CHAPITRE XIV

les cqualions des deux courbes sont donc

Nj/t/ -H |/x/ 'K!/ — y X'

4° Trouver une courbe telle que la perpendiculaire abaissée d’un point fixe sur tes tangentes soit constante et égale d a.

L’cqiialion dilTérenticlle à laquelle conduit ce problème, en plaçant l’origine des coordonnées au point fixe, est

d’où l’on tire

dg xy de a -h t/* dx ^ ï* — a*

En faisant — x’ — z*, on trouve après réductions,

que l’on peut mettre sous la forme

En intégrant les deux membres, il vient

Les deux solutions sont donc

ou bien, en faisant disparaître les radicaux,

«* — X* -t- C* (a — x)* — 20/ [a — x) = 0, et

n’ — I* C* (a -t- 1)* — 2C// (a -t- x) = fl.

CALCDL INTÉGRAL.

Comme a — x' cl a + x sont des fucleurs cummiiiis, ces soluliuiis se décomposent ehucuiic en deux aulrcs qui sont, pour lu première équation ,

et pour la seconde

qui représentent quatre lignes droites. La première et la troisième sont parallèles à l’axe des Y; la seconde et la quatrième sont des droites dirigées d’une manière quelconque, mais dont la distance à l’origine est égale à a ainsi qu’on peut s’en assurer. Les trois premières ne sont du reste que des cas particuliers de la quatrième, puisqu’on peut les en déduire en égalant successivement la constante

arbitraire C à zéro, à l’infini et à — • Cette quatrième doit donc être

considérée comme étant l’intégrale complète.

Si la même équation était intégrée par le procédé indiqué au N° i83, c'est-à-dire, en la résolvant par rapport à t/ et dérivant, on serait

conduit à un résultat différent, ce qui provient de ce que peut dis-

paraître de la dérivée. Cette différence dans les intégrales s’expliquera au N° 486.

485. Lignes de courbure de l'ellipso'ide. — Lorsque aucune des méthodes indiquées plus haut pour l’intégration d’une équation différentielle d’un degré supérieur n’est praticable, il faut avoir recours à des procédés particuliers pour lesquels il n'y a plus de règle fixe, et qui varient pour chaque cas. Un moyen qui réussit dans un assez grand nombre de cas consiste à dériver une ou plusieurs fois l'équation proposée et à éliminer une ou plusieurs constantes entre ces dérivées. L’équation finale privée de ces constantes est souvent moins rebelle à l’intégration que la proposée. Prenons pour exemple, le problème de la détermination des lignes de courbure tracées sur une surface donnée. On a vu dans le calcul différentiel (N" 448) que les projections de ces courbes sur le plan des .\Y ont pour équation différentielle

(4 -A- p*)(/x -A- i»idg (4 -A- <i^)dij -a- pgilx rdx -t- sdi) tilg a- siIx

CIIAPITHË XIV.

dans laquelle p, q, r, s, t sont les dérivées partielles du premier et du second ordre tirées de l’équation de la surface

et sont par conséquent des fonctions de x et de y. En substituant les valeurs de p, q, r, s, t, on sera conduit à une équation différentielle * du premier ordre et du second degré dont les intégrales en (x, y) sont les équations des projections dans le plan des XY des deux séries de lignes de courbure.

La présence d'une constante arbitraire dans l'intégrale indique que ces lignes sont en norabro infini et pour particulariser, il faudra déterminer la valeur de cette constante par la condition que la courbe passe par un point donné de la surface. Cliacunc de ces intégrales, jointe & l’équation de la surface, détcrinincra coniplctemeiit la ligne de courbure.

En appliquant cette équation à l’ellipsoïde représenté par

on trouve

mxy

-4- (i* — my* — ") — ^3/ = ••

dans laquelle on a fait

a*(a* — li‘)

Si l’on dérive cette équation, qu’on éliniiiic n entre celle-ci et sa dérivée

et qu’on supprime ensuite le facteur commun m ( — ^ -i- 1 on

\(ixj

ramène l’équation à la forme dx

dx

dx dy „ , dq , X

: d’ou

X y dx y

dy

En éliminant ^ entre cette dernière et l’équation différentielle trouvée plus haut, il vient

(mC- -4- C)x* — y*[mC -4- I) — «(,’ (l)

CALCL'I. INTÉGHAL. 597

qui est l'intégrale complète cherclidc. Après l’avoir résolue par rapport à C, on la mettra sous la forme

l/(mf

'2nu:*

mtj* -t- n — X* — {/ (my'* -*- « — x*)* 'i.nix'^y*

2mx*

et chacun des fuclcurs égalé à zéro représente la projection de riiuc des deux lignes de courbure. Si l’on rend rationnelle l’une ou l’autre des deux équations, on retrouve l’équation (I); les deux projections sont donc des sections coniques.

Pour déterminer 6’, on assujétii-a la courbe à passer par un point donné (x', y, z') et l’on aura à résoudre l’équation

7>u'*C* -t- (x'* — oiÿ'* — «) (■' — t/'^ = 0

qui donne pour C deux valeurs correspondant aux deux lignes de courbure.

Ces deux valeurs sont toujours visiblement de signes contraires à cause du terme négatif — »/'* qui représente le produit des racines; d’où l'on conclut que ces projections sont, l’une, une ellipse et l’autre, une hyperbole; car l'équation de ces courbes peut se mettre sous la forme

Cx- — 1

nC

mC -7- 1

qui appartient à l’une ou l’autre de ecs sections coniques suivant que C est négatif ou positif.

186. Solutions singulières des équations di/férentielles. — Toute équation différentielle est suseeptible d’un nombre infini d’intégrales, différant les unes des autres par la valeur de la constante arbitraire, puisque eelle-ci peut prendre une valeur quelconque. Lorsque cette constante est indéterminée, l’intégrale est dite générale] mais lorsqu’on lui a assigné une certaine valeur, l’intégrale qui n’est plus qu'un cas particulier de l’intégrale générale, est dite intégrale particulière. En général, toute équation primitive sans constante arbitraire qui, étant différenciée, satisfait à une équation différentielle donnée, est comprise parmi ces intégrales partieulières; cependant il existe des classes nombreuses d’équations différentielles auxquelles satisfont cer-