CHAPITRE XIV

InU'jjmlion (h*s cM|nations difTt'n ntidlcs du pmnier ordpp cl d’im dcj;iT quch on<|uc.

— Iiitcfirnliou duii.H ccrUins cas particuliers, — Prtddèmes divers. — IJgncs de courhure de rcllipM>îdc. — Soliiliotis .singulières des êqiinliuns difTémitielies.

— Soluliuns singulières déduites de Téqualion dérivée. Kxeiiiph*.s divers. — Signilicatinii géumétrique des solutions singulières. — Théorie géométrique des solutions singulières.

18^. Intégration des équations différentielles du premier ordre et iCun degré quelconque. — Souvent en posant certains problèmes en équation, on est conduit à des équations dérivées dans lesquelles le

eoeflicient est élevé à une puissance supérieure à la première. On

appelle encore intégrale toute équation primitive qui étant différen-

eicc, donne pour *-^unc valeur qui satisfait à l’équation dérivée don-

(IX

née. Pour trouver l’intégrale d’nnc semblable équation, dont la forme la plus générale est

A, n, C, P, Q, etc., étant des fonctions de (x, y], remarquons que si un

la résout par rapport à et qu’on représente par f, f" les dil-

férenlcs racines, on pourra la mettre sous la forme

3‘JO ciiAPimE XIV.

L’équutiuii différcntiüllc proposée exprime donc que l’un des facteurs

lin premier membre est nul, c’est-à-dire que le coefficient -j- est égal

à l’nne des fonelions f,P, /” et que ré(|uation donnée tient lieu

de l’une quelconque des suivantes

,lx '* ,Ix dx~~'

dont les intégrales satisferont toutes à l’équation difTérentielIc proposée et en seront par conséquent des intégrales.

De même que l’équation difTérentielIc du degré n, quoique unique,

indique les « valeurs que peut prendre de même on peut aussi

renfermer dans une même équation les n intégrales qui satisfont à la proposée; en effet si F{x, y, C)==0, F'{x,y, C') — 0,

F"{x, y, C") = 0, etc. sont les intégrales correspondantes à chaque

valeur de —■> il suffira de poser l’équation

(IX

(|ui indique que l’un quelconque des facteurs est nul et qui reproduit par conséquent chacune des intégrales. Cette dernière équation est dite pour cette raison Vinlégrale complète de l'équation du degré n. Comme ilans les applications, chaque facteur cloit être égalé séparément à zéro, il est inutile de distinguer les différentes constantes arbitraires pur des lettres particulières C, C, C", etc. ; l’intégrale complète peut se mettre sous la forme

.\insi l’équation

(jdy^ — x(/x' = tl ou n'est autre ([ue lu suivante

kai.ci:l ivTtuiUl..

cl son inU'gralc compiclc est

fÿ' (- 1 +l/— 3) -H C][ÿ ' — (- 1 - /l-ô)-+- q=().

on {lien

183. Intégration dans certains cas particuliers. — La résolnliun du

par rapport a — peut présenter des didicultés que l’on évite quelquefois, lorsque l'equation est résoluble par rapport à ou par rapport à x; car en désignanl^^par p, on pourra en tirer dans le premier cas,

d’où, en dérivant par rapport h x,

du f/o do dp

ou U = .

dx dx dp dx

, do do

Comme ■ÿ^ct sont des fonctions connues de x et p, celle équation

est une dérivée du premier degré et du [ircmier ordre entre les variables p et X. Après l’avoir intégrée, il suflira d’éliminer p entre l’intégrale et l’équation proposée pour avoir l’équation en (x, y) que l'on eherehe. Dans le deuxième cas on aura

d’où, en dérivant par rapport à x,

dfdy df dp df dfpdp

dy dx dp dx dy dp dy ’

et comme et -r- ne sont fonctions que dey et p, il suflira d’intégrer dy dp

cette équation différentielle du premier degré et du premier ordre à deux variables y et p et d’éliminer ensuite p entre l’intégrale cl l’équation différentielle donnée. Prenons pour exemple

( — — 2.r -4- y = O ou p* — 2px -+- y = 0.

\dx / dx

CIlAlMTnE XIV.

Kn n’solvant pur rapport à y et ilcrivaiit, il vient

équation homogène en p cl x, ({ni a pour intégrale

En éliminant /J entre cette dernière et la proposée, on trouve pour l’intégrale cherchée

— âxt/ ± 2 (x' — ÿ)’ = 2C,

ou plutôt, en confondant les deux solutions,

(2C + ôxy — 2x’)* = 4 (x* — y)".

184. Problèmes divers. — Les problèmes suivant serviront d’application aux méthodes d’intégration exposées dans les numéros qui précèdent.

1” Trouver une courbe rapportée à des axes rectangulaires , telle que su normale en un point quelconque soit égale à la distance de ce point à l’origine.

Ce problème conduit à l’équation

ou bien

Au point de vue analytique, l'intégrale complète de celte équation diiïércnticlle est

{y* — x’ — 6’) (y* -4- x‘ — C) = 0) ou Cv’ — f-)* — x* = O;

mais si l’on se place au point de vue géométrique, on trouvera l’équation de la courbe cherchée en égalant séparément à zéro chacun des ('acteurs. La première solution

CALCUL iNTL'CRAL.

donne une hyperbole cquilolcre rapportde h scs axes, el la seconde,

donne un cercle rapporte à son centre.

2" Trouver une tourbe telle que la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la tangente soit égale à l'ordonnée du point de contact. L'équation différentielle du problème est

d’où l’on lire

(Ix X* — y*

cl l’oH trouve pour inlt^grale complète,

(x*-t-t/~Cy){y-C)==0,

et pour solutions, une droite parallèle à l’axe des X el un cercle rapporté à une tangente et à un diamètre perpendiculaire.

3* Trouver une courbe telle que Tare compté à partir d'un point fixe soit moyenne proportionnelle entre l’ordonnée et la double abscisse.

On est conduit ù l’équation

s = j/iry

qui étant dérivée, en observant que^est égala p*, donne

|/ ixy y' i -4- p’ = xp -t- y.

Pour intégrer cette équation, on pose y = xt’, et après avoir éliminé y, on trouve

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