CHAPITRE XIV

Ou lire de celles-ci

et — 4(2C-f- 3x1/ — 2x’)

cl en faisant

on trouve C = — y pour l’une et 2C=2x’ — 3xy pour l'autre, et les intégrales generales deviennent

"2y* — x’ = 0 et x* — y = 0.

La première satisfait ù l’cqualion dérivée donnée et en forme une solution singulière.

On serait arrivé aux memes résultats en égalant à zéro les dérivées des équations données, prises par rapport à p, car on est alors conduit aux équations

(x* -T- 2y*) P — 2xy = 0 et 2p — 2x = 0,

et en éliminant p entre ccllcs-ci et les équations données, on trouve encore

2y’ — x* = 0 et x* — y==0.

Il est à remarquer que l’équation x* — y = 0, bien qu’elle ait été déduite de la seconde des équations dérivées par les procédés ordinaires, n’y satisfait cependant pas et n’en est pas une solution singulière.

L’équation

px — y = a |/l -T- p*

dont on s’est occupé au N“ 184, 4°, donne pour^=- 0,

et en éliminant p entre ces deux équations, on trouve pour solution singulière,

qui appartient à un cercle cl donne la vraie solution du problème du

N° 184, 4°. Un est conduit au m(}me résultat en partant de l’intégrale complète

et dérivant par rapport à C.

L'équation dérivée

a pour solution singulière

X* y* — 4xy = a*.

Enfin l'équation

mxyp* -t- (x* — my* — n)p— xy = 0

qui représente les projections des lignes de courbure de l’ellipsoïde (N* 18;j), a pour solution singulière

(x’ • — my’ — «)* -L- 4mx’y* = 0.

Si les trois axes sont inégaux et rangés dans l’ordre de grandeur a, b, c, il est visible que m et n sont positifs et cette équation se décompose dans les deux suivantes

ys=0, x = ± (/rt

qui représentent deux points placés sur l’axe a, h égale distance du centre. Les points de la surface qui correspondent à ceux-ci ne sont autres que les ombilics (N° llo).

188. Sigiiiftcation géométrique des solutions singulières. — Les solutions singulières ont une signification géométrique fort remarquable. On a vu dans la théorie des courbes enveloppes, que si l’on élimine la constante a entre les deux équations

du ~ ’

le résultat de l’élimination était l’équation de la courbe, qui enveloppe toutes celles que l’on obtient en faisant passer a par tontes les valeurs possibles dans

CIIAIITIir. XIV.

4(it

or, lus soliilioiis siiigiiliùrus résiillciil aussi de r(-liiniiiulion de la constante arbitraire entre les deux équations

d’où il suit qu’une sululion singulière d’une équation dérivée, représente, en géométrie, la courbe enveloppe de toutes les courbes que peut représenter l’intégrale générale en donnant à la constante arbitraire toutes les valeurs possibles, ou ce qui est la même chose, la solution singulière représente la courbe enveloppe de toutes les courbes que peut représenter l’équation dérivée. Ainsi, dans le second des problèmes du numéro précédent, le cercle qui forme la solution singulière est celui qui est langent à toutes les droites egalement distantes de l’origine.

189. Théorie géométrique des solutions singulières. — Toute cette théorie des solutions singulières peut s'établir fort siniplciuent par

des considérations géométriques. Si ab, a'b', a"b" (fig. 22) sont les

dilférentes courbes représentées par l’équation dérivée

ou son intégrale, les valeurs des trois variables x, y, p correspondant

aux points m, »«', m" M, détermines par une parallèle à l’axe

des X, doivent satisfaire à cette équation et comme y ou \p est le même pour tous ces points, on connaitra la valeur des ;>M correspondant à l’enveloppe de toutes les courbes variables, en déterminant

la valeur de p qui rend x maximum, c’cst-.’i-dire , en posant — = O, y = Ap restant constant; mais on a

dx dp

d’on il suit que le maximum s’obtient soit en posant ^=0, soit

en posant ^=». Si l’on mène la droite pM parallèlement à l’axe des X, on reconnaîtra de la même manière que la solution singulière

CALCUL INTIÎGnAL.

est donnée aussi = x . En remplaçant p par sa s'aleur tirée de

l'une ou l’autre de ees dernières , l’équation dérivée proposée ne représentera plus que le lieu des points extrêmes, c’est-à-dire, 1a courbe enveloppe. L’équation de cette courbe, en général , ne satisfera pas à l’intégrale, quelque valeur invariable que l’on donne à la constante arbitraire, car il faudrait pour cela que la courbe enveloppe se confondit avec l’une des courbes ah, a'h', a"b" qui sont les lieux

géométriques de l’intégrale pour les différentes valeurs invariables de la constante arbitraire. L’équation de celte enveloppe est donc, en général, ce que nous avons appelé une solution singulière.

De même si F{x,y,C) = 0 est l’inlégralc de 1a proposée, l’ordonnée inaxitiium pM (fig. Ü'2) s'obtiendra en ebcrchant la valeur de C qin rend x maximum, ij = Ap restant constant, c'est-à-dire, eu dx

pos;int-7-.= 0: mais on a

d'où il suit que ce maximum est donné par-

0 ou par-T— = X et dx

l’élimination de C conduira comme plus haut à l’équation de la courbe enveloppe. Cette équation satisfera à l’équation dérivée pour le même

(IF

motif que plus haut; mais comme la valeur de C tirée ^

pour la substituer dans F (i, y, C) == 0 contiendra , en général , les variables x et y, cette valeur ne sera pas constante et ne conduira aussi qu’à une solution singulière.

La siguilieation géométrique des solutions singulières conduit immédialcment à la résolution de ce problème : Trouver une équation ili/férentielle ijui ail pour solution singulière, une équation donnée. Il suffira de ebereber, comme au (N“ 77), l’équation de la courbe variable qui a pour enveloppe la courbe donnée. L’équation sera, il est vrai, de forme finie; mais si entre celle-ci et sa dérivée, on élimine 1a constante arbitraire, on sera conduit à l'équation différentielle demandée.

On U vu à la fin du N“ 7o, dans la théorie des courbes envclojipcs, que si par des transformalions on parvient à ramener l’équation de la

CIIAPITHE XIV.

'fOü

coiii-bc varial)Ie à deux termes, dont riiii soit multiplie par une Ibnclioii (|ucleuuquc du paramètre, la courbe enveloppe se réduit à un point. En rapprochant cette propriété de celle qui précède, on rel'onnait aussi que, si une équation diiïérenticlle ou son intégrale peuvent être réduites à deux termes rationnels, dont run soit multiplié par une Ibuetion de la seule dérivée p, quand il s’agit de l’équation différentielle, ou de la seule constante arbitraire (', quand il s’agit de l’intégrale, la solution singulière se réduit à un point que l’on détermine en égalant à zéro les deux termes de l’éqiiatinu. Les lignes de courbure de l’ellipsoïde, traitées au numéro précédent, offrent un exem|)le de ce cas, pui-qu’oii peut mettre leur équation dérivée sous la forme

(X* - n) — Xÿ == 0.

Il est à remarquer que l’interprétation géométrique des solutions singulières est assez souvent en défaut. On en n un exemple dans l’applieatioii que l’on vient de faire de cette théorie aux lignes de cour- Inirc de l’ellipsoïde. Cette équation donne, comme on l’a vu plus haut, pour solution singulière ou pour enveloppe, ruinbilic pour lequel on a

trouvé (N° 1 1 î»), y — 0, X = ± ^;i, et cependant ces coordonnées ne satisfont pas à l’équation finie de la ligue de courbure.

On peut donner de ces solutions une autre interprétation géométrique qui ii’cst pas sujette aux mêmes exceptions ni aux niéincs erreurs; mais elle n’est pas de nature à trouver place ici. Je me borne à renvoyer au travail publié sur cette matière dans le tome XV des Mémoires (le l'Académie royale des Scieiiees de Belgique.

CHAIMTUE XV.

Intégration dos équations diffémitiollos d’un ordre supj'rieur au premier. Une équation dérivée de l’ordre i/i a toujours une intégrale première de l’ordre m — |. Intégrales médiates et immédiates. — I.’iiitégrale finale doit eontenir m constantes arbitraires. Elle est unique. — Intégration des équations dérisées les plus simples des ordres supérieurs. — Exemples divers. — Intégration des équations linéaires à coellkients constants. — Cas des racines imaginaires. — Cas de* racines égales. — Exemples divers. — Intégration des éi|uatiuiis dérivées linéaires à coelTicients variables. — Intégration des équations dérivées d’un ordre et d’nii degré quelconques. — Intégration par les séries. — Intégration |iar la méthode des coeflicienls indéterminés. — Conslructiou géométrique dos intégrales. — Intégration générale des éqtiations dérivées simultanées. — Etpialions linéaires simultanées à coeflieiciits eonstants. — Cas des raeines égaies. Dérivation sous le signe. — Intégration des équations linéaires siumltaiiées d’un ordre quelconque.

190. Intégration des éi/uations différentielles d’un ordre supérieur. Une équation différentielle de l'ordre m a toujours une intégrale première de l’ordre m — I . Intégrales médiates et immédiates. — Une cqtialion tlcrivéc est dite du m''”*' ordre quand la pltts haute dérivée qu’elle contient e.st de l’ordre m. Une scnihliible équation ilonitc lieu à des observations nnniogucs ii celles qtti ont été faites sur les équations dérivées du premier ordre. Intégrer ttnc éqtintion d’un ordre quelconque, c’est en dédttire une autre équation d’un ordre moins élevé. A une équation de l’ordre m correspond nécessairement une éqtialion

de l’ordre m — 1 ; car si l’on lire de la première, la valeur de

dx"

fonction des dérivées inférieures, on pourra, en dérivant successive-

ciiAi'imt XV.

({“Il

ment cette valeur et en remplaçant chaque fins -j~~’ lonte>

(/"+'!/ ih-'i

- l'If* #»n fniiptinn rîn - -

dx"

«• « t» • “ II

les {lcrivées supérieures^^ — 4> etc., en fonction de — - .

dx'

l’équation de Jean Bernoully (N“ 1.58) ou

remplace -j-~ et les dérivées supérieures, par les valeurs mentionnées

d"‘~'ji

]ilus haut, on aura une équation qui ne contiendra que la dérivée

et les dérivées inférieures, et qui sera par conséquent niic équation dérivée de l’ordre ni — 1, c’est-à-dire, une intégrale de la proposée.

On verra plus loin que cette intégrale de l’ordre ni — 1 n’est pas la seule que l’on puisse déduire de l’équation de l’ordre m.

De ce qu’une équation de l’ordre ni a toujours une intégrale de l’ordre ni — 1, on ne peut pas conclure qu’en dérivant celle-ci, on retrouvera identiquement l’équation donnée; car sans changer la signiGcation de cette intégrale, on peut lui avoir fait subir des transformations telles que par la dérivation, la constante arbitraire C, par exemple, ne disparaisse pas, et cette nouvelle équation, quoique de l'ordre ni, ne pourra par conséquent cire identique avec la dérivée donnée, qui ne renferme pas cette constante. Dans ce cas, comme dans celui des équations dérivées du premier ordre (X“ 175), jiour retrouver l’équation dérivée donnée, il faut éliminer 1a constante arbitraire entre l’intégrale et sa dérivée immédiate. De cette observation, naît, comme précédemment (N" 172) la distinction des dérivées et des intégrales en médiatflx et immédiates.

1!M. L’intégrale linale doit contenir m constantes arbitraires. Elle est unique. — De même qu’une équation dérivée de l’ordre ma nécessairement une intégrale de l’ordre m — 1, celle-ci en a néccssaireinent une de l’ordre m — 2 et ainsi de suite. Ces intégrales successives forment les intégrales premières, secondes, troisièmes, etc., de la dérivée donnée. La dernière intégrale ne renferme plus aueune dérivée et forme l'intégrale finale de la proposée. C’est l’équation que l’on désigne souvent par le mot intégrale. Comme chaque intégration introduit sa constante arbitraire dans les intégrales successives, il est visible que l’intégrale première renfermera une constante arbitraire, l’intégrale deuxième deux constantes, l’intégrale »i h constantes, et l’intégrale finale m constantes, c’est-à-dire, autant qu’il y a d'unités dans l’ordre de l’équation dérivée proposée.

CALCUL I.NTliGHAL. 4U0

H suit de là qu’une équation différentielle de l’ordre m u toujours m intégrales premières distinctes; en effet si l'on désigne par C, C, C... les constantes introduites par les intégrations successives, on pourra désiguer les intégrales premières, deuxièmes, etc., par

les indices (m — 1), (m — 2), etc. indiquant l’ordre des dérivées contenues dans CCS intégrales; or, si de la seconde équation on tire la valeur de C pour la substituer dans la première, on obtiendra une nouvelle équation de l’ordre m — i , c’est-à-dire, une intégrale première qui sera entièrement distincte de la précédente , puisque la constante arbitraire C aura disparu pour être remplacée par une autre constante C. On pourra de même éliminer C et C entre les trois premières équations et le résultat qui sera encore de l’ordre m — 1 , contiendra la constante C" et formera par conséquent une nouvelle intégrale première. Comme on peut répéter cette élimination pour chaque constante, on voit qu’une équation de l'ordre m a toujours m intégrales premières distinctes. Si l’on élimine successivement les m constantes renfermées dans les m — 1 intégrales successives à partir de l’intégrale seconde, de manière à y combiner les constantes deux à deux, comme la plus élevée est de l’ordre m — 2, on obtiendra aussi des intégrales secondes distinctes. Il en sera de même des intégrales troisièmes, etc. L’intégrale finale ne devant contenir aucune dérivée, ne pourra se combiner avec aucune des intégrales précédentes et sera par conséquent unique.

Si l’on connaissait les m intégrales premières d’une équation dérivée de l’ordre m, on connaîtrait immédiatement son intégrale finale; car on aurait un nombre m d’équations renfermant m — 1 dérivées,

depuis ^ jusqu’à ^ ^ > et en éliminant entre elles ces dérivées, on «X dx"“‘

obtiendrait une équation sans dérivées, renfermant les tn constantes arbitraires et qui serait l’intégrale finale, üc même si l’on connaissait ni — 1 intégrales secondes ou ni — '2 intégrales troisièmes, etc., on obtiendrait l’intégrale finale par de simples éliminations.

Cette remarque fait voir qu’une dérivée de l’ordre m ne peut avoir plus de m intégrales premières distinctes; car s’il y en avait ni -V- 1, on pourrait éliminer entre elles non-sculcmcnt les ni — 1 dérivées, comme plus haut, mais encore y et on serait conduit à une

ilO

ciumiit XV.

pqiialion eux seul qui, dans ce cas, aurait une valeur constante, ce qui est absurde.

On prouverait de la meme manière qu’une équation dérivée de l’ordre m ne peut avoir plus de m — \ intégrales secondes distinctes, ni plus de m — 2 intégrales troisièmes, etc. , et enfin qu’elle ne peut avoir qu’une seule intégrale finale, d’où il résulte ipie toute équation primitive renrermant m constantes arbitraires, qui satisfait ù une équation dérivée de l’ordre »i, se confond avec l’intégrale finale trouvée plus haut.

l‘.J2. Intégration des équations dérivées les plus simples des ordres supérieurs. — L’intégration eu termes finis des équations dérivées des ordres supérieurs présente, en général, des diOicultés d’autant plus grandes que cet ordre est plus élevé. Ces dillicullés sont meme le plus souvent insurmontables lorsque l’équation est un peu compliquée; c’est pourquoi nous ne nous arrêterons pas à chercher la condition pour qu’elle soit une dérivée exacte ni à démontrer l’existence d’un facteur propre à lui donner ce caractère**’. Nous nous bornerons à examiner les cas les plus simples dans lesquels l’intégration est possible.

Considérons d’abord les équations dérivées appartenant à l’iinc des formes générales

S)-"' f(^- S)-»' ÏS. g)-«.

dx" * dx"' ' dx’

En résolvant la première équation par rapport à il vient

dx"

dx'

(•) Dans la mélhoile des variations iToir la noie du N» 2(iH), on est ennduit incidemment à cette condition d'intégrabilitc immédiate trouvée par Euler.

CALCUI. IMÉCBAI..

X étant une ccrtiiino fonction de s seul; d’où l’on lire j>ar des intégrations successives,

= / Xdx -H C = .Y, , = / X,dx C = A'„ ,

dx— ' •' ' dx’-* ’ '

ih~^u

;ii,i, = /A;A-4-C",elc.

et finalement

y = / A'.it/x + D = X,+ D qui est l'intégrale finale.

Pour la deuxième forme d’équation dérivée, en représentant-^

d*v dr ,,, , .

par r, — ^sera— et 1 équation devient dx" dx

. dr

d’où l'on lire, en résolvant par rapport à — et rcpréscDlant par R et R' des fonctions de r seul, dr

== R cl dx=-—> d’où x=i-~+C=R'-\-C.

En résolvant cette dernière par rapport à r, on trouve

^^fXdx^C = X„ —l^fXAx.C et enfin

y=/X^^,dx -t- J) = A’,, -4- I).

Pour la troisième équation dérivée, on fera encore

dx"

cl elle deviendra

GIIAPITHË XV.

d’u , , dr ^ . , . , . ,

parce que n est autre chose que y • On est donc conduit a intégrer

une équation dérivée du premier ordre à deux variables. Si dans la quatrième équation dérivée on fait

clic devient

dx'^* dx"'^' *’

ou bien, en observant quc^ = fi et par conséquent dx==i—i

.lir. g

fix

sds\

d’où l’on tire, Ji, If et fl" étant des fonctions de r,

— = fl, gds = flrfr, or

et enfin par des opérations successives,

s* ^i/Rdr-i-C, s ou ~ = R!, </x = ^, x = j fl" -i- C, et en résolvant par rapport à r.

d"-^hj

et cnrm

-4= X, fXdx +C’ = X,

= A',, , y =./ dx + C" = A'., -H C dx

En faisant

d— *1/ dx'*

d" *1/ dr

dx”

dans la cinquième équation, on trouve, en remarquant que dx = — ,

sds\

drj

tALCL’L INTEGRAI..

équation qui est du premier ordre entre les variables r, s et qu'on intègre par les méthodes eonnues.

193. Exemples divers. — Les exemples et les problèmes qui suivent, sont des applications des méthodes exposées dans le numéro précédent:

C'x* Ci* ai*

i‘‘-r^, = ax donne dx*

2” Trouver la courbe dont le rayon de courbure est constant. Ce problème conduit à l’équation de condition

d’où l’on tire

3* Trouver une courbe telle que Taire comprise entre la tangente et la sous-tangente soit partout proportionnelle à Taire compriie entre lu courbe et l’ordonnée.

Ce problème posé en équation donne

-^=2o/ydi

et en dilTéreneiant,

d'g / dy'\* 2 — 2a

(/i* \dxj y

On trouve pour intégrale

qui appartient h une parabole d’un ordre supérieur.

CDiPirnE XV.

4° Trouver la courbe dont le rai/on de courbure est proportionnel à la puissance de la normale.

Ce problème comluit à l’cquation

a (levant être positif ou négatif suivant que le rayon de courbure et la normale sont tournés en sens contraire ou dans le même sens, puisque d*u

^"Ycst positif dans le premier cas et négatif dans le second. En remplaçant ^ par Z, elle devient azdz du .

^ = — dou a(l -(-Z*) » = — y'-H- t,

(1-HZ*)* ^

et en remettant pour z sa valeur,

Si H est égal à 3, c’est-à-dire, si le rayon de courbure est proportionnel au cube de la normale, on trouve pour intégrale.

ay*

qui représente une hyperbole ou une ellipse selon que —

est positif

ou négatif.

Si n est égal à l’unité, c’est-à-dire, si le rayon de courbure est proportionnel à la normale, l’équation différentielle devient

zdz i -t-z*

<lll

d’où dx =

\/ {cy)"-'

CALCUL I.NTLCBAL.

il.’)

L’intégration finale se trouve ainsi réduite à une quadrature. Cette dernière équation (lifTiTCutielle appartient à une eycloïdc, îi une parabole, à un cercle ou a une cliaincttc, selon que l’on fait a égal à — -l- ï2,

— 1 ou -f- 1 .

îi" Trouver une courbe telle que l'arc compté d partir d'un certain point fixe soit proportionnel à la distance du pied de la tangente à l’origine.

L'équation à intégrer est

d’où l’on lire en dérivunl, remplaçant — par

cl 4 fiE.

dx dy

On trouve pour intégrale finale,

-2Cx + D==C*^-'

rn -I- t

Le problème que nous venons de résoudre est un cas particulier de celui connu sous le nom de problème du chien qui suit son maître à la nage. On suppose que tandis que le mnitre marche uniformément le long de la rive rectiligne d’un canal, son chien lancé îi la nage se dirige constamment vers lui en avançant uniformément. La courbe que décrira le chien est celle dont on vient de trouver l’équation et que l’on nomme courbe de poursuite.

194. Intégration des équations dérivées, linéaires d coefficients constants. — On appelle équation dérivée linéaire, celle dans laquelle la variable dépendante et scs dérivées ne sont élevées qu’à la première puissance et ne sont pas multipliées entre elles. Sa forme la plus générale est

dx”

^d” (q d” ’v P- — --*-0-, — dx” ' dx” *