CHAPITRE XV

P, Q, U, V, X étant des fonctions de la seule variable indépendante x. Ces équations jouissent de propriétés particulières qni rendcnl leur intégration possible dans un grand nombre de cas. Considérons d’abord les équations linéaires à cocllicicnls constants, c’est-à-dire, dans lesquelles P, Q, U, r. A' sont des constantes. Comme on peut évidemment

la priver de son dernier terme A’' en remplaçant y par y' —

nous

la mettrons sous la forme

dx'* ^^x’*^*

-s- -+- Vy = 0.

dx •'

Cette équation est satisfaite en faisant

y = Ce-,

C étant une constante arbitraire et m un certain cocHicicnt constant à déterminer; en effet, on obtient par la substitution,

C (m" -t- /’»»"■ * -4- Um ■+■ V) e"' = 0,

qui est satisfaite, pourvu que la constante m rende nul le polvnùme

tn"-t- /’m"”* Qm""’ -t-f/m-t- V'=0,

c’est-à-dire, pourvu que m soit une des racines de cette équation ; si donc on représente par »n, m', m", etc. les n racines, nous voyons que l’équation proposée a pour intégrales particulières Ce""*, Ce’'’" ,

C"e”"' C, Ü, C’.... étant des constantes arbitraires; or je dis que la

somme de toutes ces intégrales particulières ou Ce"^ -*- C’e"'-' -t- C'e""' -t- etc. satisfait aussi à l’équation linéaire, car le résultat de la substitution est

C (m" -+- /’iii""' -4- Uni F) c"'

-4- C'(m'“ -4- Pm''~' -4- Qm'""* -i- Um' -4- V)e”'’’

-4- C (m"" -4- Pm""^' -4- Vm" -4- V) e""'

tians laquelle toutes les parenthèses sont nulles séparément, puisque «1, m', m".... sont des racines de l’équation

m" -4- PnV'~' -4- Qnr~’ -4- Um -4- V’=0;