par conséquent être intégrée. De meme si dans l’équation dy -I- Pydx = Qy’dx,
P et Q sont des fonctions de x, en faisant y = z'~', elle devient dz — (»i — 1) Pzdx — — (« — 1) Qdx
qui est intégrable coininc l’équation linéaire du premier ordre (N“ 177). Cette équation düTérentielIc est connue sous le nom de Equation de Jacques Bcrnoully.
Les problèmes suivants offrent des applications des méthodes d’intégration exposées plus haut.
i” Trouver une courbe telle que l’aire du quadrilatère formé par les deux axes rectangulaires, l'ordonnée et la tangente, soit proportionnelle au carré de l'ordonnée.
Cette aire est représentée par x et la condition
exprimée par l’équation
est
loy*
qui est homogène cl a |iour intégrale
X* — 'iaxy -i- Cy = 0.
CALCUL I.X'TLCRAL.
Elle représente une hyperbole. Si l’aire devait être proportionnelle nu carré de l’abscisse, on trouverait pour solution une parabole aynnt pour équation
I* + jtaCx = Cy.
2* Trouver une courbe telle que la distance de l'un de ses points à l'origine soit partout moyenne proportionnelle entre la sous-normale et une constante a.
On trouve sans peine l’équation de condition
d’où l’on tire
dy — -ydx =— J/-* dx
qui rentre dans l’équation de Jacques Bcrnoully. Son intégrale est
y* = Ce " — I* — ax — — •
3° Pour dernière application, nous prendrons la théorie des trajectoires. C’est ainsi que l’on appelle en analyse, la courbe qui coupe sous un angle constant toutes les courbes représentées par une même équation
f(x, IJ, a) = 0,
dans laquelle le paramétré a prend toutes les valeurs possibles. Lu touchante ù la eourbe variable fuit avec l’axe des X un angle dont la
tangente trigonometrique est -
dx
dy
, en représentant par f la fonc-
tion f{x, y, a). La touchante à la trajectoire, au point où elle croise la eourbe variable, fait avec le même axe un angle ayant pour tangente
trigonoinétrique^^ ; ces deux tangentes font donc entre elles un dx
ô8(i ciuriTfiK xiii.
angle ayant pour tangente
ilrj dx
dx ^ df df dy df
dy dy dx dx
dy dx dy dx dx
~Tx~^
Kn représentant la tangente de eet angle eonstant par k, il vient donc
J dy dx dx
dy dx dx Af Af
ol si, ftpres avoir remplacé -/-cl -7^ par leur valeur tirée de dx dy
on élimine a entre cette dernière et la valeur de k, on aura une équation dilTércnticlic qui sera indé|iendante de a et qui conviendra par conséquent à toutes les intersections des courbes variables par la trajectoire; elle sera donc l’équation dilTércnticlle de cette dernière. Si la trajectoire doit rencontrer la courbe variable sous un angle droit,
auquel cas la trajectoire est dite orthogonale , il faudra faire alors j = 0
et par conséquent
dy dx dx
Cette équation dilTércnticlle représente toutes les trajectoires orthogonales possibles pour la courbe variable donnée et l'intégrale de cette équation contient une constante arbitraire que l’on détermine en assujetissant la courbe à une condition particulière, par exemple, à passer par un point donné.
Proposons-nous, par exemple, de trouver la trajectoire orthogonale
CALCDL INTÉCBAL.
de tous Us cercles tangents en un meme point d'une droite donnée. Kii prenant cc point pour origine et la droite pour axe des Y, l’équation de l'un des cercles est
y* — ;2«jr -t- X* = ü;
on a donc
= 2»/, '^—'■Ix — 'îa
dx
et par conséquent
L’éliuiinalion de a entre cette dernière et l’équation du cercle donne 2xydx (y* — X*) dg = 0
qui prend la forme de l’équation linéaire du premier ordre en faisant x’ = Z, et l’on trouve pour intégrale
x* = tj[C— g),
c’est-à-dire, que la trajectoire orthogonale est un cercle quelconque tangent à l’axe des X, à l’origine. Si la trajeetoire doit passer par un point dont les coordonnées sont (x', g'), on détermine C par la condition
Cherchons encore la trajectoire oblique d'une droite mobile passant par un point fixe. Cette droite est donnée par y — ax et ré(|uatiou de condition prend la forme
En éliminant le paramètre variable a , on trouve pour équation dilTérenticlle de la trajectoire,
{kg — x)dg -r- (kx -r- g) dx = 0.
CIIAI'ITRK XIII.
Celle équation étant Iiumogèiic, la séparation des variables s'opère immédiatement en passant aux coordonnées polaires, d'après ee qu’on a vu au N” 178 et il vient en reinjilaeant x et y par r eos ( et r sin (,
(tr
dt
d’où r = Ce‘ .
La trajectoire oblique est donc une spirale logarithmique. On a vu en elTct {N“ 73) que dans cette courbe, l’angle formé par le rayon vecteur avec la tangente est constant.
