IL
dF
et pour que l’équation (2) soit l’intégrale de (1) il faut et il suflU qu’en éliminant C entre
F(x,y,q^0 et =
un retrouve l’équation dérivée proposée (i). Mais e.\aminuns si l’équation
ne peut pas quelquefois être satisfaite par la même équation
c’est-à-dire, résulter de l’élimination de C entre cette dernière et son équation dérivée, eu donnant à L'non plus une valeur constante, mais une certaine valeur variable fonction de (x, ij). La dérivée totale de
serait dans cette hypothèse.
dF , dF
(IX (11
(IF
dï:
de , dC
CALCt’I. IMTF.GRAL.
ô!IO
qu’on |)cut mettre sous la furrac ilF
/, ,IC dc\<lF de dC \,IF
r-"rfF-Tx Irfï-"!
\ dx / ^ du y
de de
dF dtj
dx y ' ^
si donc In valeur de C en (x, y), est telle que l’on ait dF dF
de de ^ dë de ^
dF dx dF dy ’ ' '
dx
dy
cette équation dérivée reprendra 1a même forme que lorsque e était une constante, savoir
dF dF dy dF dF
■S*iÿ3î-"’
et par conséquent le résultat de l’élimination de e entre (2) et (5] sera encore f{x,y,p) = 0, c’est-à-dire que l’équation (1) sera aussi satisfaite par (2), quoique C soit remplacé par une fonction en x, y, et que dès lors F (x, y, f.')=0 ne soit plus une intégrale particulière. On peut remplir les deux conditions (4) de plusieurs manières; 1° en faisant
de
dx
et
ce qui indique que C’ ne contient ni x, ni y, on que C est une constante arbitraire. Alors la fonction F n’est autre chose que l’intégrale générale ; 2" en posant
ou
dF(x,y, e)
de
On obtient ainsi une équation en (x, y) et C, d’où l’on déduira une valeur de C que l’on substituera dans
Si cette valeur de C est constante, l’intégrale générale F(x, y, C) = 0
ne sera encore qu’une intégrale particulière; mais si elle renferme des
cnArmiE xiv.
ici y, l'intcgralc générale deviendra une solution singulière; 3“ on satisfait encore aux deux équations de condition (4), en posant siinullanénicnt
dF
et
dx dy
équations dont l'une ne peut exister sans entraîner l’autre, è cause de la relation
dF
La valeur de C tirée de l’une de ces dernières et substituée dans
donnera encore, en général, une solution singulière.
187. Solutions singulières déduites de Véquation dérivée. Exemples divers. — Nous avons déduit, dans ce qui précède, les solutions singulières d’une équation difTércnticllc, de son intégrale générale F {x, y, C) = 0, que l’on suppose par conséquent connue. — On peut aussi trouver les solutions sans coniiaitrc l’intégrale; en effet, soit
l’équation dérivée donnée,
son intégrale médiate cl
la dérivée immédiate de F. Puisque ces trois équations doivent coexister, il est visible qu’on peut considérer l’intégrale générale comme résultant de l’éliniination de p entre
f{x,y,p) = 0 et f(x,y, C,p)=0-,
si donc, on lire de colle dernière, la valeur de p
représentée, pour abréger, par-{(Ct qu’on la substitue Hans la première, l’intégrale générale prendra la forme
la coMslantc arbitraire étant renfermée dans la fonction or, on a
CALCUL IMTI-GHAL.
VU plus haut (pie lu solulion singulière s’obtient en èliiniiiaiit lu cunstniilc arbitraire entre l’iiitégralc cl sa dériviîe prise par rapport à celte constante et égalée à zéro; cette solution résultera donc de l’élimination de C entre
f (Jf. y. ’î') = <*
et
' dC
Cette seconde cqualton est satisfaite en posant
cl comme la fonction •{> tient lieu de j), on voit qu’il suffira d’éliminer P entre /■(x,y,p) = 0 et
Nous avons vu aussi dans le numéro précédent, que quelquefois runc des équations
lhï~ Ô ® dx ~ 0
peut donner des solutions singulières; il suit de là, que puisque l’intégrale générale F = 0 est maintenant
les solutions singulières seront aussi données par Tune ou l’autre des équations
dij d-\dy Ô dx d'^dx Ô’
équations auxquelles on satisfait en faisant
dp 0
c’est-à-dire,
Prenons pour exemples les équations dérivées
(ï* -L- 2t/*) p- — 4 jyp a* = 0, P* — ipx -I- 1/ == 0, dont les intégrales générales sont
./* — 2C't/ — a;5 — = 0, ùxy — 2x=)- == 4(a* — yf.
;io
